§ 2D. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ В ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЯХ

ВО ВВЕДЕНИИ К НАСТОЯЩЕМУ РАЗДЕЛУ ОТМЕЧАЛОСЬ, ЧТО ПОСТРОЕНИЕ ВЕРО-ЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ (ПО "ПРОШЛЫМ" ДАННЫМ) ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ НЕ САМОЦЕЛЬ, А ЯВЛЯЕТСЯ НЕОБХОДИМЫМ ДЛЯ ТОГО, ЧТОБЫ, В КОНЕЧНОМ СЧЕТЕ, ДАТЬ ПРОГНОЗ "БУДУЩЕГО" ДВИЖЕНИЯ ЦЕН.
В ОЧЕНЬ РЕДКИХ СЛУЧАЯХ ПО "ПРОШЛЫМ" ДАННЫМ МОЖНО ДАТЬ БЕЗОШИБОЧНЫЙ ПРОГНОЗ.

(ТАКАЯ СИТУАЦИЯ ПРИСУЩА, НАПРИМЕР, ТАК НАЗЫВАЕМЫМ СИНГУЛЯРНЫМ СТАЦИОНАРНЫМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМ; СМ. ДАЛЕЕ П. 4, И, ПОДРОБНЕЕ, НАПРИМЕР, В [439; ГЛ. VI].)
ТИПИЧЕН ЖЕ, КОНЕЧНО, ТОТ СЛУЧАЙ, КОГДА, ДЕЛАЯ ТОТ ИЛИ ИНОЙ ПРОГНОЗ, МЫ НЕМИНУЕМО БУДЕМ СОВЕРШАТЬ НЕКОТОРУЮ ОШИБКУ, ВЕЛИЧИНА КОТОРОЙ ОПРЕДЕЛЯЕТ СТЕПЕНЬ РИСКА РЕШЕНИЙ, ОСНОВАННЫХ НА ПОЛУЧЕННОМ ПРОГНОЗЕ.
В ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ МОДЕЛЯХ ИМЕЕТСЯ ХОРОШО РАЗРАБОТАННАЯ (И КРАСИВАЯ) ТЕОРИЯ ПОСТРОЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ (В СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕС- КОМ СМЫСЛЕ) ЛИНЕЙНЫХ ОЦЕНОК, РАЗВИТАЯ, ГЛАВНЫМ ОБРАЗОМ, В РАБОТАХ А. Н. КОЛМОГОРОВА И Н. ВИНЕРА.
КАК МЫ ВИДЕЛИ ВЫШЕ, МНОГИЕ ИЗ РАССМОТРЕННЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ H = (HN) МОГУТ БЫТЬ ПРЕДСТАВЛЕНЫ В ВИДЕ ОДНОСТОРОННЕГО СКОЛЬЗЯЩЕГО СРЕДНЕГО
ОО
HN = AK?N-K (1)
FC=0
ОО
С X) LAFC|2 < ОО И НЕКОТОРОЙ "БАЗОВОЙ" ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ Є = (Є„), FC=0
ЯВЛЯЮЩЕЙСЯ БЕЛЫМ ШУМОМ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ. (СМ. (15) В § 2А ДЛЯ МОДЕЛЕЙ MA(Q), МА(ОО); ДЛЯМОДЕЛЕЙ AR(P) СМ. (41) В § 2Ь; ДЛЯМОДЕЛЕЙ ARMA(Р, Q) СМ. (8) В § 2С.)
ДЛЯ ИЗЛОЖЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ОТНОСИТЕЛЬНО ЭКСТРАПОЛЯЦИИ ТАКИХ ПОСЛЕ-ДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ НАМ ПОНАДОБЯТСЯ НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И ПОНЯТИЯ.
ЕСЛИ ? = (?П) - СТОХАСТИЧЕСКАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, ТО БУДЕМ ОБО-ЗНАЧАТЬ = СТ(... ,?Т»-Ъ?П) ~ (Т-АЛГЕБРУ, ПОРОЖДЕННУЮ "ПРОШЛЫМ" {?FC> К ^ N}, 3&00_ = V 3^ - (Т-АЛГЕБРУ, ПОРОЖДЕННУЮ ВСЕМИ ВЕЛИЧИНАМИ ? = (?П); - ЗАМКНУТОЕ (В I?) ЛИНЕЙНОЕ МНОГООБРАЗИЕ .. ,?N-I,?»»), ПОРОЖДЕННОЕ ВЕЛИЧИНАМИ , FC < N}, И Н^ - ЗАМКНУТОЕ ЛИНЕЙНОЕ МНОГООБ-РАЗИЕ, ПОРОЖДЕННОЕ ВСЕМИ ВЕЛИЧИНАМИ ? = (?П),Т.Е.

