§ 2C. МОДЕЛЬ АВТОРЕГРЕССИИИ СКОЛЬЗЯЩЕГО СРЕДНЕГО ARMA(P, Q) И ИНТЕГРАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ARIMA(P, D, Q)

1. ЭТИ МОДЕЛИ ВОПЛОЩАЮТ В СЕБЕ ЧЕРТЫ ОБЕИХ РАССМОТРЕННЫХ ВЫШЕ МОДЕЛЕЙ MA(Q) И AR(P), ДАВАЯ ДОВОЛЬНО-ТАКИ ШИРОКИЕ ВОЗМОЖНОСТИ ДЛЯ ПО-СТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ, "ХОРОШО" ОБЪЯСНЯЮЩИХ ВЕРОЯТНОСТНУЮ ПРИРОДУ СТАТИСТИЧЕСКОГО "СЫРЬЯ"
КАК И ВЫШЕ, ПРЕДПОЛАГАЕТСЯ ЗАДАННЫМ ФИЛЬТРОВАННОЕ ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО (П, Р), ГДЕ СЕЙЧАС УДОБНО СЧИТАТЬ З\'П = СТ(.

. . ,?_X,?O,?L, • • • ,?П) С "БЕЛЫМШУМОМ" (В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ) Є = (ЄП).
ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ (СР. § ID), ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ H = (Л„) ЯВЛЯЕТСЯ ARMA-МОДЕЛЪЮ, ЕСЛИ
HN = МП + СГ?П, (1)
ГДЕ
МП = (A0 + АХЛ„_Х + • • • +APHN-P) + (ЬХЄП-Х +Ь2ЄП-2 + • • ¦ + BQSN_Q). (2)
БЕЗ ОГРАНИЧЕНИЯ ОБЩНОСТИ ЗНАЧЕНИЕ А МОЖНО ПОЛАГАТЬ ИЗВЕСТНЫМИ РАВ-НЫМ ЕДИНИЦЕ: (7 = 1. ТОГДА ИЗ (1) И (2) НАХОДИМ, ЧТО
HN — {A.IHN-1 Н H APHN-P)
= ВО + [ЄП + ЬХЄП-L + H^N-2 Н + BQ?N-Q] (3)
ИЛИ
A(L)HN = A0 + 0(1)Є „, (4)
ГДЕ
A(L) = 1 -AXL-...~ APLP (5)
И
0(L) = L + B1L + --- + BQLQ. (6)
ОТМЕТИМ, ЧТО В ТОМ СЛУЧАЕ, КОГДА Q = О,
A(L)HN = WN,
ГДЕ WN = АО + ЄП, Т.Е. ПОЛУЧАЕМ АЙ(Р)-МОДЕЛЬ. (СР. С (5) В §2Ь.) В ТОМ ЖЕ СЛУЧАЕ, КОГДА Р — О, СООТНОШЕНИЕ (3) ПРИНИМАЕТ ВИД
"П = АО+ТЕ П ! (7)
Т.Е. ПРИХОДИМ К МА(Д)-МОДЕЛИ. (СР. С (4) В §2А.) ФОРМАЛЬНЫМ ОБРАЩЕНИЕМ ИЗ (4) НАХОДИМ, ЧТО
HN=P+^\\EN, (8)
АЩ
ГДЕ
, , (9)
1 — (AI Ч 1-АР)
(В ПРЕДПОЛОЖЕНИИ AI + ¦ •¦ + АР Ф 1).
ОБРАТИМСЯ ТЕПЕРЬ К ВОПРОСУ СУЩЕСТВОВАНИЯ СТАЦИОНАРНОГО РЕШЕНИЯ (ИЗ КЛАССА L2) УРАВНЕНИЯ (3). ИЗ (8) И ПРЕДШЕСТВУЮЩИХ РАССМОТРЕНИЙ (В П. 5 §2Ь) СЛЕДУЕТ, ЧТО "СТАЦИОНАРНОСТЬ" ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ СВОЙСТВАМИ ОПЕРАТОРА A(L), Т. Е. АВТОРЕГРЕССИОННОЙ КОМПОНЕНТОЙ ARMA(P, <7)-МОДЕЛИ.
ЕСЛИ ВСЕ КОРНИ УРАВНЕНИЯ (37) В § 2Ь ПО МОДУЛЮ МЕНЬШЕ ЕДИНИЦЫ (А ДЛЯ ЭТОГО НЕОБХОДИМО, ЧТОБЫ AJ Н Ь АР Ф 1), ТО ТОГДА У ЭТОЙ МОДЕЛИ (В КЛАССЕ L2) СУЩЕСТВУЕТ И ПРИТОМ ЕДИНСТВЕННОЕ СТАЦИОНАРНОЕ РЕШЕНИЕ H = (H„).
(ОЦЕНКИ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ А І ПРИНАДЛЕЖАТ КЛАССУ U(AX) ПРИ
ДЛЯ |АІ| Ф 1 ОЦЕНКИ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ АХ ЯВЛЯЮТСЯ АСИМПТОТИЧЕСКИ ЭФФЕКТИВНЫМИ В КЛАССЕ U(AX) В ТОМ СМЫСЛЕ, ЧТО ДЛЯ ВСЕХ А\\ Є U(АХ)
— ЕАІ (М)П(А1-А1)2
LIM .

