3.6. Задачи и примеры

Задолженность в сумме 400 тыс. $ гасится в течение 4 лет возрастающими платежами в конце каждого года. Каждый год платежи увеличиваются на 20 тыс. $, на остаток задолженности начисляется 8% годовых. Какова должна быть сумма первого платежа, чтобы долг был полностью погашен?

За 6 лет должен быть создан фонд в сумме 400 тыс $. На поступающие средства начисляется 10% годовых Намечено каждый год увеличивать взносы, поступающие и фонд в конце года на 10 тыс. $. Какую первоначальную сумму нужно внести в фонд?

На разработку и освоение нефтяного месторожде ния затрачено 100 тыс. $. Планируется, что доходы от эксплуатации месторождения в конце каждого года составят по 30 тыс. $ в первые пять лет, по 20 тыс. $ в последую щие 5 лет и по 10 тыс. $ в последние 5 лет. При норме доходности 30% годовых окупят ли доходы произведенные затраты?

В условиях предыдущей задачи рассчитайте эффективную ставку инвестирования средств в эксплуатацию месторождения в виде годовой ставки сложных процентов. Вычисления произведите с точностью до 0,5%.

Ссуда в размере 200 тыс. $ выдана на 3 года под 11 % годовых и должна быть погашена разовым платежом в конце третьего года. Для погашения задолженности долж ник решил создать погасительный фонд, размещая денежные средства в банке под 11,5% годовых. В течение первого года он вносил в банк по 5 тыс. $ в конце каждого месяца, на протяжении второго года - по 15 тыс.

Фонд в сумме 750 тыс. $ должен быть создан за 6 лет. Для этого в банк в конце каждого года вносили по 100 тыс. $ на протяжении первых трех лет, затем по 110 тыс. $ в конце каждого года в последние 3 года. Под какую годовую ставку процентов в банке размещались денежные средства? Вычисления произвести с точностью до 0,1%.

В банке в конце каждого года размещают денеж-ные средства под 10% годовых для создания фонда. Первые 4 года вносили по 50 тыс. $ ежегодно, затем - по 100 тыс. $ ежегодно. Через сколько лет сумма, накопленная в фонде, впервые превысит 1 млн. $?

Создается фонд, взносы в который вносят в конце каждого года на протяжении 8 лет. Первые 5 лет планиру- г тся вносить по 100 тыс. $, в последние три года - по 200 тыс. $. (>жидается, что первые 4 года годовая ставка процентов будет 8% с вероятностью 0,8 и 8,5% с вероятностью 0,2. (атем, последние 4 года ставка процентов будет постоянной п будет принимать значение 8,5% с вероятностью 0,7 и 9% с вероятностью 0.3. Для наращенной суммы фонда S определить следующие характеристики: ?{S}, ?{5}, Smin, 5max, /\'<1530 тыс. < S < 1550 тыс.}.

Создается фонд, денежные средства в который вносится в конце года под 8,5% годовых. В 5 первых лет в фонд вносили по 100 тыс. $. Затем в течение 2 лет выплаты в фонд не проводились. Начиная с конца восьмого года, мыплаты были возобновлены в размере 120 тыс. $ ежегодно. Чему будет равна сумма фонда на конец десятого года?

Задолженность в сумме 720 тыс. $ погашается по частям платежами в конце года. На остаток задолженности начисляется 7,2% годовых. Первые 3 года в счет погашения задолженности вносилось по 100 тыс. $, из которых У0 тыс. шло на погашение основного долга. Затем в течение 2 лет в конце каждого года выплачивались только процентные платежи. Начиная с конца шестого года, стали погашать задолженность, выплачивая сумму R в конце каждого года.

В условиях предыдущей задачи найти R, если на протяжении 2 лет, когда не гасилась основная задолженность, проценты не выплачивались, а присоединялись к сумме долга.

