§2Ь. АВТОРЕГРЕССИОННАЯ МОДЕЛЬ AR(P)
HN = МП + СГЄП, (1)
ГДЕ
РП = «О + <4HN-I Н 1- APHN-P. (2)
ИНАЧЕ МОЖНО СКАЗАТЬ, ЧТО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ H = (HN) ПОДЧИНЯЕТСЯ РАЗНОСТНОМУ УРАВНЕНИЮ ПОРЯДКА Р:
HN = «О + AIHN-I + H APHN-P +СГЄП, (3)
КОТОРОЕ С ПОМОЩЬЮ ВВЕДЕННОГО В § 2А ОПЕРАТОРА L МОЖЕТ БЫТЬ ПЕРЕПИСАНО В СЛЕДУЮЩЕМ ВИДЕ:
(1 - AXL - ... - APLP)HN = А0 +СГЄП, (4)
ИЛИ, В БОЛЕЕ КОМПАКТНОЙ ФОРМЕ, КАК
A(L)HN=WN, (5)
ГДЕ A(L) = 1 — AXL — APLP, WN = <*O + СГЄП-
В СЛУЧАЕ N ^ 1 ДЛЯ ПОЛНОГО ОПИСАНИЯ ЭВОЛЮЦИИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ H = (HN) РАЗНОСТНЫМ УРАВНЕНИЕМ (3) НУЖНО, КАК ОТМЕЧАЛОСЬ В § ID, ЕЩЕ ЗАДАТЬ НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ (HI-P, H2—Р, ¦ ¦ ¦, HO).
ЧАСТО ПОЛАГАЮТ /ІІ_Р = • • • = HO = 0. ИХ МОЖНО СЧИТАТЬ ТАКЖЕ СЛУЧАЙНЫМИ, НЕ ЗАВИСЯЩИМИ ОТ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЗНАЧЕНИЙ Є І, Є 2, ¦ ¦ • ¦ В "ЭРГО- ДИЧЕСКИХ" СЛУЧАЯХ АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ HN ПРИ П —> ОО НЕ ЗАВИСИТ ОТ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ, И В ЭТОМ СМЫСЛЕ ИХ КОНКРЕТИЗАЦИЯ НЕ ОЧЕНЬ-ТО СУЩЕСТВЕННА. (ТЕМ НЕ МЕНЕЕ, В ПОСЛЕДУЮЩЕМ ИЗЛОЖЕНИИ МЫ БУДЕМ ЧЕТКО ОГОВАРИВАТЬ ВСЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ.)
НА СЛЕДУЮЩЕМ РИС. 19 ПРИВЕДЕНА КОМПЬЮТЕРНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ В АВТОРЕ-ГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ AR(2).
0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 -0.1 -0.2 -0.3
ИГРАЕТ СВОЕГО РОДА "ПОГРАНИЧНУЮ" РОЛЬ, ТОЧНЫЙ СМЫСЛ КОТОРОЙ БУДЕТ ЯСЕН ИЗ ПОСЛЕДУЮЩЕГО ИЗЛОЖЕНИЯ. ИЗ (7) НАХОДИМ, ЧТО
EHN = A^EHO + A0(L + АГ + ¦ ¦ ¦ + А?-1), DH„ = ALNDHO + А (L + OF + • • • + А^""4), COV(HN, HN-K) = ALN~KDHO + A2AT (L + AJ + ¦ ¦ ¦ + A2(N~K-V)
ДЛЯ N — К > 1.
ИЗ ЭТИХ ФОРМУЛ ВИДНО, ЧТО, В СЛУЧАЕ | < 1 И Е|ЛО | < ОО, ПРИ П —ОО Е HN = A?EH0 + —
1 — АХ 1 — АІ
И (ЕСЛИ DHO < ОО)
2ПП1 СГ2(1 — А?") А2 DHN = af D/i0 + — ^ —
1-А2 1 - А2 \'
А2А\\ 1-А2\'
COV(H„,H„_FC)
В ЭТОМ СЛУЧАЕ (|OI| < 1) ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ H — (HN)N^O ПРИ П —> ОО "СТАЦИОНАРИЗУЕТСЯ" БОЛЕЕ ТОГО, ЕСЛИ НАЧАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛЯ ДО ЯВЛЯЕТСЯ ГАУССОВСКИМ,
HO ~ JF (Л Q° , 7-^—2). \\1 — АІ 1-«І/
ТО H = (HN)N^O ОБРАЗУЕТ ГАУССОВСКУЮ СТАЦИОНАРНУЮ (ИВ ШИРОКОМ, ИВ УЗКОМ СМЫСЛАХ) ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ С
АР
1 _ В1\' - І _ А2
EHN = T-V, DHN = 2 (8)
И
CR2AK
COV(HN, H„+K) = \\ ¦ (9)
НАПОМНИМ, ЧТО СТАЦИОНАРНОСТЬ В УЗКОМ СМЫСЛЕ ПОНИМАЕТСЯ КАК ВЫПОЛНЕНИЕ ДЛЯ ВСЕХ ДОПУСТИМЫХ ТИК СВОЙСТВА
LAW (HO, HI,... ,HM) = LAW(HFC,HI+JFC,... ,HM+FC);
!
