2.6. Задачи и примеры

Создается фонд в течение 5 лет. На поступающие в него средства начисляется 9,75% годовых. Сумма годового взноса - 1 тыс. $, проценты начисляются в конце года. Насколько увеличится наращенная сумма при: а) ежедневных взносах; б) ежедневной капитализации процентов; в) ежедневных взносах и ежедневной капитализации процентов? (К = 365 дней)

На протяжении 12 лет создается фонд. Взносы в него поступают в конце года в размере 8 тыс. $. В течение первых 4 лет на поступившие средства начислялись 8 % годовых, в последующие 4 года - 8,25% годовых и в последние 4 года - 8,75% годовых. Определите величину фонда.

В течение 12 лет создается фонд, на поступающие в конце года средства начисляется 9% годовых. Годовой взнос - 10 тыс. $. В первые 6 лет взносы поступали в конце года, в следующие 4 года - по полугодиям и в последние 2 года - в конце каждого квартала. Определите величину фонда.

На счет в банк, в течение 6 лет, в конце года поступает 15 тыс. $ и начисляется 9,5% годовых. Имеет смысл перейти к ежемесячным взносам в банк (в конце каждого месяца), если это приведет к 5% увеличению суммы счета

к концу шестого года. Целесообразно ли увеличение частоты взносов?

На протяжении 15 лет создается фонд. На поступающие средства начисляется 9,25% годовых. В течение 10 лет в конце каждого полугодия в фонд вносили по 5 тыс. $. Затем в конце 12-го года было внесено 50 тыс. $, а в начале 14-го года - 100 тыс. $. Какова величина фонда к концу 15-го года?

Решено за 15 лет создать некоторый фонд.

На счет в банк в течение 6 лет, под 10,2% годовых, к конце каждого полугодия вносили по 10 тыс. $. Для финансирования некоторого проекта с этого счета в конце 7- го и 8-го годов было снято по 40 тыс. $. Накопление денежных средств было продолжено на этом счете по той же ставке процентов. Начиная с конца 9-го года, на счет в конце года вносили по 40 тыс. $ в течение 5 лет. Какова сумма счета к концу 13-го года?

Некто, в возрасте 30 лет, решил создать фонд по дополнительной оплате к пенсии. Для этого было решено в течение 30 лет в конце каждого года вносить в банк по 500 $ под 6% годовых. Какую сумму можно будет снимать со счета ежемесячно, в конце каждого месяца, после достижения пенсионного возраста в 60 лет, чтобы на протяжении \'20 лет полностью исчерпать накопленный фонд? На остаток средств в фонде начисляется 6% годовых.

Какую сумму ежегодно нужно вносить на счет в банке под 8,5% годовых, чтобы через 20 лет накопить 100 тыс. $, если: а) взносы в конце каждого полугодия; б) взносы в конце каждого месяца?

За какой срок можно накопить 100 тыс. $, если в конце каждого квартала на счет вносится 15 тыс. $ и на собранные средства начисляются проценты в конце каждо го полугодия по ставке 8,75% годовых? На сколько нужно увеличить годовые выплаты, чтобы не было недоплаты?

В течение 8 лет создается фонд. Годовые взносы - в кон це года по 12 тыс. $; на собранные средства начисляется 10% годовых. В каком случае сумма фонда станет больше, если перейти к: а) ежемесячным взносам в конце каждого месяца; б) ежедневной капитализации процентов? (К = 365 дней)

В течение 8 лет создается фонд.

В течение 6 лет создается фонд, взносы в который поступают в конце каждого полугодия равными суммами. На поступившие средства в конце года начисляется 8,5% годовых. Насколько процентов возрастет сумма фонда в конце 6-го года при переходе к непрерывной капитализации процентов?

Планируется создать фонд взносами по 10 тыс. $ в конце каждого года. Есть основания считать, что срок создания фонда и используемая годовая ставка процентов имеют еле дующее распределение вероятностей, приведенное в табл. 2.1

Таблица 2.1\r\nСрок создания, года Годовая ставка, %\r\n 7 8 8,5\r\nТретий 0,2 0,1 0,05\r\nЧетвертый 0,05 0,1 0,15\r\nПятый 0,05 0,1 0,2\r\n

Для наращенной суммы фонда S вычислите: Smin, Smav E{S}, с = JI){S} , Р{40 тыс. < 5 < 50 тыс.}.

2.16. Продается некоторая фирма, приносящая ежегод ный доход в 500 тыс. $, и этот доход можно будет получать її течение 50 лет. Какую цену следует добавить к стоимости недвижимости и оборудования фирмы исходя из ставки сложных процентов 8% годовых, чтобы получить полную стоимость фирмы, если доход получают: а) в конце каждого года; б) в конце каждого месяца?