Н^ = FC < ОО).
ПУСТЬ ТІ = Т}(Ш) - НЕКОТОРАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА С КОНЕЧНЫМ ВТОРЫМ МОМЕНТОМ, ЕГ)2(ИІ) < ОО. СФОРМУЛИРУЕМ ЗАДАЧУ ОЦЕНИВАНИЯ ВЕЛИЧИНЫ Т? ПО НАБЛЮДЕНИЯМ ЗА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ
ЗДЕСЬ НАИБОЛЕЕ РАСПРОСТРАНЕНЫ СЛЕДУЮЩИЕ ДВА ПОДХОДА.
ЕСЛИ НАБЛЮДЕНИЮ ПОДЛЕЖАТ ЗНАЧЕНИЯ (... ТО В ПЕРВОМ ПОДХО
ДЕ В КАЧЕСТВЕ ОЦЕНОК БЕРЕТСЯ КЛАСС ВСЕХ 3^-ИЗМЕРИМЫХ ОПЕНОК FJN И СРЕДИ НИХ НАИЛУЧШЕЙ (ОПТИМАЛЬНОЙ) ОБЪЯВЛЯЕТСЯ ТА ОПЕНКА Т}П, НА КОТОРОЙ ДОСТИГАЕТСЯ МИНИМУМ СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОГО ОТКЛОНЕНИЯ:
— RFN]2 — IPF Е|Т7 — »7N|2- (2)
ХОРОШО ИЗВЕСТНО, ЧТО ОПТИМАЛЬНАЯ В ЭТОМ СМЫСЛЕ ОЦЕНКА ИМЕЕТ СЛЕДУЮЩИЙ ВИД:
FFN = E(V\\3I), (3)
ГДЕ Е( • ] •) - УСЛОВНОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ, ЯВЛЯЮЩЕЕСЯ, ВООБЩЕ ГОВОРЯ, НЕЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИЕЙ ОТ НАБЛЮДЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ (... ,?N-I,?N)- (ВОПРОСЫ ОПТИМАЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ, ЭКСТРАПОЛЯЦИИ И ИНТЕРПОЛЯЦИИ ДЛЯ ДОСТАТОЧНО ШИРОКИХ КЛАССОВ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ РАССМАТРИВАЮТСЯ, НАПРИМЕР, В [303].)
В ДРУГОМ ЖЕ ПОДХОДЕ, НА КОТОРОМ МЫ СЕЙЧАС И СОСРЕДОТОЧИМ НАШЕ ВНИМАНИЕ, К РАССМОТРЕНИЮ ДОПУСКАЮТСЯ ЛИШЬ ЛИНЕЙНЫЕ ОЦЕНКИ, Т. Е. ФУНКЦИИ ИЗ ОБРАЗОВАННЫЕ (ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ) ИЛИ КОНЕЧНЫМИ ЛИНЕЙНЫМИ КОМБИ-НАЦИЯМИ ВЕЛИЧИН FC ^ П}, ИЛИ ЖЕ ИХ Ь2-ЗАМЫКАНИЯМИ.
ПО АНАЛОГИИ С (2), НАИЛУЧШЕЙ (ОПТИМАЛЬНОЙ) ЛИНЕЙНОЙ ОПЕНКОЙ ВЕЛИЧИНЫ -Q ОБЪЯВЛЯЕТСЯ ОПЕНКА АП Є ТАКАЯ, ЧТО
Е|Т? — А„|2 = INF Е|т7 — АП|2. (4)
Л„ЕЯ$
ПРИ ЭТОМ ДЛЯ АП ПРИНЯТО СЛЕДУЮЩЕЕ ОБОЗНАЧЕНИЕ (СР. С (3)):
АП =Ё(Т7|#?), (5)
ГДЕ Е( • | •) НАЗЫВАЮТ УСЛОВНЫМ МАТЕМАТИЧЕСКИМ ОЖИДАНИЕМ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ.
3. ВЕРНЕМСЯ К ВОПРОСУ О (ЛИНЕЙНОМ) ПРЕДСКАЗАНИИ ЗНАЧЕНИЯ HN,N Р 1, В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ H = (H,N), ОПИСЫВАЕМОЙ ФОРМУЛОЙ (1), ПО ТОЙ "ИНФОРМАЦИИ" КОТОРАЯ ИМЕЕТСЯ ДО МОМЕНТА ВРЕМЕНИ 0. СРАВНИТЕЛЬНО ПРОСТО ЭТА ЗАДАЧА РЕШАЕТСЯ, КОГДА "ИНФОРМАЦИЕЙ" СЧИТАЕТСЯ ВСЕ "ПРОШЛОЕ" ПОРОЖДЕННОЕ НЕ H = (/I„)NSJOI А ? = (?П)П^О:
Щ = ¦ ¦ >Є-І> ?О)-
ДЕЙСТВИТЕЛЬНО,
УП — 1 ОО \\
= E(HN\\Щ) = Е( J] AKAN-K + ^ AFC?„_FC | Я0Е)
FC=0 FC=N \'
ОО /П— 1 X ОО
= 53 AFC?N-FC + Е^ 53 АКЄП-К | HQ J = 53 АК?П-К,
(6)
FC=N VFC=0 \' К—П
поскольку ДЛЯ І Р 1
Е(ЄІ \\Н$) = ЕЄІ (= 0),
ЧТО ЛЕГКО СЛЕДУЕТ ИЗ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ КОМПОНЕНТ В "БЕЛОМ ШУМЕ" Є = (?J).