На протяжении 8 лет создается фонд. На счет фонда внесено 100 тыс. $ в конце первого года, 200 тыс. $ - в конце третьего года, 250 тыс. $ - в конце пятого года, 280 тыс. $ - в конце седьмого года и через полгода - 250 тыс. $. На собранные средства в течение первых 4 лет начислялось 8% годовых, в последние 4 года - 8,5% годовых. Какова сумма фонда к концу восьмого года, если на собранные средства начислялись сложные проценты?

Задолженность в сумме 750 тыс. $ погашается нерегулярными выплатами: 100 тыс. $ в конце 1,5 года, 200 тыс. $

шш/^^т

в конце третьего года, 250 тыс. $ через 3,5 года после получения ссуды. На остаток задолженности начисляется 7,2% годовых. Какую сумму нужно вернуть в конце четвертого года, чтобы полностью погасить задолженность?

Долг в сумме 653 тыс. $ должен быть возвращен по частям за 6 лет. В течение первых 2 лет в счет погашения задолженности намечено выплачивать по 80 тыс. $ в конце каждого полугодия, в последующие 2 года - по 90 тыс. $ в конце каждого полугодия. На последнем этапе планируется выплачивать равные суммы R в конце каждого квартала, чтобы полностью погасить задолженность. Чему должно быть равно значение R, если на остаток долга начисляется 9,2% годовых, К = 360? Какую сумму единовременным платежом должен выплатить должник, чтобы полностью погасить долг: а) в конце третьего года; б) в конце 4,25 года?

Имеются два варианта строительства и эксплуатации здания. По первому варианту капитальные затраты на стро-ительство составят 200 тыс. $. Эксплуатационные и ремонтные расходы: первые 20 лет - по 2 тыс. $ в конце каждого года, в следующие 20 лет - по 4 тыс. $ в конце каждого года и последние 20 лет - по 8 тыс. $ в конце каждого года. По второму варианту капитальные затраты составят 250 тыс.

д

там на строительство: , где Ат - современная стоимость;

Лт

Кт - капитальные затраты; т - номер варианта. Для какого варианта удельный вес затрат по эксплуатации и ремонту будет меньше?

Оборудование, стоимостью 450 тыс. $, планируется эксплуатировать в течение 10 лет, после чего оно будет заменено на аналогичное, стоимость которого, по оценкам экспертов, возрастет на 10%. Для замены оборудования ускоренно создается амортизационный фонд, взносы в который в конце каждого года увеличиваются на 2,5 тыс. $. На

бранные средства в амортизационном фонде начисляется 5% годовых. Какова должна быть величина первого взноса N фонд?

Планируется, что в период освоения месторожде- я полезных ископаемых годовые доходы, приведенные на

НО.иец года, будут линейно возрастать на 1 млн. $ в год в рчение трех лет, затем в течение 10 лет доходы будут посто- \'.Ны. В период истощения ископаемых, длительность которого лет, годовые доходы будут сокращаться на 2 млн. $ в год. Чему равна современная стоимость всех доходов от эксплуатации месторождения при нормативе доходности 20% тдовых, если первый годовой доход оценивается в 10 млн. $?

При сохранении условий предыдущей задачи оцените с точностью до 0,5% эффективность инвестирования У0 млн. $ в разработку месторождения в виде годовой ставни сложных процентов.

Ипотечная ссуда в 80 тыс. $ выдана на 10 лет под Г2% годовых. Погашение ссуды в конце каждого месяца. Первые 4 года долг погашается ускоренно: каждый месяц ¦ умма погасительного платежа возрастает в 1,00407 раза по сравнению с предыдущим месяцем. В последние 6 лет ежемесячные суммы погасительных платежей постоянны. Чему равна сумма первого погасительного платежа?

Планируется, что в период освоения газового месторождения годовых доходы, приведенные на конец года, Оудут возрастать в 1,1 раза по сравнению с предыдущим Ярдом в течение 3 лет.

В условиях предыдущей задачи оцените с точно- I їмо до 0,5%, эффективность инвестирования 15 млн. $ в разработку месторождения в виде годовой ставки сложных процентов.