Какую сумму разовым платежом нужно положить к банк под 8% годовых мужчине в возрасте 40 лет, чтобы но достижении им пенсионного возраста в 60 лет в течение 20 лет в начале каждого месяца снимать по 200$, если проценты капитализируются: а) в конце года; б) в конце каждого полугодия?

Какую сумму разовым платежом нужно положить н банк мужчине в возрасте 60 лет, чтобы в течение 20 лет it конце каждого года снимать по 2 тыс. $, если на остаток нклада меньше 10 тыс. $ начисляется 5% годовых, больше или равно 10 тыс. $ - 8% годовых?

Задолженность в 1 млн.

Стоит ли покупать за 980$ облигацию номиналом I тыс. $ и длительностью 5 лет, если она в конце каждого полугодия дает 40$ процентного дохода и в конце срока погашается по номиналу, если есть возможность поместить •ти денежные средства в банк под 9% годовых?

Авиационная фирма может продать покупателю свою продукцию по одному из двух вариантов оплаты: а) через год выплачивается 20 млн. $, затем с интервалом через год еще 4 платежа по 30 млн. $; б) через год выплачивается .Ю млн. $, затем с интервалом в полгода 8 платежей по К) млн. $. Какой из вариантов более приемлем для покупателя, если он имеет возможность разместить денежные сред- I I на в банке под 8% годовых?

В аренду сдается оборудование стоимостью 1 млн. $ і роком на 4 года. Остаточная стоимость оборудования в конце аренды оценивается в 500 тыс. $. На профилактический осмотр и ремонт арендодатель тратит дополнительно но 200$ в конце второго и третьего годов. Какую годовую

арендную плату следует брать: а) в начале каждого года; б)в конце каждого года, чтобы обеспечить норматив рентабельности в 15% годовых?

Участок сельскохозяйственных угодий может приносить ежегодный доход, который можно рассматривать как случайную величину, равномерно распределенную в интервале [190 тыс. $ , 220 тыс. $]. На удобрения в начале года необходимо тратить по 2 тыс. $. При нормативе доходности в 12% годовых назначьте среднюю цену за участок при условии, что ежегодные доходы являются независимыми в совокупности случайными величинами.

Имеются два варианта строительства и эксплуатации дороги: 1) в течение 2 лет ежемесячные инвестиции в строительство по 50 тыс. $ в конце каждого месяца, затем профилактический ремонт после 5 лет эксплуатации дороги. На ремонт в начале каждого из 3 месяцев выделяется по 20 тыс.

На аукцион выставляется нефтеносный участок, который при вложении в него по 250 тыс. $ в начале каждого квартала, в течение года, может в дальнейшем приносить ежегодный доход, в конце каждого года, в следующих размерах: первые 20 лет - по 10 тыс. $, в последующие 10 лет - по 1 млн. $. Оцените стартовую цену участка при нормативе доходности в 9% годовых.

В условия предыдущей задачи внесем изменения Ежегодные доходы являются независимыми в совокупности случайными величинами. Они равномерно распределены в интервале [9 млн. $; 10 млн. $] на первом этапе эксплуатации длительностью 20 лет. На втором этапе экс- плуатации длительностью 10 лет имеют дискретное распределение: 4 млн. $ с вероятностью 0,7 и 5,5 млн. $ с вероятностью 0,3. На последнем этапе длительностью 5 лет доход- это дискретная случайная величина со следующим распределением вероятностей: 2 млн. $ с вероятностью 0,6; 1 млн. $ с вероятностью 0,3 и 0,5 млн. $ с вероятностью 0,1. Оцените среднюю современную стоимость этого нефтеносного участка для ставки дисконтирования в 10% годовых.

Планируется на протяжении 10 лет создать фонд с ежегодными поступлениями по 100 тыс. $ в конце года. Какая должна быть ставка процентов, чтобы в фонде было накоплено 2,5 млн. $ при капитализации процентов: а) ежегодной; б) ежемесячной?

На протяжении 10 лет создается фонд с ежегодными поступлениями по 100 тыс. $ в конце года.

Долг в сумме 200 тыс. $ должен быть погашен за 5 лет равными выплатами в конце каждого полугодия. На остаток долга начисляется 9,5% годовых. Определите величину разовой уплаты по погашению долга?

Долг в сумме 500 тыс. $, выданный под 8,7% годовых, гасится следующим образом: в течение 2 лет (льготный период) основной долг не гасится, затем сумма долга погашается равными платежами (постнумерандо) за 5 лет. Определите величину годовых платежей по погашению долга в течение пятилетнего периода, если: а) на протяжении льготного периода в конце года выплачиваются только проценты; б) проценты за льготный период присоединяются к сумме долга.