ПРИ ЭТОМ НЕТРУДНО НАЙТИ И ОШИБКУ ЭКСТРАПОЛЯЦИИ
ТІ — 1
°ГА — E[/L„ — E(HN I #О)|2 = 53 LAFC|2\'
FC=0
ЯСНО, ЧТО СТ2 ^ АП+І И
ОО
LIMA2 = 53 Ы2 (= ЕЛ2).
П 1 *
К=О
ОТСЮДА СЛЕДУЕТ, ЧТО С РОСТОМ П РОЛЬ "ПРОШЛОЙ ИНФОРМАЦИИ" Щ = !?(..., ?П_І, ?О) В ПРЕДСКАЗАНИИ ЗНАЧЕНИЙ ВЕЛИЧИНЫ HN СТАНОВИТСЯ "ВСЕ МЕНЬШЕ И МЕНЬШЕ" И В ПРЕДЕЛЕ (П —> ОО) В КАЧЕСТВЕ НАИЛУЧШЕЙ ЛИ-НЕЙНОЙ ОЦЕНКИ НАДО БРАТЬ ПРОСТО МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ, Т.Е. 0 В РАССМАТРИВАЕМОМ СЛУЧАЕ.
РАЗУМЕЕТСЯ, БОЛЬШОЙ ИНТЕРЕС ПРЕДСТАВЛЯЕТ ЗАДАЧА ЭКСТРАПОЛЯЦИИ НЕ ТОЛЬКО ПО БЕСКОНЕЧНОМУ ЧИСЛУ ЗНАЧЕНИЙ {EFC, K ^ 0}, НО И ПО НЕКОТОРОМУ ИХ КОНЕЧНОМУ ЧИСЛУ, СКАЖЕМ, {EK,L < К < 0}. СЛЕДУЕТ, ОДНАКО, ОТМЕТИТЬ, ЧТО В ТЕХНИЧЕСКОМ ОТНОШЕНИИ ЭТА ПОСЛЕДНЯЯ ЗАДАЧА СЛОЖНЕЕ, НЕЖЕЛИ ТА, КОТОРАЯ СЕЙЧАС РАССМАТРИВАЕТСЯ.
ПОЛУЧЕННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
СХ>
= Е AFC?"-FC
FC=TI
РЕШАЕТ ЗАДАЧУ ЭКСТРАПОЛЯЦИИ ВЕЛИЧИН HN ПО (ЛИНЕЙНОЙ) "ИНФОРМАЦИИ" Я§ , АНЕ ПО "ИНФОРМАЦИИ" ЯР , СОДЕРЖАЩЕЙСЯ В S?{..., І, HO).
ПОНЯТНО, КОНЕЧНО, ЧТО ЕСЛИ ПРЕДПОЛОЖИТЬ, ЧТО
= (8)
ТО, ПО КРАЙНЕЙ МЕРЕ В ПРИНЦИПЕ, ИЗ (7) МОЖНО ПОЛУЧИТЬ И СООТВЕТСТВУЮ-
^ ОО
ЩУЮ ОЦЕНКУ Е(/Г„ I ЯД ) В ВИДЕ ? AFC/I„_FC.
К=П
4. В СВЯЗИ СО СДЕЛАННЫМИ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯМИ (1) И (8), ЦЕЛЕСООБРАЗНО НАПОМНИТЬ НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ТЕОРИИ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПО-СЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ.
ПУСТЬ F = (F„) - НЕКОТОРАЯ СТАЦИОНАРНАЯ (В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ) ПОСЛЕДО-ВАТЕЛЬНОСТЬ.
КАЖДЫЙ ЭЛЕМЕНТ Г) Є Я(?) МОЖЕТ БЫТЬ ПРЕДСТАВЛЕН В ВИДЕ СУММЫ ДВУХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КОМПОНЕНТ:
Т, = Е(Т,| Я(0) + [Ч-Е(Ч|ЗД],
ГДЕ S(?) - (~)ПН& ~ (ЛИНЕЙНАЯ) ИНФОРМАЦИЯ, СОДЕРЖАЩАЯСЯ В "БЕСКОНЕЧНО ДАЛЕКОМ ПРОШЛОМ" ОБОЗНАЧАЯ R(?) МНОЖЕСТВО ЭЛЕМЕНТОВ ВИДА Г) — Е(Т) | 5(F)), ГДЕ Ц Є Я(?), НАХОДИМ, ЧТО И САМО МНОЖЕСТВО Я(?) МОЖЕТ БЫТЬ ПРЕДСТАВЛЕНО КАК ОРТОГОНАЛЬНАЯ СУММА: Я(?) = 5(?) Ф I?(F).
СТАЦИОНАРНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ? = (?П) НАЗЫВАЕТСЯ РЕГУЛЯРНОЙ, ЕСЛИ Я(?) = R(0, И СИНГУЛЯРНОЙ, ЕСЛИ Я(?) = 5(F).
НАГЛЯДНЫЙ СМЫСЛ УСЛОВИЯ Я(?) = S (?) ВПОЛНЕ ПОНЯТЕН: ОНО ОЗНАЧАЕТ, ЧТО ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ, ДОСТАВЛЯЕМАЯ ЗНАЧЕНИЯМИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ "СИДИТ В БЕСКОНЕЧНО ДАЛЕКОМ ПРОШЛОМ" ПОЭТОМУ СИНГУЛЯРНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НАЗЫВАЮТ ТАКЖЕ ЧИСТО ИЛИ ВПОЛНЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫМИ.