-5- ^ 1.
" EAI(M)N(AI - AI)2
ДЛЯ |AI| < 1 ("СТАЦИОНАРНЫЙ" СЛУЧАЙ) ОЦЕНКИ AI АСИМПТОТИЧЕСКИ ЭФФЕКТИВНЫ ТАКЖЕ И В ОБЫЧНОМ СМЫСЛЕ: ДЛЯ ВСЕХ АГ Є U(A\\)
У-— DA AJ ІІШ Г, < 1. N DAIAI
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ ОБЛАДАЮТ СЛЕДУЮЩИМИ СВОЙСТВАМИ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ РАВНОМЕРНОСТИ: ПРИ В —»¦ ОО
SUP SUPLPAI {Л/(М)Т{9) [SI(Т(0)) - AX] < Х} - Ф(Ж)| 0,
LAIL^L З:
SUP SUP|PAI{У/(М)Т{В) [АГ(Т(В)) - AX] < Х) - Ф(Х)\\->• 0. \'
КГ^ІАІКД Х
§ 2С. МОДЕЛЬ АВТОРЕГРЕССИИ
И СКОЛЬЗЯЩЕГО СРЕДНЕГО ARMA(P, Q) И ИНТЕГРАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ARIMA(P, D, Q)
1. ЭТИ МОДЕЛИ ВОПЛОЩАЮТ В СЕБЕ ЧЕРТЫ ОБЕИХ РАССМОТРЕННЫХ ВЫШЕ МОДЕЛЕЙ MA(Q) И AR(P), ДАВАЯ ДОВОЛЬНО-ТАКИ ШИРОКИЕ ВОЗМОЖНОСТИ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ, "ХОРОШО" ОБЪЯСНЯЮЩИХ ВЕРОЯТНОСТНУЮ ПРИРОДУ СТА-ТИСТИЧЕСКОГО "СЫРЬЯ".
КАК И ВЫШЕ, ПРЕДПОЛАГАЕТСЯ ЗАДАННЫМ ФИЛЬТРОВАННОЕ ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО (?1,&,(&П),Р), ГДЕ СЕЙЧАС УДОБНО СЧИТАТЬ = СТ(. . . , ?_1, ?0) ?1> ¦ • • , ?П) С "БЕЛЫМ ШУМОМ" (В ППФОКОМ СМЫСЛЕ) ? = (?П).
ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ (СР. § ID), ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ H — (HN) ЯВЛЯЕТСЯ ARMA-МОДЕЛМО, ЕСЛИ
HN — РП + СГ?П, (1)
ГДЕ
MN — (АО + AIHN— І Н HAPH„-P)+ (ЬІЄП-1 +І2?П-2Н B-BQ?N-Q). (2)
БЕЗ ОГРАНИЧЕНИЯ ОБЩНОСТИ ЗНАЧЕНИЕ А МОЖНО ПОЛАГАТЬ ИЗВЕСТНЫМ И РАВНЫМ ЕДИНИЦЕ: <7 = 1. ТОГДА ИЗ (1) И (2) НАХОДИМ, ЧТО
HN — (AI^N-I Н Ь APHN-P)
= А0 + [Є„ + І>ІЄ„_І 4- 62Є„-2 Н + ЬДЄП-Д] (3)
ИЛИ
A(L)HN =А0 + 0(1)ЄП, (4)
ГДЕ
A(L) = 1 — A\\L — ... — APLP (5)
И
0(L) = L + B1L+--- + BQLQ. (6)
ОТМЕТИМ, ЧТО В ТОМ СЛУЧАЕ, КОГДА Q = О,
A(L)HN = ГИ„,
ГДЕ W„ = АО + Т.Е. ПОЛУЧАЕМ АЛ(Р)-МОДЕЛЬ. (СР. С (5) В §2Ь.) В ТОМ ЖЕ СЛУЧАЕ, КОГДА Р = 0, СООТНОШЕНИЕ (3) ПРИНИМАЕТ ВИД
= ВО+/?(?) (7)
Т. Е. ПРИХОДИМ К МЛ (<7)-МОДЕЛИ. (СР. С (4) В § 2А.) ФОРМАЛЬНЫМ ОБРАЩЕНИЕМ ИЗ (4) НАХОДИМ, ЧТО
HN=N+^SN, (8)
A(L)
ГДЕ
_ 22 (Q\\
1-(В1 + ...+ОР) W
(В ПРЕДПОЛОЖЕНИИ АХ -I HAP Ф 1).
ОБРАТИМСЯ ТЕПЕРЬ К ВОПРОСУ СУЩЕСТВОВАНИЯ СТАЦИОНАРНОГО РЕШЕНИЯ (ИЗ КЛАССА Ь2) УРАВНЕНИЯ (3). ИЗ (8) И ПРЕДШЕСТВУЮЩИХ РАССМОТРЕНИЙ (В П.