СТАЦИОНАРНОСТЬ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ ОЗНАЧАЕТ, ЧТО
LAW(/II; HJ) = LAW(/IJ+JFC, HJ+K)-
ЕСЛИ
TU\\ Г /И И \\ COV(HN,HN+K)
P{K) = CORR{HN,HN+K) = —====== ,
Y/UHN DHN+K
ТО ИЗ (8) И (9) НАХОДИМ, ЧТО ПРИ |AI | <1
P(K) = OF, (10)
Т. Е. КОРРЕЛЯЦИЯ МЕЖДУ ЗНАЧЕНИЯМИ HN И HN+K УБЫВАЕТ К НУЛЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ОБРАЗОМ.
ЕСЛИ СОПОСТАВИТЬ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ (7) С ФОРМУЛОЙ (2) ИЗ ПРЕДЫДУЩЕГО ПАРАГРАФА, ТО МОЖНО ЗАМЕТИТЬ, ЧТО ДЛЯ КАЖДОГО ФИКСИРОВАННОГО П ЗНАЧЕНИЕ HN В МОДЕЛИ AR(1) МОЖНО ИНТЕРПРЕТИРОВАТЬ КАК СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ ЗНАЧЕНИЕ HN В МОДЕЛИ MA (Q) С Q = П— 1. В ЭТОМ СМЫСЛЕ ИНОГДА НЕСКОЛЬКО ВОЛЬНО ГОВОРЯТ, ЧТО "МОДЕЛЬ AR(1) МОЖЕТ РАССМАТРИВАТЬСЯ КАК МОДЕЛЬ МА(ОО)" В МОДЕЛИ ЛІ?(1) СЛУЧАЙ |AI| = 1 СООТВЕТСТВУЕТ КЛАССИЧЕСКОМУ СЛУЧАЙНОМУ БЛУЖДАНИЮ (СР. С § 2А ИЗ ГЛ. I, ПОСВЯЩЕННЫМ ГИПОТЕЗЕ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ И КОНЦЕПЦИИ ЭФФЕКТИВНОГО РЫНКА). ЕСЛИ, СКАЖЕМ, AI = 1, ТО
HN = АОП + H0 + СГ(ЄІ -| (- ЄП).
ОТСЮДА ВИДИМ, ЧТО
EHN = 0.0ТІ + EHO
И
DHN = O"2N —> ОО, N —> ОО.
СЛУЧАЙ |AI| > 1 ЯВЛЯЕТСЯ "ВЗРЫВАЮЩИМСЯ" (В ТОМ СМЫСЛЕ, НАПРИМЕР, ЧТО СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ EHN И ДИСПЕРСИЯ DHN РАСТУТ С РОСТОМ П, К ТОМУ ЖЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНО БЫСТРО).
3. РАССМОТРИМ ТЕПЕРЬ СЛУЧАЙ Р = 2:
HN = AO "Ь AIHN—I + A2HN-2 + СГЄП- (11)
С ПОМОЩЬЮ ВВЕДЕННОГО РАНЕЕ ОПЕРАТОРА L ЭТОМУ РАЗНОСТНОМУ УРАВНЕНИЮ МОЖНО ПРИДАТЬ СЛЕДУЮЩУЮ ФОРМУ:
(12)
(1 — A\\L — A2L2)HN — AO + ""ЄП-
ЕСЛИ 02 = 0, ТО СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ УРАВНЕНИЕ
(1 — A\\L)HN = АО 4- СГЄ„ (13)
ОТВЕЧАЕТ РАССМОТРЕННОМУ ВЫШЕ СЛУЧАЮ ЛД(1). ПОЛОЖИМ WN = АО + АЄП. ТОГДА (13) ПРИМЕТ ВИД:
(1 -A1L)HN=WN, (14)
И, ЕСТЕСТВЕННО, ХОТЕЛОСЬ БЫ "ОБРАТИТЬ" ЭТО СООТНОШЕНИЕ, С ТЕМ, ЧТОБЫ ИМЕТЬ ВОЗМОЖНОСТЬ НАХОДИТЬ ЗНАЧЕНИЯ HN ПО "ВХОДНОМУ СИГНАЛУ" (WN). ОПИРАЯСЬ НА СВОЙСТВА ОПЕРАТОРА L (СМ. П. 2 В § 2А), НАХОДИМ, ЧТО
(1 4- 01 ? 4- ALL2 4- ¦ • • 4- OI?FC)(L - 0LL) = (1 - O?+1LFC+1). (15)
ПРИМЕНИМ К ОБЕИМ ЧАСТЯМ СООТНОШЕНИЯ (13) ОПЕРАТОР 1 4- AXL 4- A2L2 4- • • ¦ 4- AKLK. ТОГДА, С УЧЕТОМ (15), ПОЛУЧИМ, ЧТО
HN = (1 4- AXL 4- A\\L2 4- • ¦ • 4- A^LK)WN 4- A^+1LFC+1HN. (16)
ПОЛАГАЯ ЗДЕСЬ К = ТІ — 1 И ГИ„ = AO 4- <ТЄП, ПОЛУЧАЕМ РАВЕНСТВО
HN — (A0 4- ОЄП) 4- AI(AO + СГ?П-І) 4 4- A"~1(A0 4- СГЄІ) 4- A"H0, (17)
В ТОЧНОСТИ СОВПАДАЮЩЕЕ С РАНЕЕ НАЙДЕННЫМ ПРЕДСТАВЛЕНИЕМ (7). ИЗ (16) С УЧЕТОМ (14) ПРИ К = ТІ — 1 ВИДИМ, ЧТО
ЛП = (1 + OI? + A\\L2 4- ¦ • • 4- ОГ-1?П-1)(1 - AXL)HN 4- A?H0. (18)
ЕСЛИ |AX I < 1 И N ДОСТАТОЧНО ВЕЛИКО, ТО ПРИБЛИЖЕННО
HN И (1 4- AXL 4- А\\І? 4- • • • 4- A^L71\'1)^ - АХL)HN. (19)
ТЕМ САМЫМ, СТАНОВИТСЯ ПОНЯТНЫМ, ЧТО "ОБРАТНЫЙ" ОПЕРАТОР (1 — AXL)~1 ЕСТЕСТВЕННЫМ ОБРАЗОМ ДОЛЖЕН БЫТЬ ОПРЕДЕЛЕН КАК ПРЕДЕЛ (В ПОДХОДЯЩЕМ СМЫСЛЕ) ОПЕРАТОРОВ 1 4- AXL 4- A\\L2 4- ¦ • • 4- A"LN ПРИ N —Ї ОО. (СР. С
АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ПРЕДСТАВЛЕНИЕМ (1 — Г)-1 — 1 + Z + Z2 ДЛЯ \\Z\\ < 1.)