В ТОМ СЛУЧАЕ, КОГДА ПОДПРОСТРАНСТВО 5(F) = 0, Т.Е. Н(?) : Д(?), ПОСЛЕДОВАТЕЛЬ-НОСТЬ ? НАЗЫВАЮТ ЧИСТО ИЛИ ВПОЛНЕ НЕДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ.
СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕННЫХ ПОНЯТИЙ РАСКРЫВАЕТСЯ В СЛЕДУЮЩЕМ РЕЗУЛЬТАТЕ.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. ВСЯКАЯ НЕВЫРОЖДЕННАЯ СТАЦИОНАРНАЯ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ СЛУЧАЙНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ? — (?„) ДОПУСКАЕТ, И ПРИТОМ ЕДИНСТВЕННОЕ, РАЗЛОЖЕНИЕ
•S
ГДЕ ?Г = (??) - РЕГУЛЯРНАЯ, A ?S = (?*) - СИНГУЛЯРНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ-, ПРИ ЭТОМ ?Г И ОРТОГОНАЛЬНЫ (COV(F?,F?J = О ДЛ>Г ВСЕЯ П И Т).
(СМ. ПОДРОБНЕЕ [439; ГЛ. VI, § 5].)
ВВЕДЕМ СЛЕДУЮЩЕЕ ВАЖНОЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. СЛУЧАЙНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ Є = (ЄП) НАЗЫВАЕТСЯ ОБНОВЛЯЮЩЕЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ ДЛЯ ? = (?„), ЕСЛИ
Є = (ЄП) ЯВЛЯЕТСЯ БЕЛЫМ ШУМОМ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ, Т.Е. ЕЄ„ - 0, ЕЄ„ЄТ —0,ПФТ, Е|Є„|2 = 1;
= Я® ДЛЯ ВСЕХ П.
ПОНЯТЕН НАГЛЯДНЫЙ СМЫСЛ ТЕРМИНА "ОБНОВЛЯЮЩИЙ": В СИЛУ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Є = (ЄП) ВЕЛИЧИНА ЄП+І МОЖЕТ РАС-СМАТРИВАТЬСЯ КАК ТА ("НОВАЯ") ИНФОРМАЦИЯ, КОТОРАЯ "ОБНОВЛЯЕТ" ИНФОРМАЦИЮ, СОДЕРЖАЩУЮСЯ В И ДАЕТ ВОЗМОЖНОСТЬ ОБРАЗОВАТЬ Н„+1. ПОСКОЛЬКУ - Я® ДЛЯ ВСЕХ П, ТО, ТЕМ САМЫМ, ЄП+І "ОБНОВЛЯЕТ" И ИНФОР-МАЦИЮ В (СР. С §2А, ГЛ. I, ГДЕ РАССМАТРИВАЛАСЬ ГИПОТЕЗА СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ И ОБСУЖДАЛОСЬ ПОНЯТИЕ ЭФФЕКТИВНОГО РЫНКА.)
СЛЕДУЮЩЕЕ ПРЕДЛОЖЕНИЕ УСТАНАВЛИВАЕТ СВЯЗЬ МЕЖДУ ВВЕДЕННЫМИ ВЫШЕ ПОНЯТИЯМИ.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. ДЛЯ ТОГО ЧТОБЫ НЕВЫРОЖДЕННАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬ-НОСТЬ ? = (?„) БЫЛА РЕГУЛЯРНОЙ, НЕОБХОДИМО И ДОСТАТОЧНО, ЧТОБЫ НАШЛИСЬ ТАКАЯ ОБНОВЛЯЮЩАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ Є = (ЄП) И ЧИСЛА
ОО
(«FC)FC>0 С ? KI2 < СО, ЧТО (Р-П.Н.) К=0
ОО
= УЗ АКЄП-К-
К=О
(ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СМ., НАПРИМЕР, В [439; ГЛ. VI, §5].)
ИЗ СФОРМУЛИРОВАННЫХ ВЫШЕ ПРЕДЛОЖЕНИЙ 1 И 2 НЕПОСРЕДСТВЕННО ВЫТЕКАЕТ
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. ЕСЛИ F = (F„) - НЕВЫРОЖДЕННАЯ СТАЦИОНАРНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, ТО ОНА ДОПУСКАЕТ РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЛЬДА:
ОО
+ (10) FC=О
ОО
ГДЕ ? ОУ. < ОО И Є = (Є„) - НЕКОТОРАЯ ОБНОВЛЯЮЩАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНА
НОСТЬ (ДЛЯ ?Г).
5.

