4.7. Оценка параметров моделей авторегрессии

Первая проблема связана с выбором метода оценки параметров уравнения авторегрессии. Наличие лаговых значений результативного признака в правой части уравнения приводит к нарушению предпосылки МНК о делении переменных на результативную (стохастическую) и факторные (нестохастические).

Вторая проблема состоит в том, что поскольку в модели авторегрессии в явном виде постулируется зависимость между текущими значениями результа-та yt и текущими значениями остатков ut, очевидно, что между временными рядами yt-1 и ut-1 также существует взаимозависимость.

Одним из методов расчета параметров уравнения авторегрессии является метод инструментальных переменных. Сущность этого метода состоит в том, чтобы заменить переменную yt-1 из правой части модели, для которой нарушаются предпосылки МНК, на новую переменную у_ь включение которой в модель регрессии не приводит к нарушению его предпосылок.

Искомая новая переменная, которая будет введена в модель вместо yt-1, должна иметь два свойства. Во-первых, она должна тесно коррелировать с yt-1, во-вторых, она не должна коррелировать с остатками ut.

Существует несколько способов получения такой инструментальной переменной.

1 способ. Поскольку в модели (4.12) переменная yt зависит не только от yt-1, но и от xt, можно предположить, что имеет место зависимость yt-1 от xt-1, т. е.

у,-1 = d0 + d1 • x,-1 + ut. (416)

Таким образом, переменную yt-1 можно выразить следующим образом:

У,-1 = y-1 + u,,

где

y,-1 = d 0 + d1 • x,-1. (4.17)

Найденная с помощью уравнения (4.17) (его параметры можно искать обычным МНК) оценка yt-1 может служить в качестве инструментальной переменной для фактора yt.

Таким образом, оценки параметров уравнения (4.12) можно найти из соотношения

yt = а + b0* xf + q*yt-1 +vt, (4.18)

предварительно определив по уравнению (4.17) расчетные значения y—1.

2 способ. Подставим в модель (4.12) вместо yt-1 его выражение из уравнения (4.16)

yt = а + b0 • Xt + c1 • (d0 + d1 • xt—1 + Ut) + ?t.

Получим следующую модель:

yt = (а + c • 60) + b0 • Xt + C1 • dx • Xt—1 + (C1 • ut +et). (4.19)

Уравнение (4.19) представляет собой модель с распределенным лагом, для которой не нарушаются предпосылки обычного МНК, приводящие к несостоятельности и смещенности оценок параметров. Определив параметры моделей (4.16) и (4.19), можно рассчитать параметры исходной модели (4.12) а, b0 и c1. Модель (4.19) демонстрирует еще одно важное свойство изложенного выше метода инструментальных переменных для оценки параметров моделей авторегрессии: этот метод приводит к замене модели авторегрессии на модель с распределенным лагом.

Отметим, что практическая реализация метода инструментальных переменных осложняется появлением проблемы мультиколлинеарности факторов в модели (4.18): функциональная связь между переменными y—1 и xt-1 приводит к

появлению высокой корреляционной связи между переменными y—1 и xt.

В некоторых случаях эту проблему можно решить включением в модель (4.18) и соответственно в модель (4.12) фактора времени в качестве независимой переменной.

Для проверки гипотезы об автокорреляции остатков в моделях авторегрессии Дарбин предложил использовать критерий, который называется критерием h Дарбина. Его расчет производится по следующей формуле:

h = (1 — -) \' П

2 V1 — n • V\'

где d - фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона для модели авторегрессии;

n - число наблюдений в модели;

V - квадрат стандартной ошибки при лаговой результативной переменной.

Распределение этой величины приблизительно можно аппроксимировать стандартизованным нормальным распределением. Поэтому для проверки гипотезы о наличии автокорреляции остатков можно либо сравнивать полученное фактическое значение критерия h с табличным, воспользовавшись таблицами стандартизованного нормального распределения, либо действовать в соответствии со следующим правилом принятия решения.

Если h > 1,96, нуль-гипотеза об отсутствии положительной автокорреляции остатков отклоняется.

Если h < -1,96, нуль-гипотеза об отсутствии отрицательной автокорре-ляции остатков отклоняется.

Если -1,96 < h < 1,96, нет оснований отклонять нуль-гипотезу об отсутствии автокорреляции остатков.