Текущая задолженность равна 250 тыс. $. Решено погасить ее в течение 10 лет по схеме возрастающей ренты, члены которой изменяются по арифметической прогрессии, причем абсолютный прирост за год равен половине первого члена. Погашение основного долга начинается с конца третьего года. Платежи и начисление процентов на остаток долга производятся в конце года, ставка - 6,5% в год. Первые 2 года выплачиваются только проценты в конце каждого года. Определите сумму всех выплат В по погашению долга и сумму процентных платежей /.

При сохранении условий предыдущей задачи определите те же значения В и /, если в течение первых двух лет проценты не выплачиваются, а присоединяются к сумме долга.

Текущая задолженность равна 300 тыс. $. Решено погасить ее в течение 8 лет по схеме возрастающей ренты, члены которой возрастают по геометрической прогрессии, увеличиваясь за год на 10%. Погашение основного долга начинается с конца третьего года. Платежи и начисление процентов на остаток долга производятся в конце года, ставка - 5,5% в год. Первые 2 года проценты не выплачиваются, а присоединяются к сумме долга. Определите сумму всех выплат В по погашению долга и общую сумму процентных платежей /.

Долг в сумме 720 тыс. $ должен быть погашен за семь лет по схеме возрастающей ренты, члены которой изменяются по геометрической прогрессии, причем первая выплата равна 80 тыс. $. Платежи и начисление процентов на остаток долга производятся в конце года, ставка - 6,1% в год. Определите сумму всех процентных платежей /.

Долг в сумме 300 тыс.

Решено погасить долг в сумме 520 тыс. $ рентны ми платежами, убывающими по арифметической прогрессии, абсолютное годовое уменьшение платежей составляет 10 тыс. $, срок погашения - 8 лет. Платежи и начисление процентом на остаток долга производятся в конце года, ставка - 6,5% н год. Определите сумму всех процентных платежей Р. Увеличится или уменьшится сумма процентных платежей и на сколько, если долг будет погашаться по схеме возрастающей арифметической прогрессии с тем же абсолютным приростом?

В условиях предыдущей задачи ответьте на те же вопросы при условии, что долг гасится по схеме платежей, изменяющихся по геометрической прогрессии. Относительное годовое изменение платежей составляет 10% .

Задолженность в сумме 270,4 тыс. $ необходимо погасить за 4 года серией платежей, убывающих в геометрической прогрессии и вносимых в конце года. Первый взнос и счет погашения равен 100 тыс. $, на остаток долга начисляется 11% годовых. Насколько процентов k должен убывать каждый платеж, чтобы долг был полностью погашен? Вычисления произвести с точностью до 0,5%.

Амортизационный фонд в сумме 263 тыс. $ должен быть ускоренно создан за 4 года взносами, поступающими в конце года и образующими возрастающую геометри-ческую прогрессию. На средства, аккумулируемые в фонде, начисляется 9% годовых. Первый взнос в фонд составил 50 тыс. $. Насколько процентов k должен возрастать каждый последующий взнос, чтобы фонд был создан? Вычисление произвести с точностью до 0,5%.

Планируется в течение 8 лет путем нерегулярных взносов создать фонд, на поступающие средства будут начисляться 10% годовых. В конце второго года планируется инести 240 тыс. $, в конце пятого - 180 тыс. $, в конце седьмого года - 360 тыс. $. В силу непредвиденных обстоятельств, с равной вероятностью, намеченные суммы могут отклоняться от своего номинала в положительную и отрицательную сторону не более чем на 5%. Смоделируйте 100 реализаций намечаемых выплат и по ним оцените среднюю сумму фонда, ее дисперсию и вероятность попадания суммы фонда в интервал (1010 тыс. $, 1100 тыс. $). Чему равны Srain и Smax наращенной суммы фонда?

В разработку месторождения полезных ископаемых вложено 2,5 млн. $. Ожидается, что на протяжении первых пяти лет ежегодные доходы составят по 4 млн. $ в год, в следующие пять лет - по 3 млн. $ в год и в последние пять лет - по 1 млн. $ в год. Доходы поступают непрерывно и равномерно в пределах соответствующих периодов. При нормативе доходности в 20% годовых оцените, на сколько приведенные доходы превысят затраты на разведку и разработку месторождения.