Долг в сумме 700 тыс. $ гасится равными платежами в конце каждого года на протяжении 4 лет, затем гасится также равными платежами, но возросшими на 30% по сравнению с первым периодом, в течение последующих 3 лет в конце каждого года. На остаток задолженности начисляется 9,25% годовых. Чему равна величина годового глатежа по погашению долга в первом периоде?

Долг в сумме 400 тыс. $, выданный под 10% годовых, должен быть погашен за 8 лет равными платежами в конце каждого года. Однако после трех выплат, согласно достигнутой договоренности, остальную задолженность было решено погасить равными суммами S0 в конце шестого, седьмого и восьмого годов по той же ставке процентов. Чему равно значение S0?

За какой срок долг в сумме 525 тыс. $ может быть погашен годовыми платежами в 80 тыс. $ в конце каждого года, если на остаток долга начисляется 8,25% годовых? Если найденное значение округлить до ближайшего меньшего числа, то каким должен быть годовой член R по погашению долга, чтобы долг был погашен полностью?

Долг, в сумме 400 тыс. $, погашается в течение б лет равными платежами с годовыми выплатами по 90 тыс. $. Какой вариант погашения долга более выгоден для кредитора: а) погашение в конце каждого полугодия, начисление процентов на остаток долга в конце года; б) выплаты в конце года при ежемесячной капитализации процентов на остаток долга? Чему равна максимальная эффективность займа в виде годовой ставки сложных процентов?

Долг в размере 870 тыс. $ намечено погасить в течение 10 лет платежами постнумерандо, по 120 тыс. $ ежегодно. Первые четыре выплаты были сделаны согласно достигнутой договоренности. Затем было решено на 2 года отложить погашение задолженности и возобновить ее погашение равными выплатами постнумерандо, начиная с конца седьмого года. Какими должны быть погасительные платежи во втором периоде, чтобы намеченная ранее эффективность погашения ссуды не изменилась?

Фонд создается в течение 5 лет. На собранные средства начисляется 8,25% годовых. Годовые платежи по 24 тыс. $ поступают в конце каждого месяца. Насколько процентов возрастет наращенная сумма фонда, если перейти к смешанной форме начисления процентов?

В течение полутора лет создается фонд. Взносы в сумме 100 тыс. $ поступают в конце каждого месяца. На поступившие средства начисляется 7,5% годовых. Чему равна сумма фонда, если: а) начисляются простые проценты; б) сложные проценты?

В течение 10 лет создается фонд, годовые взносы к сумме 400 тыс. $ вносятся в конце каждого года под 12% годовых. На сколько можно уменьшить годовой взнос К фонд, чтобы получить ту же наращенную сумму, если взноси вносятся: а) в начале года; б) в начале каждого полугодии?

Долг в сумме 800 тыс. $ гасится равными выпла- Гими в конце каждого года в течение 5 лет, на остаток долга начисляется 8,5% годовых. В каком случае годовые рисходы по обслуживанию долга возрастут больше и на сколько, если: а) будет предоставлена годовая отсрочка по погашению долга, проценты за этот период присоединяются К сумме долга; б) ставка годовых процентов возрастет на 0,5%?

Оценить, косвенно, какую сумму завещал А.Б. Но- Аі\'ль на учреждение международных премий, если эта сумма Пыла положена в банк под 10% годовых. Каждый год начинается шесть Нобелевских премий по 1 млн. $ и 1 млн. $ идет на организационные расходы.

Месторождение полезных ископаемых планирует- СИ эксплуатировать в течение 40 лет. Ожидается, что в первые 30 лет чистый годовой доход составит по 80 млн. $ ди каждый год, а в последние 10 лет - по 40 млн. $ за кмждый год. Оцените современную стоимость доходов от чксплуатации месторождения для ставки 10 % годовых.

Указание: воспользуйтесь теорией рент с выплатами в і средине периодов.

Некоторую задолженность предлагается погасить и течение 5 лет одним из следующих способов: а) выплачи- мнть в конце каждого года по 200 тыс. $; б) выплачивать в тише каждого полугодия по 97500 $. Для ставки дисконти- |шнания 10% годовых определить, какой из этих способов й большей мере возмещает задолженность? Для какой ставки дисконтирования оба способа погашения задолженности Пудут равноценны?

Долг в сумме 800 тыс. $ должен быть погашен в мнение 8 лет равными платежами в конце каждого года. I h остаток долга начисляется 8% годовых. После 4 лет вы- плат, согласно намеченному плану погашения, должник, по согласованию с банком, решил гасить задолженность равными выплатами в конце каждого полугодия. Явившись в банк в конце седьмого года, должник решил оставшуюся задолженность погасить разовым платежом. Какую сумму ему нужно вернуть банку?