ЭТИ НАВОДЯЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ МОГУТ БЫТЬ ФОРМАЛИЗОВАНЫ, НАПРИМЕР, СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ.
РАССМОТРИМ СТАЦИОНАРНУЮ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ H = (HN):
ОО
= (20) J=О
(РЯД СХОДИТСЯ В СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОМ СМЫСЛЕ). НЕТРУДНО ВИДЕТЬ, ЧТО (HN) ЯВЛЯЕТСЯ РЕШЕНИЕМ РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ (14). ПОКАЖЕМ, ЧТО В КЛАССЕ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ С КОНЕЧНЫМ ВТОРЫМ МОМЕНТОМ ЭТО РЕШЕНИЕ ЯВЛЯЕТСЯ ЕДИНСТВЕННЫМ.
ПУСТЬ H = (HN) - КАКОЕ-ТО ДРУГОЕ СТАЦИОНАРНОЕ РЕШЕНИЕ. ТОГДА ИЗ (16) К
HN = Y^ AIWN-J + A?+1/I„-(FC+1), (21)
I=O
И, ЗНАЧИТ,
2
К
HN - ? AXWN-I I=О
Е
— AIFC+1E/I2_^FC+1) = A2FC+1E/IQ —»• 0 (22)
ПРИ К ОО.
ОТСЮДА И ИЗ (20) СЛЕДУЕТ, ЧТО СТАЦИОНАРНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ (13) (С КОНЕЧНЫМ ВТОРЫМ МОМЕНТОМ) СУЩЕСТВУЕТ И ЕДИНСТВЕННО.
4. ПРОВЕДЕННЫЕ РАССМОТРЕНИЯ ПОКАЗЫВАЮТ, НА КАКОМ ПУТИ МОЖНО ПОЛУЧИТЬ "ОБРАЩЕНИЕ" В РАЗНОСТНОМ УРАВНЕНИИ (12) С ЦЕЛЬЮ ПОЛУЧЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ (HN) ПО ЗНАЧЕНИЯМ (WN).
ПОСКОЛЬКУ ДЛЯ ЛЮБЫХ AI, А2
(1 - AIL)(L - А2Ь) = 1 - (AI + A2)Ь + АіА2Ь2, (23)
ТО, ОПРЕДЕЛЯЯ Х\\ И АГ ИЗ СИСТЕМЫ
(24)
AJ + А2 = А1; AIA2 = — А.2,
ПОЛУЧИМ, ЧТО
L-AIL-A2L2 = (1 - АХ?)(1 - А2Х). (25)
ПОНЯТНО ИЗ (24), ЧТО AJ И А2 - КОРНИ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ
A2-AIA-A2=0, (26)
ТО ЕСТЬ,
АХ + S/A\\ 4-4А2 АХ - Y/AJ + 4А2
~ 2 \' А2 = 2 *
ПО-ДРУГОМУ МОЖНО СКАЗАТЬ, ЧТО AI = ГХГ, \\2 = Z2X, ГДЕ ZX, Z2 -КОРНИ УРАВНЕНИЯ
1 - AXZ - A2Z2 - 0, (27)
А АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ 1 — AXZ — A2Z2 ПОЛУЧАЕТСЯ СООТВЕТСТВУЮЩЕЙ ЗАМЕНОЙ L Z ИЗ ОПЕРАТОРНОГО ВЫРАЖЕНИЯ 1 — AXL — А2Ь2. С УЧЕТОМ (25) УРАВНЕНИЕ (12) ПЕРЕПИШЕТСЯ В СЛЕДУЮЩЕМ ВИДЕ:
(L-XXL)(L-X2L)HN=WN,
ОТКУДА, "УМНОЖАЯ" ОБЕ ЧАСТИ НА (1 — А2Ь)~Г (1 — ХХЬ)~Г, НАХБДИМ, ЧТО
HN = (1 - Х2Ь)~1{1 - XXL)~XWN. (28)
ЕСЛИ ХХ Ф Х2, ТО ЧИСТО ФОРМАЛЬНЫМ ОБРАЗОМ ПОЛУЧАЕМ СООТНОШЕНИЕ