ЕСЛИ ПРЕДПОЛАГАТЬ, ЧТО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ A = (HN) ДОПУСКАЕТ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ (1) С ОБНОВЛЯЮЩЕЙ (ДЛЯ А) ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ Є = (Є„), ТО ТОГДА
А„ = Е(А„ | HQ) = Е(А„ | Щ) (= AW). ЗНАЧИТ, В СИЛУ (6),
ОО ОО
AN = Е AK?N-K = Е ®FE")/LN-K> (П)
FE=N FE=N
ГДЕ ПОСЛЕДНЕЕ РАВЕНСТВО СЛЕДУЕТ ИЗ ТОГО, ЧТО = ДЛЯ ВСЕХ П.
ФОРМУЛА (11) В ПРИНЦИПЕ РЕШАЕТ ЗАДАЧУ ОПТИМАЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ЭКСТ-РАПОЛЯЦИИ ЗНАЧЕНИЙ А„ ПО "ПРОШЛОЙ" ИНФОРМАЦИИ {AFC, K SJ 0}. НО, ЕСТЕСТВЕННО, ВОЗНИКАЮТ СЛЕДУЮЩИЕ ДВА ВОПРОСА: КОГДА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ А = (HN) ДОПУСКАЕТ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ (1) С ОБНОВЛЯЮЩЕЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОС-ТЬЮ Є = (Е„) И КАК НАХОДИТЬ КОЭФФИЦИЕНТЫ АЬ, ВХОДЯЩИЕ В (11).
ОТВЕТ НА ПЕРВЫЙ ВОПРОС СОДЕРЖИТСЯ В ПРЕДЛОЖЕНИИ 2 - ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ А = (А„) ДОЛЖНА БЫТЬ РЕГУЛЯРНОЙ. И ЗДЕСЬ РАБОТАЕТ ИЗВЕСТНЫЙ КРИТЕРИЙ КОЛМОГОРОВА: ЕСЛИ А = (А„) - СТАЦИОНАРНАЯ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ СО СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТЬЮ F = /(А) ТАКОЙ, •ЧТО
[ LN/(A)DA > —ОО, (12)
J —1Г
ТО ЭТА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ЯВЛЯЕТСЯ РЕГУЛЯРНОЙ. (СМ., НАПРИМЕР, [439; ГЛ. VI, §5].)
НАПОМНИМ, ЧТО ВСЯКАЯ СТАЦИОНАРНАЯ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ F ~ КП) С П — 0 ДОПУСКАЕТ СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
U = Г EIXN Z(D\\), (13)
J —7Г
ГДЕ Z = Z( А) С А Є 3§([—Ж, 7Г]) ЯВЛЯЕТСЯ КОМПЛЕКСНО ЗНАЧНОЙ СТОХАСТИЧЕСКОЙ МЕРОЙ С ОРТОГОНАЛЬНЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ: EZ(AI)Z(A2) = 0, АІ П А2 = 0; (СМ., НАПРИМЕР, [439; ГЛ. VI, § 3]).
ПРИ ЭТОМ КОВАРИАЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ Л(П) = СОV(FFC+N,FFC) ДОПУСКАЕТ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
R(N)= Г EIXNF(DX) (14)
J —7Г
СО СПЕКТРАЛЬНОЙ МЕРОЙ F(А) ¦ E|Z(A)|2.
ЕСЛИ СУЩЕСТВУЕТ (НЕОТРИЦАТЕЛЬНАЯ) ФУНКЦИЯ / = / (А) ТАКАЯ, ЧТО
F(A)= [ F(X)DX, (15)
J Д
ТО ОНА НАЗЫВАЕТСЯ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТЬЮ. САМА ЖЕ ФУНКЦИЯ F(X) = F((—ОО, А]) НАЗЫВАЕТСЯ СПЕКТРАЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ.
ТАКИМ ОБРАЗОМ, ЕСЛИ ОТНОСИТЕЛЬНО ИСХОДНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ H = (HN) ИЗВЕСТНО A PRIORI ЛИШЬ ТОЛЬКО ТО, ЧТО ОНА ЯВЛЯЕТСЯ СТАЦИОНАРНОЙ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ СО СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТЬЮ / = /(А), УДОВЛЕ-ТВОРЯЮЩЕЙ УСЛОВИЮ (12), ТО ТОГДА ЭТА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ЯВЛЯЕТСЯ РЕГУЛЯРНОЙ, ДОПУСКАЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ (9) С ОБНОВЛЯЮЩЕЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ Є= (ЄП).
В ИНТЕРЕСУЮЩИХ НАС ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЯХ, РАССМОТРЕННЫХ ВЫШЕ, ПО-СЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ H = (HN) ЗАДАВАЛАСЬ НЕ СПЕКТРАЛЬНЫМ ПРЕДСТАВЛЕНИЕМ, А В ВИДЕ РЯДА (1), ГДЕ Є = (Є„) - НЕКОТОРАЯ ОРТОНОРМИРОВАННАЯ ПОСЛЕДОВА-ТЕЛЬНОСТЬ С УСЛОВИЯМИ ЕЄП = 0 И ЕCICJ — 5IJ, ГДЕ 5IJ - СИМВОЛ КРОНЁКЕРА:
5IJ = 1, ЕСЛИ І = J, И 5IJ = 0, ЕСЛИ І Ф J.
ПОНЯТНО, ЧТО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ Є - (ЄП) ЯВЛЯЕТСЯ СТАЦИОНАРНОЙ, ЕЕ КОРРЕЛЯЦИОННАЯ (= КОВАРИАЦИОННАЯ) ФУНКЦИЯ
Г 1, П = О,
R«(N)= П \' (16)
10, П Ф 0,
И СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ
^ПОСКОЛЬКУ RE(N) = J E"N±D\\.)
ОО ОО
ЕСЛИ А„ — Y1 АК?П-К и КОЭФФИЦИЕНТЫ ОК ТАКОВЫ, что 22 lafc|2 < 00) FE=0 FC=0 ТОГДА, КАК НЕТРУДНО ВИДЕТЬ, КОВАРИАЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
H = (HN)
RH(N)= Г EIXNFH(X)DX, (18)
J—Ж
ГДЕ
FHW = ^\\ЩЕ-ІХ)\\2 (19)
И
Ф(Z) = J2 AKZK. (20)
FE=0
ПРЕДПОЛОЖИМ СЕЙЧАС, ЧТО РЯД (20) ИМЕЕТ РАДИУС СХОДИМОСТИ Г J> 1 И НЕ ИМЕЕТ НУЛЕЙ В ОБЛАСТИ \\Z\\ < 1.