5 §2Ь) СЛЕДУЕТ, ЧТО "СТАЦИОНАРНОСТЬ" ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ СВОЙСТВАМИ ОПЕРАТОРА A(L), Т. Е. АВТОРЕГРЕССИОННОЙ КОМПОНЕНТОЙ ARMA(P, <7)-МОДЕЛИ.
ЕСЛИ ВСЕ КОРНИ УРАВНЕНИЯ (37) В § 2Ь ПО МОДУЛЮ МЕНЬШЕ ЕДИНИЦЫ (А ДЛЯ ЭТОГО НЕОБХОДИМО, ЧТОБЫ AI-L Ь АР Ф 1), ТО ТОГДА У ЭТОЙ МОДЕЛИ (В КЛАССЕ L2) СУЩЕСТВУЕТ И ПРИТОМ ЕДИНСТВЕННОЕ СТАЦИОНАРНОЕ РЕШЕНИЕ H— (HN).
ИЗ (8) ПОЛУЧАЕМ, ЧТО ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО РЕШЕНИЯ
= Z Т————Г • (Ю)
1 - (AI Н + АР)
(СР. С (42) В §2Ь.)
ИЗ (3) НЕТРУДНО НАЙТИ, ЧТО КОВАРИАЦИЯ R(K) = COV(/I„, /ГП+К) ЛЛЯ К > Q УДОВЛЕТВОРЯЕТ СООТНОШЕНИЯМ
R(K)=AIR{K-L) + --- + APR(K-P) (11)
- ТЕМ ЖЕ САМЫМ, ЧТО И В СЛУЧАЕ МОДЕЛИ AR(P). (СР. С (43) В § 2B.)
В СЛУЧАЕ К < Q СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДЛЯ R(&) ВЫГЛЯДИТ БОЛЕЕ СЛОЖНО, НЕЖЕЛИ (11), ПОСКОЛЬКУ НАДО УЧИТЫВАТЬ ТАКЖЕ КОРРЕЛЯЦИОННУЮ ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ЄП—К И ЛП_FC.
2. В КАЧЕСТВЕ ИЛЛЮСТРАЦИИ РАССМОТРИМ МОДЕЛЬ ARMA( 1,1), ЯВЛЯЮЩУЮСЯ КОМБИНАЦИЕЙ МОДЕЛЕЙ ЛД(1) И МА( 1):
HN — A\\HN-I = AQ + ЄП + &I?N_I. (12)
БУДЕМ ПРЕДПОЛАГАТЬ |АІ| <1 ("СТАЦИОНАРНОСТЬ"). В ЭТОМ СЛУЧАЕ
A(L) = 1 -AIL, J3(L) = L + BXL (13)
И (8) ПРИНИМАЕТ СЛЕДУЮЩИЙ ВШЕ
А0 L + &I L
HN = : Н ^ ГЕП
1 — «І 1 — A\\L
A0
+ (AX + ЬІ) У2 + (14)
ОТСЮДА НЕПОСРЕДСТВЕННО НАХОДИМ, ЧТО R(K) = COV(FTN,/I„+FC) УДОВЛЕТВОРЯЕТ СЛЕДУЮЩИМ СООТНОШЕНИЯМ:
R(JFC) =AIR(FC-L), К >2,
R(L) = EIR(0) + FTI, (15)
R(0) = AJR(L) + (1 +AI6X +