ХХ Х2
(29)
(1 - ХХ?)(1 - А2Ь) И ПОЭТОМУ
= (Ai-A2)-1
1 - AIX 1 - X2L
HN = ГДГ(1 - X^R\'WN - Т-^-(1 - А2Ь)-^П. (ЗО)
АХ — Л2 А^ — Л2
ПРЕДПОЛАГАЯ, ЧТО |AJ| < 1, І = 1,2, ИЛИ, РАВНОСИЛЬНО, ЧТО КОРНИ ХАРАК-ТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ (27) ЛЕЖАТ ВНЕ ЕДИНИЧНОГО КРУГА, НАХОДИМ, ЧТО
(1 — A,\\L)-1 = 14- A,\\L 4- A2Z/2 4- • • • , I = L,2, (31)
И, ЗНАЧИТ, СОГЛАСНО (30), СТАЦИОНАРНОЕ РЕШЕНИЕ (С КОНЕЧНЫМ ВТОРЫМ МОМЕНТОМ) УРАВНЕНИЯ (12) ИМЕЕТ СЛЕДУЮЩИЙ ВИД:
ОО
HN = J2 (CL А1 + C2\\{)WN-J (32)
3=0
С КОЭФФИЦИЕНТАМИ
А2
СІ = — , С2 =
AI — А2 А2 — AI
(ТО, ЧТО ЭТО РЕШЕНИЕ ЯВЛЯЕТСЯ ЕДИНСТВЕННЫМ СТАЦИОНАРНЫМ РЕШЕНИЕМ УРАВНЕНИЯ (12), ДОКАЗЫВАЕТСЯ ТАК ЖЕ, КАК И ДЛЯ УРАВНЕНИЯ (13).)
5. ПЕРЕЙДЕМ, НАКОНЕЦ, К ОБЩИМ МОДЕЛЯМ AR(P):
HN — АО + AI/IN-I + B CTPHN-P + <ТЄП, (33)
ИЛИ, С WN = AO + <ТЄП,
(1 - AXL - A2L2 - ... - APLP)HN = WN. (34)
СЛЕДУЯ ТОМУ ЖЕ САМОМУ МЕТОДУ, КОТОРЫЙ БЫЛ ИСПОЛЬЗОВАН В СЛУЧАЯХ Р = 1 И Р = 2, ПРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО НАЙДЕНО "ФАКТОРИЗАНИОННОЕ" ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
1 - AXL - A2L2 - ... - APLP = (1 - AIZ)(L - A2L) ••-(!- APL) (35)
(С РАЗНЫМИ А^, I = L,... ,P).
ЕСЛИ )AJ| < 1, Г — 1,... ,P, ТО ИЗ (34) НАХОДИМ СТАЦИОНАРНОЕ РЕШЕНИЕ, ЕДИНСТВЕННОЕ В КЛАССЕ РЕШЕНИЙ С КОНЕЧНЫМ ВТОРЫМ МОМЕНТОМ, "ИДУЩИХ" (ПОВРЕМЕНИ) ИЗ — ОО:
HN = (1 - AIL)- ¦ ¦ ¦ (1 - (36)
ЧИСЛА А І, \\2,..., АР ЯВЛЯЮТСЯ КОРНЯМИ УРАВНЕНИЯ
АР — AIAP_1 — ... — AP_IA — AP = 0 (37)
(СР. С (26)). РАВНОСИЛЬНЫМ ОБРАЗОМ, МОЖНО СКАЗАТЬ, ЧТО А* - 1, ГДЕ ZI - КОРНИ УРАВНЕНИЯ 1 — <ЦГ — A2Z2 — ¦ ¦ ¦ — APZP - О (СР. С (27)).
СТАЦИОНАРНОЕ РЕШЕНИЕ H = (HN) МЫ ПОЛУЧАЕМ, ЕСЛИ ВСЕ КОРНИ ЭТОГО УРАВНЕНИЯ ЛЕЖАТ ВНЕ ЕДИНИЧНОГО КРУГА.
ЧТОБЫ ПОЛУЧИТЬ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ТИПА (30) ИЛИ (32), РАССМОТРИМ АНАЛОГ РАЗЛОЖЕНИЯ (29)
1 = CI , , СР /OQ\\
(1 — \\\\Z) ••¦(!— APZ) 1-А !Z 1-А PZ\' ( \'
ГДЕ CI,..., CP - КОНСТАНТЫ, ПОДЛЕЖАЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЮ.