В условиях предыдущей задачи оцените, насколько процентов возрос приведенный доход от эксплуатации место рождения при непрерывном и равномерном распределении доходов в пределах года по сравнению со случаем, когда соответствующие доходы поступали бы в конце каждого года.

Планируется, что в течение 3 лет выпуск продук ции будет расти непрерывно и линейно. Базовый объем выпуска продукции составляет 10 млн. руб. Каким должен быть годовой прирост продукции, чтобы суммарный стоимостной объем выпуска продукции за три года с начисленны ми процентами по непрерывной годовой ставке 8% соста вил бы 40 млн. руб.?

Планируется эксплуатировать месторождение по-лезных ископаемых в течение 33 лет. Доход R(t) в течение всего периода будет поступать непрерывно. В период освоения месторождения в течение 3 лет R(t) = 500 + 50 ¦ t, где 500 тыс. $ - первоначальная сумма дохода, 50 тыс. $ - ежегодный прирост. При достижении проектной мощности планируется получать ежегодно по 650 тыс. $ в течение 20 лет, причем, в течение каждого года и всего периода до ход будет поступать равномерно и непрерывно. По мерс истощения месторождения доход будет экспоненциально Пі! дать в течение 10 лет, т.е. R(t) =650 • e-°J(\'-23). Для непре рывной годовой постоянной ставки 8=8% рассчитайте современную величину дохода за весь период эксплуатации месторождения.

Создается фонд в течение 7,5 лет. Взносы в фонд поступают в конце каждого квартала и возрастают каждый раз на 5%, первый взнос - 70 тысяч $. На поступающие платежи начисляются проценты по ставке 8,75 годовых, про центы капитализируются по полугодиям. Определите вели чину фонда.

Создается амортизационный фонд в течение 6,5 лет. На поступающие платежи начисляются сложные проценты по ставке 7,5 годовых. В течение первых 4 лет взносы поступали в конце каждого квартала и возрастали каждый раз на 5%, а проценты капитализировались по полугодиям. Первый взнос составил 570 $. В последние 2,5 года взносы кносились в конце каждого месяца и возрастали на 1% по отношению к предыдущему взносу, а проценты капитализировались поквартально. Определите величину фонда.

Стабилизационный фонд в сумме 387 тысяч $ должен быть создан за 4,25 года. Платежи в фонд поступают в конце каждого квартала и возрастают каждый раз на 3%. На поступающие платежи начисляются сложные проценты по ставке 7,25% годовых и капитализируются по полугодиям. Определите величину первого взноса в стабилизационный фонд.

Запланировано создать фонд в течение 2,5 лет в размере 10 тысяч $ поквартальными платежами постнумерандо, возрастающими в геометрической прогрессии. Первый взнос составил 500 $. На поступающие платежи начисляется 8,6% годовых, проценты капитализируются по полугодиям. Насколько процентов должен возрастать каждый последующий платеж, чтобы фонд был создан? Вычисления проведите с точностью до 0,01%.

Планируется создать за три года и один квартал фонд в размере 26700 $ взносами в конце каждого месяца, иозрастающими в геометрической прогрессии на 1% за месяц. Первый взнос составил 500 $. По какой годовой ставке процентов на взносы должны начисляться проценты с капитализацией по полугодиям, чтобы фонд был создан? Вычисления проведите с точностью до 0,01%.

Фонд в размере 108 тысяч $ должен быть создан износами, поступающими в конце каждого полугодия и воз-растающими каждый раз на 0,5%. Первый взнос составил 10 тысяч. На поступающие платежи начисляется восемь сложных годовых процентов с поквартальной капитализацией процентов. За какой срок (в полугодиях) может быть создан фонд? Насколько при этом нужно увеличить первый н.чнос в фонд?