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
РИС. 20. ГРАФИК КОМПЬЮТЕРНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ H = (HN), ПОДЧИНЯЮЩЕЙСЯ ARMA(1,1)-МОДЕЛИ CHN = А О + AXHN—I + 6ІЄП_І + АЄП С ПАРАМЕТРАМИ АО = — 1, AI = 0.5, B\\ = 0.1, А — 0.1; Л-О = 0 И 0 ^ N 1000
ИЗ КОТОРЫХ ПОЛУЧАЕМ
R(0) = D HN =
1 4- 2АГЬІ + BJ L-A\\
(16)
ПЛ .. . R(FC) _ (L + OIFTI)(OI FC-I
PW ~ R(0) ~ 1 + 2AIH + BJ 1 \'
ВАЖНО ОТМЕТИТЬ, ЧТО ПРИ |AI| < 1 КОРРЕЛЯЦИЯ УБЫВАЕТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ОБРАЗОМ ПРИ К —Ї ОО, ЧТО СЛЕДУЕТ ИМЕТЬ В ВИДУ ПРИ ПОПЫТКАХ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МОДЕЛЕЙ A RMA (1,1) (ТАК ЖЕ КАК И БОЛЕЕ ОБЩИХ МОДЕЛЕЙ Л ДМА (P,Q)) ПРИ ПОДГОНКЕ К КОНКРЕТНЫМ СТАТИСТИЧЕСКИМ ДАННЫМ.
3.

РАССМОТРЕННЫЕ ВЫШЕ МОДЕЛИ ARMA(P, Q) ХОРОШО ИЗУЧЕНЫ И УСПЕШНО ПРИМЕНЯЮТСЯ, ГЛАВНЫМ ОБРАЗОМ, ПРИ ОПИСАНИИ СТАЦИОНАРНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ. В ТОМ ЖЕ СЛУЧАЕ, КОГДА ИМЕЕТ МЕСТО НЕСТАЦИОНАРНОСТЬ ВО ВРЕМЕННОМ РЯДУ Х = [ХП), ИНОГДА ПРОСТЫМ ВЗЯТИЕМ РАЗНОСТЕЙ ДЖП = ХП — X„-I ИЛИ РАЗНОСТЕЙ AT*XN ПОРЯДКА D УДАЕТСЯ ПОЛУЧИТЬ "БОЛЕЕ" СТАЦИОНАРНУЮ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ Д<ІЖ - (Д<ІЖП).