В ЭТОМ ПРЕДПОЛОЖЕНИИ ВОПРОС О ЗНАЧЕНИЯХ КОЭФФИЦИЕНТОВ АК В ПРЕДСТАВЛЕНИИ (11) ОПТИМАЛЬНОГО ЛИНЕЙНОГО ПРОГНОЗА А„ РЕШАЕТСЯ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ (СМ. ПОДРОБНЕЕ, НАПРИМЕР, В [439; ГЛ. VI, §6]). ПУСТЬ
ГДЕ
ОО
Ф„(*)= Y,AKZK. (22)
К=П
РАЗЛОЖИМ ФП (А) В РЯД ФУРЬЕ:
+ . (23)
КОЭФФИЦИЕНТЫ «П*\\ A^+J,... БУДУТ В ТОЧНОСТИ ТЕМИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЯ-ЮТ ОПТИМАЛЬНЫЙ ЛИНЕЙНЫЙ ПРОГНОЗ АП ВЕЛИЧИНЫ HN:
00
HN = Е(Л„ | Н$) = J2 4П>HN-K¦ (24)
FC=ТІ
ТАКИМ ОБРАЗОМ, МЫ ПОЛУЧАЕМ ВОЗМОЖНОСТЬ ПОСТРОЕНИЯ ПРОГНОЗА ЗНАЧЕНИЯ HN ПО ПРОШЛЫМ ЗНАЧЕНИЯМ {... ,Л_І,АО}, ЕСЛИ СУМЕЕМ НАЙТИ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ (23).
8. ДЛЯ ИЛЛЮСТРАЦИИ ИЗЛОЖЕННОГО ВЫШЕ МЕТОДА РАССМОТРИМ РЯД ПРИМЕ-РОВ ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ МОДЕЛЕЙ MA (Q), AR{P), ARMA(P,Q), ОГРАНИЧИВАЯСЬ ПРИВЕДЕНИЕМ ФОРМУЛ ПРОГНОЗА ЛИШЬ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ЗНАЧЕНИЙ Р И Q. ПО ПОВОДУ ОБЩИХ ФОРМУЛ СМ., НАПРИМЕР, [439; ГЛ. IV, § 6].
ПРИМЕР 1 (МОДЕЛЬ MA(Q)). ПУСТЬ
HN=(3(L)?N, (25)
ГДЕ
(26)
0(L) =B0 + HL + --- + BQLQ,
ТО ЕСТЬ,
(27)
HN = ЬКЄП-К- K=О
СРАВНИВАЯ ЭТО ПРЕДСТАВЛЕНИЕ С (1), ВИДИМ, ЧТО АК = ЬК ДЛЯ 0 < К < Q И АК = 0, К > Q. СЛЕДОВАТЕЛЬНО,
Ф(Г) = J2 BKZK
К—О
Я
*«(*) =
BKZK, N^Q,
FE=TI
ПОЭТОМУ ДЛЯ П < Q
О, N > Q.
Я IAFEF
(28)
,-Я _ АХП J2K=N Е * ЬК
И (А) = 0 ДЛЯ П > Q.
ТЕМ САМЫМ, ЕСЛИ П > Q, ТО В РАЗЛОЖЕНИИ (23) ВСЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ А„ - О, И, ЗНАЧИТ, В ЭТОМ СЛУЧАЕ ОПТИМАЛЬНЫЙ ПРОГНОЗ HN = 0, ЧТО ВОВСЕ И НЕ УДИВИТЕЛЬНО, ПОСКОЛЬКУ КОРРЕЛЯЦИЯ МЕЖДУ HN И КАЖДОЙ ИЗ ВЕЛИЧИН HO, H-\\,... РАВНА НУЛЮ ПРИ П> Q.
ЕСЛИ Q = 1, ТО
HN — ЬОЄП + BL?N-L
И
B І
»A
ФІ W = E
Є-ІЛЬІ
BO+E-^BI B0 + E~IXBI
МОЖНО, КОНЕЧНО, СРАЗУ СЧИТАТЬ &О = 1 И ПОЛАГАТЬ ЬІ = В, ГДЕ \\В\\ < 1, ЧТО ОБЕСПЕЧИВАЕТ ТО, ЧТО Ф(Х) = І + DZ НЕ ИМЕЕТ НУЛЕЙ В ОБЛАСТИ |Z| < 1. ТОГДА
Л ОО ОО
= ТХ^ЇХ = 0E(-1)FC(0E_IA)FC = 0EE_1 FC=О K=О
СРАВНИВАЯ ЭТО РАЗЛОЖЕНИЕ С (23), НАХОДИМ, ЧТО ДЛЯ Q = 1 И П = 1
=
О™ = (-1)К~ЧК,
ТЕМ САМЫМ, ДЛЯ МОДЕЛИ МА( 1) ПРОГНОЗ ЗНАЧЕНИЯ HI ПО "ПРОШЛОМУ" (..., /І_І, ЛО) ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ СЛЕДУЮЩЕЙ ФОРМУЛОЙ:
HI = А^ЛО Н Ь A^HI-K Н
= 0(ЛО - АЛ_І + B2H-2 + • ¦ ¦ + {-L^E^HI-K + ¦¦¦)
ОО FE=0