УМНОЖАЯ В (38) ОБЕ ЧАСТИ РАВЕНСТВА НА (1 — XXZ) ¦ ¦ ¦ (1 — АРЯ), ВИДИМ, ЧТО КОНСТАНТЫ СІ,..., СР ДОЛЖНЫ БЫТЬ ТАКИМИ, ЧТО ПРИ ВСЕХ Z
ЭТО РАВЕНСТВО, БУДУЧИ ВЫПОЛНЕННЫМ ДЛЯ ВСЕХ Z, ДОЛЖНО БЫТЬ ВЕРНЫМ И ДЛЯ Z = А^"1,..., Z = А~1, ЧТО ДАЕТ ДЛЯ А,..., СР СЛЕДУЮЩИЕ ЗНАЧЕНИЯ:
ДР-1
СІ - AFC)
КФІ
(ЗАМЕТИМ, ЧТО СІ + • • • + СР = 1.) ИЗ (36), (38) И (40) ПОЛУЧАЕМ
ОО
HN = E(CLAI + • ¦ • + CPXLP)WN-I, (41)
1=0
ЧТО ОБОБЩАЕТ (32) НА СЛУЧАЙ Р ^ 2.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ (41) ДАЕТ ВОЗМОЖНОСТЬ ПОДСЧИТЫВАТЬ РАЗЛИЧНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ H = (HN), НАПРИМЕР, МОМЕНТЫ ЕЛ*, КОВАРИАДИИ, УСЛОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЖИДАНИЯ E(/IN+FC | ЗП), ГДЕ 3-П = A(...,W-!,W0,..., WN), И Т.П.
В ПРЕДПОЛОЖЕНИИ СТАЦИОНАРНОСТИ МОМЕНТЫ Е HN = Р ЛЕГКО НАХОДЯТСЯ НЕПОСРЕДСТВЕННО ИЗ (33):
ЧТО ЖЕ КАСАЕТСЯ КОВАРИАЦИЙ R(К) = СОV(HN,HN+K), ТО ИЗ (33) ТАКЖЕ МОЖНО ЛЕГКО НАЙТИ, ЧТО ДЛЯ А: = 1,2,...
R(FC) = AIR(FC — 1) Н Ь APR(FC —Р). (43)
ЕСЛИ К = 0, ТО
R(0) = AIR(L) + 1- APR(P) + A2. (44)
ДЛЯ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ Р(К), К ^ 0, СПРАВЕДЛИВЫ ТЕ ЖЕ САМЫЕ УРАВНЕНИЯ (43) И (44), НАЗЫВАЕМЫЕ УРАВНЕНИЯМИ ЮЛА-УОЛКЕРА (G.U. YULE, G.T.WALKER; [271]).
6. ОДИН ИЗ ЦЕНТРАЛЬНЫХ ВОПРОСОВ СТАТИСТИКИ АВТОРЕГРЕССИОННЫХ СХЕМ AR(Q) СОСТОИТ В ОЦЕНИВАНИИ ПАРАМЕТРОВ В = (АО, ... ,АР, А), ВХОДЯЩИХ В (1) И (2), ГДЕ СЕЙЧАС, ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ, БУДЕМ СЧИТАТЬ HO, H-1,... ИЗВЕСТНЫМИ КОНСТАНТАМИ.
ЕСЛИ ПРЕДПОЛАГАТЬ, ЧТО БЕЛЫЙ ШУМ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ Є = (Е„) ЯВЛЯЕТСЯ ГАУССОВСКИМ, ТО ОСНОВНЫМ МЕТОДОМ ОЦЕНИВАНИЯ ЯВЛЯЕТСЯ МЕТОД МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ, СОГЛАСНО КОТОРОМУ В КАЧЕСТВЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРА В (ПО НАБЛЮДЕНИЯМ H\\,H2,...,HN) БЕРЕТСЯ ЗНАЧЕНИЕ
ВП =ARGMAXP0(/II,/I2,...,/IN), О
ГДЕ PE(HI, H2,..., HN) - СОВМЕСТНАЯ ПЛОТНОСТЬ (ГАУССОВСКОГО) ВЕКТОРА (H1,H2,---,HN).
ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ, СВЯЗАННЫЕ С МЕТОДОМ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ, ПРОИЛЛЮСТРИРУЕМ НА ПРИМЕРЕ МОДЕЛИ ЛД(1), В КОТОРОЙ HN - АО + AI/IN_I + СГЄП, ПРИЧЕМ А БУДЕМ СЧИТАТЬ ИЗВЕСТНЫМ ПАРАМЕТРОМ (А > 0),HO = 0,NP 1.
ПОСКОЛЬКУ ЗДЕСЬ В = (АО, АІ), ТО
. , ( 1 V Г 1 ^ (HK — АР — AI/IFC-I)21
ЕХРГ2? /•
ОПЕНКА В = (АО,АІ) ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ, КАК НЕТРУДНО ВИДАТЬ, ИЗ УСЛОВИЯ ОБРАЩЕНИЯ В МИНИМУМ ФУНКЦИИ
П
T/>(A0,AI) = ^(HK - АО - AIHK-I)2. FC=І
СЧИТАЯ A0 Є М И AX Є М, ВИДИМ, ЧТО
Я =0 2 У](HK -АО- AXHK-I) = 0, ДА° FCTL
(45)
&Ф ДАО
А»/ "
—- = 0 2 У (HK - АО - A^K-^HK-I = 0.
РЕШАЯ ЭТУ ЛИНЕЙНУЮ СИСТЕМУ НАХОДИМ ОЦЕНКИ AO И SI.
СОСРЕДОТОЧИМ СВОЕ ВНИМАНИЕ НА СВОЙСТВАХ ОЦЕНОК AI=AI(/II,... ,HN), П Р 1, ПАРАМЕТРА AJ, СЧИТАЯ, ДЛЯ ПРОСТОТЫ ИЗЛОЖЕНИЯ, ПАРАМЕТР АО ИЗВЕСТНЫМ (АО = 0), А А = 1.