РИС. 21. ГРАФИК КОМПЬЮТЕРНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Х = (ХП), ПОДЧИНЯЮЩЕЙСЯ ARIMA(0,1,1)-МСШЕЛИ С АХП = А» + Ь\\ЄП—І + &О?П С ПАРА-. МЕТРАМИ /і = 1, Ь\\ = 1, &О = 0.1; ХО = 0
С ЭТИМ СВЯЗАЛА СЛЕДУЮЩАЯ ТЕРМИНОЛОГИЯ: ГОВОРЯТ, ЧТО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ Х = (ХП) ЯВЛЯЕТСЯ ARIMA(P, D, Д)-МОДЕЛЬЮ, ЕСЛИ А*Х - (ADA;N) ОБ-РАЗУЕТ ARMA(P, Q)-МОДЕЛЬ.
В СИМВОЛИЧЕСКОЙ ФОРМЕ ЭТО МОЖНО ПРЕДСТАВИТЬ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ:
ADARIMA(P,D,Q) = ARMA(P,Q).
ЧТОБЫ ПОЯСНИТЬ СМЫСЛ ЭТИХ МОДЕЛЕЙ, РАССМОТРИМ ИХ ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ - МОДЕЛЬ ARIMA(0,1,1). ЭТО ОЗНАЧАЕТ, ЧТО АХП -- HN, ГДЕ (HN) ПОДЧИНЯЕТСЯ МОДЕЛИ МА( 1), Т.Е.
АХП = (B0 + B\\L)EN.
ЕСЛИ ВВЕСТИ ОПЕРАТОР СУММИРОВАНИЯ (ОПЕРАТОР "ИНТЕГРИРОВАНИЯ") S, ОПРЕДЕЛЯЯ ЕГО ФОРМУЛОЙ S = А-1, ИЛИ, РАВНОСИЛЬНО,
S=L + L + L2 + --- = {1-L)~\\ ТО ФОРМАЛЬНО МОЖНО ЗАПИСАТЬ, ЧТО
ХП = {SH)N, ГДЕ/І„ = М + (BO + B\\L)EN = М + &О?П + ?>I?N-I-
ТЕМ САМЫМ, Х = (ХП) МОЖНО РАССМАТРИВАТЬ КАК РЕЗУЛЬТАТ "ИНТЕГРИРОВАНИЯ" ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ H = (HN), ПОДЧИНЯЮЩЕЙСЯ МОДЕЛИ МА( 1), ЧТО И ОБЪЯСНЯЕТ ПРОИСХОЖДЕНИЕ НАЗВАНИЯ
ARIMA = AR + I + MA,
В КОТОРОМ БУКВА I - ОТ "INTEGRATED" (СР. РИС. 18 И 21.)
КАК УЖЕ ОТМЕЧАЛОСЬ, ЭТИ МОДЕЛИ ШИРОКО ИСПОЛЬЗУЮТСЯ В ТЕОРИИ БОКСА И ДЖЕНКИНСА [53]. БОЛЬШОЙ МАТЕРИАЛ ПО ПРИМЕНЕНИЯМ ЭТИХ МОДЕЛЕЙ В СТАТИСТИКЕ ФИНАНСОВЫХ ДАННЫХ СМ., НАПРИМЕР, В [351].

<< | >>

↑

Источник: Ширяев А. Н.. Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели.Москва: ФАЗИС,1998. 512 с. (Стохастика, вып.2). 1998

Еще по теме § 2C. МОДЕЛЬ АВТОРЕГРЕССИИИ СКОЛЬЗЯЩЕГО СРЕДНЕГО ARMA(P, Q) И ИНТЕГРАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ARIMA(P, D, Q):

- Биржевая деятельность - Денежное обращение, финансы и кредит - Деньги, кредит, банки - Кредитование - Основы финансов - Финансовая математика - Финансовое право - Финансовый менеджмент - Финансы и кредит -