Создается резервный фонд на протяжении 6,5 лет. На поступающие платежи начисляется 8% годовых. В первые 4,5 года взносы вносились в конце каждого квартала по схеме возрастающей геометрической прогрессии. Причем, каждый последующий платеж увеличивался на 2%. Первый взнос составил 1000 $. В этот период проценты капитализировались по полугодиям. В последующие два года было решено перейти на схему платежей, изменяющихся по арифметической прогрессии с приростом каждого последующего платежа на 100 $, платежи полугодовые, а капитализация процентов годовая. Какова величина фонда?

Долг, в сумме 13780 $, должен быть погашен за 2,5 года платежами вносимыми в конце каждого квартала. Каждый последующий платеж должен быть больше преды-дущего на 2%. На остаток долга начисляется 7,8% годовых, проценты капитализируются по полугодиям. Какова величина R первого платежа, идущего на погашение долга? Сколько всего процентов в сумме будет выплачено за весь срок?

Долг, в сумме 10770 $, должен быть погашен платежами выплачиваемыми в конце каждого квартала, после-дующие платежи убывают на 1 % относительно предыдущего. Первый платеж, идущий на погашение долга, составил 1000 $. За какой срок (в кварталах) может быть погашен долг, если на остаток долга начисляется 7,8% годовых и проценты капитализируются каждые полгода? Насколько нужно увеличить первый платеж, чтобы не было недоплаты?

Задолженность в 120 тысяч $ планируется погашать полугодовыми платежами возрастающими каждый раз на 1%. Первый платеж, идущий в счет погашения долга, должен быть равен целому числу тысяч. На остаток долга начисляется 8,4% годовых и проценты капитализируются поквартально. Чему должен быть равен минимальный размер первого платежа R, чтобы продолжительность погашения долга не превосходила 10 лет?

Долг, в сумме 10000 $, должен быть погашен за 1,5 года платежами, выплачиваемыми в конце каждого месяца. На остаток долга начисляется 8,2% с полугодовой капитализацией процентов. В каком случае суммарная выплата процентов будет меньше, если: а) каждый последующий платеж будет возрастать на 2%, б) будет убывать на 1%? ^сму будет равна минимальная сумма выплаченных проценти?

Сумма ипотечного долга составляет 400 тысяч условных единиц. Долг должен быть погашен платежами, в конце каждого месяца, за 240 месяцев (20 лет), по схеме платежей с постоянным увеличением расходов по обслуживанию долга (graduated payment mortgage). При этом, в первом периоде длительностью 60 месяцев, каждый после- цующий платеж растет на 0,03%. В последние 180 месяцев Омплаты были постоянны. Какова величина первого платежа, если на остаток долга начисляется 10% годовых и проценты капитализируются в конце каждого года?

Мужчина, в возрасте 30 лет, решил создать фонд к дополнительной оплате к пенсии. Для этого он решил вносить на счет в банк, под 9% годовых, платежи, возрстающие кяждый раз на 0,5%, на протяжении 5 лет. Первый взнос составил 50 $. Какую сумму он сможет снимать со счета в Омике равными суммами R в начале каждого месяца на про-тяжении 20 лет, если, после достижения им пенсионного козраста в 60 лет, на остаток счета в банке начисляется 8% Годовых? Какова величина аналогичных платежей /?,, если, Нй тех же условиях, мужчина начал создавать фонд в возрасте 40 лет?

Создается фонд к дополнительной оплате к пен- | пи. Мужчина желает получать в начале каждого месяца fin 200 $ на протяжении 15 лет, после достижения им пенсионного возраста в 60 лет. Для этого он начал создавать •тот фонд в возрасте 45 лет в течение 3 лет, внося на счет и банк платежи, в конце каждого месяца. Платежи возрас- i о ют каждый раз на 1%. На собранные средства банк начисляет 9,8% годовых, а после достижения пенсионного возраста - 9%. Какова величина первого взноса R в фонд? На сколько можно было бы уменьшить R, если бы фонд начал роздаваться на два года раньше на тех же условиях?