Предположения о случайном члене

Итак, очевидно, что свойства коэффициентов регрессии существенным образом зависят от свойств случайной составляющей. В самом деле, для того чтобы регрессионный анализ, основанный на обычном методе наименьших квадратов, давал наилучшие из всех возможных результаты, случайный член должен удовлетворять четырем условиям, известным как условия Гаусса—Маркова.

Рассмотрим теперь эти условия одно за другим, объясняя кратко, почему они имеют важное значение. Три последних условия будут также подробно рассмотрены в следующих главах.

1. е условие Гаусса—Маркова: E(U) = 0 для всех наблюдений

Первое условие состоит в том, что математическое ожидание случайного члена в любом наблюдении должно быть равно нулю. Иногда случайный член будет положительным, иногда отрицательным, но он не должен иметь систематического смещения ни в одном из двух возможных направлений.

Фактически если уравнение регрессии включает постоянный член, то обычно бывает разумно предположить, что это условие выполняется автоматически, так как роль константы состоит в определении любой систематической тенденции в у, которую не учитывают объясняющие переменные, включенные в уравнение регрессии.

2. е условие Гаусса—Маркова: pop. var (u) постоянна для всех наблюдений

Второе условие состоит в том, что дисперсия случайного члена должна быть постоянна для всех наблюдений.

Эта постоянная дисперсия обычно обозначается а2, или часто в более краткой форме а2, а условие записывается следующим образом:

pop. var (u) = о2 для всех              (3.12)

Так как Е (и,) = 0 и pop. var (и) = Е (и,2), условие можно переписать в виде:

Е(и,2) = а2 для всех              (3.13)

Величина аи, конечно, неизвестна. Одна из задач регрессионного анализа состоит в оценке стандартного отклонения случайного члена.

Если рассматриваемое условие не выполняется, то коэффициенты регрессии, найденные по обычному методу наименьших квадратов, будут неэффективны, и можно получить более надежные результаты путем применения модифицированного метода регрессии. Это будет рассмотрено в главе 7.

3. є условие Гаусса—Маркова: pop. cov (uf Uj) = О (i* j)

Это условие предполагает отсутствие систематической связи между значениями случайного члена в любых двух наблюдениях. Например, если случайный член велик и положителен в одном наблюдении, это не должно обусловливать систематическую тенденцию к тому, что он будет большим и положительным в следующем наблюдении (или большим и отрицательным, или малым и положительным, или малым и отрицательным). Случайные члены должны быть абсолютно независимы друг от друга.

В силу того, что Е (и,.) = Е(иу) = 0, данное условие можно записать следующим образом:

E(.U)Uj) = 0 (/ *j).              (3.14)

Если это условие не будет выполнено, то регрессия, оцененная по обычному методу наименьших квадратов, вновь даст неэффективные результаты. В главе 7 рассматриваются возникающие здесь проблемы и пути их преодоления.

4. е условие Гаусса—Маркова: случайный член должен быть распределен независимо от объясняющих переменных

В большинстве глав книги мы будем в сущности использовать более сильное предположение о том, что объясняющие переменные не являются стохастическими, т. е. не имеют случайной составляющей. Значение любой независимой переменной в каждом наблюдении должно считаться экзогенным, полностью определяемым внешними причинами, не учитываемыми в уравнении регрессии.

Если это условие выполнено, то теоретическая ковариация между независимой переменной и случайным членом равна нулю. Так как Е (и(.) = 0, то

pop.соv(*y,U/) = E{(Xj - x)(u,)} = E(X\'U\') - хЕ(щ) = E(x,u,).              (3.15)

Следовательно, данное условие можно записать также в виде:

Е(хр,) = 0.              (3.16)

В главах 8 и 11 рассматриваются два важных случая, в которых данное условие не выполнено, и последствия этого.