ОТСЮДА ВИДНО, ЧТО НАИБОЛЬШИЙ ВКЛАД В ЗНАЧЕНИЕ ПРОГНОЗА ВЕЛИЧИНЫ HI ДОСТАВЛЯЕТСЯ "БЛИЖАЙШИМ ПРОШЛЫМ" - ЗНАЧЕНИЕМ HO, И ВКЛАД ПРЕДШЕСТВУЮЩИХ ЗНАЧЕНИЙ УБЫВАЕТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ОБРАЗОМ (ВКЛАД ОТ ВХОДИТ С КОЭФФИЦИЕНТОМ ВК, ГДЕ \\6\\ < 1).
ПРИМЕР 2 (МОДЕЛЬ AR(P)). БУДЕМ ПРЕДПОЛАГАТЬ (СР. С (33) В §2Ь), ЧТО ДЛЯ —ОО < П < ОО
HN = A1HN-1 -1 1-APH„-P + Є„, (29)
ПРИ ЭТОМ В ФАКТОРИЗАНИОННОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ (35) (§2Ь) ЗНАЧЕНИЯ Л, РАЗЛИЧНЫ, І = 1,... ,Р, И |А<| < 1.
В СООТВЕТСТВИИ С (41) ИЗ § 2Ь СТАЦИОНАРНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ (29) ИМЕЕТ ВИД
ОО
=Ц(С1А1 +---+CPAP)?N-FC\' (30)
К=О
Т. Е. В ПРЕДСТАВЛЕНИИ (1)
TTFC =CIAJN +СРХР. (31)
С ПРИНЦИПИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ПРОГНОЗ HN ВЕЛИЧИНЫ HN ПО ЗНАЧЕНИЯМ {HK, К < 0} ДАЕТСЯ ФОРМУЛОЙ (24), ГДЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ А^ ПОЛУЧАЮТСЯ ИЗ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКІЩИ ^П(А) (СМ. (21)-(23)) В РЯД ФУРЬЕ С УЧЕТОМ ФОРМУЛЫ (31) ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ АК, ВХОДЯЩИХ В ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ФП(\\).
В ЛИТЕРАТУРЕ ПРИВЕДЕНО ДОВОЛЬНО-ТАКИ МНОГО РАЗНЫХ ПРИЕМОВ ПО ОТЫС-КАНИЮ УДОБНЫХ ДЛЯ ПРИМЕНЕНИЙ ФОРМУЛ ДЛЯ ПРОГНОЗА HN (СМ., НАПРИМЕР, [211], ГДЕ ИЗЛАГАЮТСЯ РЕКУРРЕНТНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ ОТЫСКАНИЯ ЗНАЧЕНИЙ HN ПО ЗНАЧЕНИЯМ HI,..., HN-I).
МЫ ОГРАНИЧИМСЯ ЛИШЬ ИЛЛЮСТРАТИВНЫМ ПОДСЧЕТОМ ПРОГНОЗА ДЛЯ СТАЦИОНАРНОЙ МОДЕЛИ Л_Й(1):
HN=EHN-I+?N (32)
С \\В\\ < 1.
НАПОМНИМ, ЧТО В ЭТОМ СЛУЧАЕ R(N) = СОV(HK,HK+N) ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ФОРМУЛОЙ
ВК
ВД-ГТ0Ї-
ОТСЮДА НЕТРУДНО ЗАКЛЮЧИТЬ, ЧТО СПЕКТРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ / = /(А) СУЩЕСТВУЕТ И ЗАДАЕТСЯ ФОРМУЛОЙ
= (33) СОПОСТАВЛЯЯ (33) С (19), НАХОДИМ, ЧТО
1 00 FC=0
ПОЭТОМУ ИЗ (21) СЛЕДУЕТ, ЧТО
ФП( А) = 0",
И, ЗНАЧИТ, (СМ. (23) И (24))
HN = 9NH0, N > 1,
Т.Е. ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ВЕЛИЧИНЫ HN ПО {HK,K < 0} ДОСТАТОЧНО ЗНАТЬ ЛИШЬ ЗНАЧЕНИЕ HO, ЧТО И НЕУДИВИТЕЛЬНО, ЕСЛИ ИМЕТЬ В ВИДУ МАРКОВСКИЙ ХА-РАКТЕР ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ H = (H„).
ПРИМЕР 3 (МОДЕЛЬ ARMA(P,Q) С ПАРАМЕТРАМИР = Q = 1). В ЭТОЙ МОДЕЛИ СТАЦИОНАРНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ (12) С УСЛОВИЕМ АО = 0 ИЗ § 2С ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ФОРМУЛОЙ
ОО