В ЭТИХ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯХ HN = A\\HN—\\ + ЄП И ИЗ (45) НАХОДИМ, ЧТО
12K-I HK-IHK
AI ~ УП H2 •
L,K=І "FC-I
ЗНАЧИТ,
- _„ , EFC=I^FC-I?FC
- + Г2 ¦
2-RFC=I "FC-I
ОБОЗНАЧИМ
MN = ^/IFC-XEFC. FC=L
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ M = (MN) ЯВЛЯЕТСЯ (ПРИ ЛЮБОМ ЗНАЧЕНИИ ПАРАМЕТРА А±) МАРТИНГАЛОМ, КВАДРАТИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА КОТОРОГО
FC=І
ПОЭТОМУ, ЕСЛИ AI - ИСТИННОЕ ЗНАЧЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО ПАРАМЕТРА, ТО
^ МП ,ЛК\\
AI = AI + WRN¦ (46)
ИЗ ЭТОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МЫ ВИДИМ, ЧТО ОПЕНКА МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДО-ПОДОБИЯ А\\ ЯВЛЯЕТСЯ СИЛЬНО СОСТОЯТЕЛЬНОЙ: Т.Е. С ВЕРОЯТНОСТЬЮ ЕДИНИЦА AI AX ПРИ П ОО, ПОСКОЛЬКУ (М)П —>¦ ОО (Р-Ц.Н.) И, СОГЛАСНО УСИЛЕННОМУ ЗАКОНУ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ДЛЯ КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫХ МАРТИНГАЛОВ ([439; ГЛ. VII, §5]; СР. ТАКЖЕ С (12) В § LB),
(Р-Ц.Н.).
(М)П
ЕСЛИ В РАССМАТРИВАЕМОМ СЛУЧАЕ (АО = 0, О = 1) ПОДСЧИТАТЬ ИНФОРМАЦИЮ ФИШЕРА
- ЕА1| ^
ГДЕ ЕА1 - МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ ПО МЕРЕ
PAI = LAW(/IX,..., HN І В = AI),
ТО НАЙДЕМ, ЧТО
П
1-І-
IN{AI) = EAI (М)П = EAI К
К=1
ИСПОЛЬЗУЯ ВЫШЕПРИВЕДЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ EHK-I, DHK-I, ПОЛУЧАЕМ, ЧТО
(47)
СЛУЧАЙ |AI | = 1, КАК ВИДИМ, ЯВЛЯЕТСЯ В НЕКОТОРОМ СМЫСЛЕ ОСОБЫМ, "ПОГРАНИЧНЫМ" В ЭТОМ СЛУЧАЕ H = (H„) ЯВЛЯЕТСЯ СЛУЧАЙНЫМ БЛУЖДАНИЕМ (СР. С § 2А В ГЛ. I: ГИПОТЕЗА СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ И КОНЦЕПЦИЯ ЭФФЕКТИВ-НОГО РЫНКА). ПРИ |AI| Ф 1 СООТВЕТСТВУЮЩАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ H = (H„) ЯВЛЯЕТСЯ МАРКОВСКОЙ. ПРИ ЭТОМ, В СЛУЧАЕ |AI| < 1, ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ H = (HN) "СТАЦИОНАРИЗУЕТСЯ" КОГДА П —Ї ОО.
ЭТО ОБЪЯСНЯЕТ ТО БОЛЬШОЕ ВНИМАНИЕ, КОТОРОЕ УДЕЛЯЕТСЯ В СТАТИСТИКЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ H = (HN) РЕШЕНИЮ ВОПРОСА О ТОМ, КАКАЯ ИЗ ДВУХ ГИПОТЕЗ:
#0:|AI| = L ИЛИ #I:|AI|>L,
ЯВЛЯЕТСЯ БОЛЕЕ ПРАВДОПОДОБНОЙ.
В ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЕ, В ТОМ ЧИСЛЕ ПОСВЯЩЕННОЙ ФИНАНСОВЫМ МОДЕЛЯМ, КРУГ ВОПРОСОВ, СВЯЗАННЫХ С ТЕМ, БУДЕТ ЛИ |AI | = 1, НОСИТ НАЗВАНИЕ "ПРОБЛЕМЫ ЕДИНИЧНОГО КОРНЯ" (UNIT ROOT).
ПРИВЕДЕМ (БЕЗ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА, ОТСЫЛАЯ ЗА ПОДРОБНОСТЯМИ, НАПРИМЕР, К [445], [452] И СООТВЕТСТВУЮЩЕЙ ЛИТЕРАТУРЕ, УКАЗАННОЙ В ЭТИХ РАБОТАХ) НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕДЕЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОТКЛОНЕНИЙ 2} — АХ.