Кредит в сумме 700 тыс. $ выдан под 10% годо вых. Планируется погасить задолженность, выплачивая по 68 тыс. $ в конце каждого года. За какой срок можно погасить задолженность? На сколько нужно увеличить намечен ную сумму выплат, чтобы погасить задолженность не более чем за 8 лет?

В 1984 г. на химическом заводе в городе Бхопала (Индия) произошла крупная авария, повлекшая человеческие жертвы. Владелец предприятия, корпорация "Юнион карбайд", предложила в качестве компенсации 200 млн. $, выплачи-ваемых в течение 35 лет поквартально. Если бы правительство Индии согласилось с этим предложением, то какую сумму следовало бы поместить корпорации в банк под 10% годовых, чтобы произвести эти выплаты?

Продается участок земли, который может давать два урожая в год (через полгода). Для севооборота поочередно выращивают культуры двух типов А и В. Чистый доход, который можно получить от продажи собранного урожая, оценивается в 1280 $ для культуры типа Лив 2000 $ для культуры типа В. Какую цену следует назначить на дан-ный участок земли при нормативе доходности в 12% годовых?

В страховой компании застрахована однородная социальная группа лиц в возрасте 53 года численностью 3000 человек. Страхование производится на один год. В случае смерти застрахованного в течение года страховая компания выплачивает его наследникам 120 тысяч условных единиц и не платит ничего, если застрахованный остается живым в течение года.

Определите страховую премию а каждого участника этого страхового договора, которая обеспечит вероятность выполнения компанией своих обязательств на уровне 95%, если /53 = 87791,26; d53 = 665,0646.

Страховая компания заключила договор страховании жизни с однородной социальной группой в 8000 чело- иск на один год. Возраст застрахованных - 43 года. В случае смерти застрахованного в течение года от несчастного случая страховая компания выплачивает его наследникам ЖЮ тысяч условных единиц, а в случае смерти от естест- пенных причин - 400 тысяч. Страховая компания не платит ничего, если застрахованный не умрет в течение года. Вероятность смерти от несчастного случая, в таком возрасте, оценивается в 0,0007.

Найдите размер страховой премии а, обеспечивающий вероятность не убыточной деятельности компании в 95%,

если, \' согласно таблице смертности, /43 = 92299,23; В страховой компании застраховано 1000 человек однородной социальной группы в возрасте 27 лет, для кото-

!рых вероятность умереть в течение года равна 0,0013288, и группа в 4000 человек в возрасте 48 лет, соответствующая иероятность смерти которых - 0,0050436. Страховая компа-

F

HHH выплачивает наследникам застрахованных первой группы - 300 тысяч условных единиц, а второй группы - 160 ты- j сич, в случае смерти застрахованного в течение года и не і платит ничего, если застрахованный доживет до конца года.

Определите страховые премии a]t а2 социальной группы, глрантирующие 99% вероятность выполнения страховой ком- ианией своих обязательств.

Однородная социальная группа в 1000 человек в иозрасте 70 лет страхует свою жизнь на протяжении 5 лет на следующих условиях. Если застрахованный умрет в течение этих 5 лет, то его наследникам страховая компания ныплачивает сумму в 250 тысяч условных единиц, если останется живым, то компания не платит ничего.

Определите величину страховой премии а, обеспечивающей 95% вероятность выполнения компанией своих обязательств, если норматив доходности компании і = 8% годо- ных и используются следующие данные таблицы смертности: d70 = 2195,4578; dn = 2319,4639; = 2442,6884; Некоторое лицо в возрасте 46 лет страхует будущую выплату ежегодных пенсий в размере 2500 условных единиц. Пенсия будет выплачиваться с 60 лет. Норматив доходности в страховой компании - 6% годовых. Определите величину нетто-премии а, пожизненной пенсии, если пенсия будет выплачиваться помесячно, в начале каждого месяца. Насколько меньше будет нетто-премия а2 такой пенсии, если пенсия будет выплачиваться в конце каждого месяца? В расчетах используйте следующие коммутацион ные числа: N6l = 25182,39; Z)46 = 6255,74; D61 = 2309,44

2.52. Пусть на пенсионный счет страхователя (возрас; 50 лет) в течение трех лет поступают взносы пренумеран до: 80, 120 и 160 тысяч условных единиц. Пенсия будет выплачиваться с 55 лет пожизненно, в конце каждого месяца Норматив доходности в страховой компании - 6% годовых.

Определите размер месячных пенсионных платежей. Для расчета используйте следующий ряд коммутационных чи сел: ?>50 = 4859,3; D5l = 4557,1; ?>52 = 4271,55; Z)56 = = 3277,32; JV56 = 39525,92.