§2А. МОДЕЛЬ СКОЛЬЗЯЩЕГО СРЕДНЕГО MA(Q)

1. ВО ВСЕХ РАССМАТРИВАЕМЫХ ДАЛЕЕ МОДЕЛЯХ (ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ) ПРЕДПОЛАГАЕТСЯ ЗАДАННОЙ НЕКОТОРАЯ "БАЗИСНАЯ" ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ Є = (Є„), КОТОРУЮ В ТЕОРИИ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ ОБЫЧНО СЧИТАЮТ БЕЛЫМ ШУМОМ (СМ.

РИС. 17) И КОТОРАЯ ИДЕНТИФИЦИРУЕТСЯ С ИСТОЧНИКОМ СЛУЧАЙНОСТИ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИМ СТОХАСТИЧЕСКИЙ ХАРАКТЕР ИССЛЕДУЕМЫХ ВЕ- РОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ.
ПРИ ЭТОМ (В "Ь2-ТЕОРИИ") ГОВОРЯТ, ЧТО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ Є = (ЄП) ЯВЛЯЕТСЯ БЕЛЫМ ШУМОМ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ, ЕСЛИ ЕЄП = 0, ЕЕ2 < ОО И
ЕЄ„ЄТ = 0 (1)
ДЛЯ ВСЕХ N ^ ТО. (ВРЕМЕННОЙ ПАРАМЕТР П УДОБНО СЕЙЧАС СЧИТАТЬ ПРИНИМАЮЩИМ ЗНАЧЕНИЯ 0, ±1, ±2,... .)
ИНАЧЕ ГОВОРЯ, БЕЛЫЙ ШУМ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ - ЭТО КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕКОРРЕЛИРОВАННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН С НУЛЕВЫМИ СРЕДНИМИ.
ЕСЛИ В ЭТОМ ОПРЕДЕЛЕНИИ ДОБАВИТЬ ЕЩЕ ТРЕБОВАНИЕ ГАУССОВОСТИ (НОР-МАЛЬНОСТИ) , ТО ПОЛУЧАЕМУЮ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ Є = (ЄП) НАЗЫВАЮТ БЕЛЫМ ШУМОМ В УЗКОМ СМЫСЛЕ ИЛИ БЕЛЫМ (ГАУССОВСКИМ) ШУМОМ, ИЛИ ПРОСТО БЕЛЫМ ШУМОМ, ЧТО РАВНОСИЛЬНО ТОМУ, ЧТО Є = (ЄП) ЕСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕЗАВИСИМЫХ НОРМАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ, ЄП ~ СГ2), СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. В ДАЛЬНЕЙШЕМ МЫ БУДЕМ СЧИТАТЬ СГ2 = 1. (В ЭТОМ СЛУЧАЕ ЧАСТО ГОВОРЯТ, ЧТО Є = (ЄП) - СТАНДАРТНАЯ ГАУССОВСКАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ; ПОЛЕЗНО СРАВНИТЬ ЭТО ПОНЯТИЕ С ФРАКТАЛЬНЫМ ГАУССОВСКИМ ШУМОМ, ТАКЖЕ ИСПОЛЬЗУЕМЫМ В СТАТИСТИКЕ ФИНАНСОВЫХ ДАННЫХ; СМ. § 2D, ГЛ. III.)

РИС. 17. ГРАФИК КОМПЬЮТЕРНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ БЕЛОГО ШУМА HN — СГЄП ССГ = 0.1ИЄП ~<Ж(0,1)

-1
(5)
HN = А4 + ЬОЄП + МП-1)
И НЕПОСРЕДСТВЕННО НАХОДИМ, ЧТО
(6) (7)
EHN = N, DHN = BL + B\\, COV(/IN,/IN+1) = B0BI, COV(HN,HN+K) = 0, К > 1.
ПОСЛЕДНИЕ ДВА СВОЙСТВА ОЗНАЧАЮТ, ЧТО H — (HN) ЯВЛЯЕТСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ С КОРРЕЛИРОВАННЫМИ СОСЕДНИМИ ЗНАЧЕНИЯМИ (HN И /ІП+І), В ТО ВРЕМЯ КАК КОРРЕЛЯЦИЯ ЗНАЧЕНИЙ HN И HN+K ПРИ К > 2 РАВНА НУЛЮ.
ЗАМЕТИМ, МЕЖДУ ПРОЧИМ, ЧТО ЕСЛИ FRO&I > 0, ТО ВЕЛИЧИНЫ HN И /ІП+І ПОЛОЖИТЕЛЬНО КОРРЕЛИРОВАНЫ.