FC=L
ОО
С |«Х | < 1 И |I>I| < 1, И, ЗНАЧИТ, В ПРЕДСТАВЛЕНИИ HN = 22 AKEN-K КОЭФФИЦИЕНТЫ FC=0
(34)
А0 = 1, АК = (АІ + ЬІ)АК Г.
В РАССМАТРИВАЕМОМ СЛУЧАЕ ФУНКЦИЯ

И ДЛЯ N > 1

ПОЭТОМУ, СОГЛАСНО (21) И (22), ДЛЯ Z = Е *А ПОЛУЧАЕМ

(AI + ЬІК-1
L+HZ
ОО

И (СМ. (23))
TTJ^AJ-^AI+BIK-L)*^.
ИТАК, СОГЛАСНО (24),
HN = АГ^АІ + &І){/»О + (-L)M-I + BJH-2 + ¦}
ОО
= АГ>1 +BI) J2 (-L)4/IN-FC-
K-N
ЗАМЕЧАНИЕ. ПО ПОВОДУ ФОРМУЛ ПРОГНОЗА ДЛЯ ОБЩИХ МОДЕЛЕЙ ARMA(P,Q), ARIMA(P, D, Q) СМ., НАПРИМЕР, [211].

<< | >>

↑

Источник: Ширяев А. Н.. Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели.Москва: ФАЗИС,1998. 512 с. (Стохастика, вып.2). 1998

Еще по теме § 2D. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ В ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЯХ:

- Биржевая деятельность - Денежное обращение, финансы и кредит - Деньги, кредит, банки - Кредитование - Основы финансов - Финансовая математика - Финансовое право - Финансовый менеджмент - Финансы и кредит -