ТЕОРЕМА 1. ПРИ П ОО
Ф(Х), |AX| < 1,
1ІТРАІ{У%(АІ) («І < Х] = НВ1(АО, М = 1, (48)
СЬ(Ж), |АІ|>1,
7Г(1 + X2)
І
ПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
W2( 1)-1
ГДЕ (W(S))AИНТЕРЕСНО ОТМЕТИТЬ, ЧТО ПРИ |CTX | Ф 1 ПЛОТНОСТИ ПРЕДЕЛЬНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ЯВЛЯЮТСЯ СИММЕТРИЧНЫМИ ОТНОСИТЕЛЬНО НУЛЯ. ОДНАКО, ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НА1 (Х) НЕСИММЕТРИЧНА. (ЭТО ЛЕГКО УВИДЕТЬ ИЗ ТОГО НАБЛЮДЕНИЯ, ЧТО P(W2(1) - 1 > 0) Ф\\.)
СЛЕДУЮЩИЙ РЕЗУЛЬТАТ ПОКАЗЫВАЕТ, ЧТО С ПОМОЩЬЮ СЛУЧАЙНОЙ НОРМИ-РОВКИ ОТКЛОНЕНИЯ (А І — А І), СОСТОЯЩЕЙ В ТОМ, ЧТО ВМЕСТО ИНФОРМАЦИИ ФИШЕРА IN(AI) ИСПОЛЬЗУЕТСЯ СТОХАСТИЧЕСКАЯ ФИШЕРОВСКАЯ ИНФОРМАЦИЯ (М)П, МОЖНО ПОЛУЧИТЬ ЛИШЬ ТОЛЬКО ДВА ПРЕДЕЛЬНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВМЕСТО ТРЕХ В (48).
ТЕОРЕМА 2. ПРИ П—? ОО
Ф(®), ЫФ1,
Н\' (Х), |01| = 1,
(49)
LIMPC
{V(M)N(SI-A1)<®} = |
ГДЕ Н^ (Х) - РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
W2( 1)-1
НАКОНЕЦ, ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НАРЯДУ СО СЛУЧАЙНОЙ НОРМИРОВКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ОЦЕНОК МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ ПРИВОДИТ К ЕДИНСТВЕННОМУ ПРЕДЕЛЬНОМУ (НОРМАЛЬНОМУ) РАСПРЕДЕЛЕНИЮ.
(50)
Т{В) =INF{N^ 1: (М)П ^ В}
ТЕОРЕМА 3. ПУСТЬ В > 0,
И
= ДА)
Z^FC=L "FC-1
- ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ. ТОГДА ПРИ ЛЮБОМ ЗНАЧЕНИИ АХ Є М
LIM PAI{ V(M)7W["I(T(9)) - «І] < Х) = Ф(*)- (52)
П—ЮО
СОПОСТАВИМ ЭТОТ РЕЗУЛЬТАТ С УТВЕРЖДЕНИЕМ (48).
ЕСЛИ ИСХОДНЫМ ВРЕМЕННЫМ ПАРАМЕТРОМ ЯВЛЯЕТСЯ "ВРЕМЯ" П, ТО ПАРАМЕТР В МОЖНО РАССМАТРИВАТЬ КАК "НОВОЕ" "ОПЕРАЦИОННОЕ" ВРЕМЯ, ПОСТРОЕННОЕ ПО СТОХАСТИЧЕСКОЙ ФИШЕРОВСКОЙ ИНФОРМАЦИИ (М). ЗАМЕТИМ, ЧТО ТЕМ (БОЛЬШИМ) ВРЕМЕННЫМ ИНТЕРВАЛАМ, ГДЕ ФИШЕРОВСКАЯ ИНФОРМАЦИЯ МАЛО МЕНЯЕТСЯ, В "НОВОМ ^-ВРЕМЕНИ" БУДУТ СООТВЕТСТВОВАТЬ МАЛЫЕ ИНТЕРВАЛЫ, И НАОБОРОТ. ТЕМ САМЫМ, В "НОВОМ" "ОПЕРАЦИОННОМ" ВРЕМЕНИ ПРИТОК ИНФОРМАЦИИ СТАНОВИТСЯ КАК БЫ РАВНОМЕРНЫМ, ОДНОРОДНЫМ. В ЭТОМ "НОВОМ" ^-ВРЕМЕНИ ПОСТУПАЮЩИЕ ДАННЫЕ СТАНОВЯТСЯ "РАВНОЦЕННЫМИ" В НЕКОТОРОМ СМЫСЛЕ "ОДИНАКОВО РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ" ДЛЯ ВСЕХ ЗНАЧЕНИЙ ПАРАМЕТРА AJ, ЧТО И ОПРЕДЕЛИЛО, В КОНЕЧНОМ СЧЕТЕ, ТО, ЧТО ПРЕДЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ОКАЗАЛОСЬ ЕДИНСТВЕННЫМ И НОРМАЛЬНЫМ.
С ПРОБЛЕМАТИКОЙ "НОВОГО" ВРЕМЕНИ МЫ СТОЛКНЕМСЯ ДАЛЕЕ В § 3D, ГЛ. IV, ГДЕ ДОСТАТОЧНО ПОДРОБНО БУДЕТ ОБЪЯСНЕН СМЫСЛ ПЕРЕХОДА К ЭТОМУ ВРЕМЕНИ С ЦЕЛЬЮ "ВЫРАВНИВАНИЯ" СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ ОБМЕННЫХ КУРСОВ ВАЛЮТ, ИМЕЮЩИХ В СВОЕМ ПОВЕШЕНИИ "ГЕОГРАФИЧЕСКИЕ" КОМПОНЕНТЫ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ХАРАКТЕРА.
7. ДОПОЛНИТЕЛЬНУЮ ИНФОРМАЦИЮ О СВОЙСТВАХ ОЦЕНОК МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ МОЖНО ПОЛУЧИТЬ ИЗ СЛЕДУЮЩИХ РЕЗУЛЬТАТОВ (СМ. [258], [445], [452]).
ВО-ПЕРВЫХ,
SUP EAI |AI — AI| 0, N —» ОО. AI€®
ВО-ВТОРЫХ, ПУСТЬ U(AX)~ КЛАСС ОЦЕНОК АХ, ДЛЯ КОТОРЫХ СМЕЩЕНИЕ BAI(AI) = EAI (AI - АХ) ->• 0, NОО,
DBA, ,
-P^-(AI) 0, N-? OO. AAI
(ОЦЕНКИ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ А І ПРИНАДЛЕЖАТ КЛАССУ U(A\\) ПРИ
Ы Ф !•)
ДЛЯ |AI | Ф 1 ОПЕНКИ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ АХ ЯВЛЯЮТСЯ АСИМПТОТИЧЕСКИ ЭФФЕКТИВНЫМИ В КЛАССЕ U(АХ) В ТОМ СМЫСЛЕ, ЧТО ДЛЯ ВСЕХ АХ Є U[АХ)
Ц—Е А1{М)П{АХ~АХ)2 " EAI(М)П(АХ — АХ)2 ^
ДЛЯ |AI| < 1 ("СТАЦИОНАРНЫЙ" СЛУЧАЙ) ОЦЕНКИ АХ АСИМПТОТИЧЕСКИ ЭФ-ФЕКТИВНЫ ТАКЖЕ И В ОБЫЧНОМ СМЫСЛЕ: ДЛЯ ВСЕХ АХ Є U(АХ)
У— DAIAI LUN ^ 1.
N L)AIAI
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ ОБЛАДАЮТ СЛЕДУЮЩИМИ СВОЙСТВАМИ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ РАВНОМЕРНОСТИ : ПРИ Б ОО
SUP 8ИР|РАІ{Л/(М)Т(Є) [АІ(Т(0)) - АХ] ^ Х) - Ф(І)| -)¦ 0,
SUP SUP|PAI {Y/(M)RW [АХ(Т(В)) - AX] < X) - Ф(А?)| -»• 0. ¦
Еще по теме §2Ь. АВТОРЕГРЕССИОННАЯ МОДЕЛЬ AR(P):
- В настоящей главе рассматриваются модели определения премии опционов. Вначале мы остановимся на вопросе формирования портфеля без риска и оценки величины премии с помощью простой биномиальной модели. После этого перейдем к моделям, которые используются на практике, а именно, биномиальной модели Кокса, Росса и Рубинштейна и модели Блэка-Шоулза.
- Сравнение двух новых моделей с традиционной моделью
- 2.2. EOQ-модель, или базовая модель управления запасами
- 11. Модели экономических систем (американская, шведская, модель социального хозяйства ФРГ, японская).
- Проблемно-ориентированные модели и модели решения.
- 5.4. Модели жизненного цикла ПО5.4.1. Общепринятая модель
- Модель унітарної ради та модель подвійних рад
- Основные модели анализа стратегического поведения олигополиста. Модель Бертрана. Картельное соглашение.
- Модель Бертрана, или Модель олигополистических ценовых войн
- Модель обслуговування консолідованого кореспондентськогорахунка в СЕП (модель)
- Общие замечания. Характеристика национальных моделей института клиента. Снижение договорной и информационной диспропорции в национальных моделях
-
Биржевая деятельность -
Денежное обращение, финансы и кредит -
Деньги, кредит, банки -
Кредитование -
Основы финансов -
Финансовая математика -
Финансовое право -
Финансовый менеджмент -
Финансы и кредит -
-
Law -
Авторское право -
Аграрное право -
Адвокатура -
Административное право -
Административный процесс -
Антимонопольно-конкурентное право -
Арбитражный (хозяйственный) процесс -
Аудит -
Банковская система -
Банковское право -
Бизнес -
Бухгалтерский учет -
Вещное право -
Государственное право и управление -
Гражданское право и процесс -
Денежное обращение, финансы и кредит -
Деньги -
Дипломатическое и консульское право -
Договорное право -
Жилищное право -
Земельное право -
Избирательное право -
Инвестиционное право -
Информационное право -
Исполнительное производство -
История -
История государства и права -
История политических и правовых учений -
Конкурсное право -
Конституционное право -
Корпоративное право -
Криминалистика -
Криминология -
Маркетинг -
Медицинское право -
Международное право -
Менеджмент -
Муниципальное право -
Налоговое право -
Наследственное право -
Нотариат -
Обязательственное право -
Оперативно-розыскная деятельность -
Права человека -
Право зарубежных стран -
Право социального обеспечения -
Правоведение -
Правоохранительная деятельность -
Предпринимательское право -
Семейное право -
Страховое право -
Судопроизводство -
Таможенное право -
Теория государства и права -
Трудовое право -
Уголовно-исполнительное право -
Уголовное право -
Уголовный процесс -
Философия -
Финансовое право -
Хозяйственное право -
Хозяйственный процесс -
Экологическое право -
Экономика -
Ювенальное право -
Юридическая деятельность -
Юридическая техника -
Юридические лица -