ЕСЛИ ЖЕ BOBI < 0, ТО КОРРЕЛЯЦИЯ ОТРИЦАТЕЛЬНА. (С ТАКОЙ СИТУАЦИЕЙ МЫ ВСТРЕТИМСЯ ДАЛЕЕ В §3С, ГЛ. IV, ПРИ ОБЪЯСНЕНИИ ЭФФЕКТА ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КОРРЕЛИРОВАННОСТИ В СЛУЧАЕ ОБМЕННЫХ КУРСОВ.)
ИЗ (6) И (7) СЛЕДУЕТ, ЧТО У ЭЛЕМЕНТОВ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ H - (HN) СРЕД-НЕЕ ЗНАЧЕНИЕ, ДИСПЕРСИЯ И КОВАРИАПИЯ НЕ ЗАВИСЯТ ОТ П. (ЭТО, КОНЕЧНО, ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ПРЕДПОЛОЖЕНИЕМ, ЧТО Є - (ЄП) - БЕЛЫЙ ШУМ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ С ЕЄП = 0, DE^ = 1 И КОЭФФИЦИЕНТЫ В (5) НЕ ЗАВИСЯТ ОТ П.) ТЕМ САМЫМ, ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ H = (HN) ЯВЛЯЕТСЯ (ПРОСТО ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ) СТАЦИОНАРНОЙ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ. ЕСЛИ К ТОМУ ЖЕ ПРЕДПОЛОЖИТЬ, ЧТО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ Є = (ЄП) ЯВЛЯЕТСЯ ГАУССОВСКОЙ, ТО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ H = (HN) ТАКЖЕ БУДЕТ ГАУССОВСКОЙ И, СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ВСЕ ЕЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ СВОЙСТВА ВЫРАЖАЮТСЯ ЛИШЬ В ТЕРМИНАХ СРЕДНЕГО, ДИСПЕРСИИ И КОВАРИАЦИИ. В ЭТОМ СЛУЧАЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ H = (HN) ЯВЛЯЕТСЯ СТАЦИОНАРНОЙ В УЗКОМ СМЫСЛЕ, Т. Е.
LAW(/IIJ,..., HIN) = LAW(/IIL+JFC,..., HIN+K)
ДЛЯ ВСЕХ П > 1, I\\,..., ГП И ПРОИЗВОЛЬНЫХ FC.

FE=I
(8)
- ВРЕМЕННОЕ СРЕДНЕЕ.
СО СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ОБРАЩЕНИЕ К "СТАТИСТИКЕ" HN ПРЕД-СТАВЛЯЕТ ТОТ ИНТЕРЕС, ЧТО HN ЯВЛЯЕТСЯ ЕСТЕСТВЕННЫМ "КАНДИДАТОМ" ДЛЯ ОЦЕНИВАНИЯ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ /і.
4. ПУСТЬ (HI,..., H„) - НЕКОТОРАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ, ПОЛУЧЕННАЯ В РЕЗУЛЬТАТЕ НАБЛЮДЕНИЙ ВЕЛИЧИН HK В МОМЕНТЫ FC = 1,..., N И
В СЛУЧАЕ ИЗМЕРЕНИЯ КАЧЕСТВА ЭТОЙ ОЦЕНКИ ВЕЛИЧИНОЙ СРЕДНЕКВАДРАТИ- ЧЕСКОГО ОТКЛОНЕНИЯ Д2 = Е \\HN — /І|2 ПОЛЕЗНЫМ ЯВЛЯЕТСЯ СЛЕДУЮЩИЙ КРИ-ТЕРИЙ: ПРИ П —> 00
(9)
Д2 0 І ? R(FC) -> О,
К= 1
ГДЕ R(FC) — COV(HN,HN+K) И H = (HN) - ПРОИЗВОЛЬНАЯ СТАЦИОНАРНАЯ В ШИ-РОКОМ СМЫСЛЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ.
В САМОМ ДЕЛЕ, ПУСТЬ, ДЛЯ ПРОСТОТЫ, Н = ЕHN - 0. ТОГДА
FE=L 4 FE=L \' FC=L
И, ЗНАЧИТ, В (9) СПРАВЕДЛИВА ИМПЛИКАЦИЯ С ДРУГОЙ СТОРОНЫ,
FC=L 4=1 FC#/ 7
= |Г EE «№)->)•
/=1 FC=0
ВЫБЕРЕМ J > 0 И ПУСТЬ П(<5) ТАКОВО, ЧТО ДЛЯ ВСЕХ I > П(6)
1 \'-1
7 Е R(*)
1-І
I
JFC=0
<6.
ТОГДА ДЛЯ П > П(6)
П 1-1
N(S) 1-1
^EER(FC) = ^EER(FC) + ^ Ё ERW
Г=І FE=O Г=І FE=O Г=П(Г)-Ы FC=O
N 1 1-1
E 4ER(*)
1
N(S) 1-І
N\'
Г=П(5)+І FE=O
EER«
I=L JFC=0
N(*) Г-І
EERNJ
(=1 FE=0
И ПОСКОЛЬКУ П(($) < ОО, |R(0)| < CONST, ТО
1 " П \'
LIME
N
SSS,
FC=L
ЧТО В СИЛУ ПРОИЗВОЛЬНОСТИ (5 > 0 ДОКАЗЫВАЕТ ИМПЛИКАЦИЮ <=.
ТАКИМ ОБРАЗОМ, РАССМАТРИВАЕМАЯ МОДЕЛЬ МА( 1) ЯВЛЯЕТСЯ "ЭРГОДИЧЕС- КОЙ" В ТОМ СМЫСЛЕ, ЧТО ВРЕМЕННЫЕ СРЕДНИЕ HN СХОДЯТСЯ (В L2) К СРЕДНЕМУ ЗНАЧЕНИЮ /И, ИЛИ, КАК ЕЩЕ ГОВОРЯТ, К СРЕДНЕМУ ПО АНСАМБЛЮ. (ПО ПОВОДУ ОБЩИХ ПОНЯТИЙ "ЭРГОДИЧНОСТИ", "ПЕРЕМЕШИВАНИЯ", "ЭРГОДИЧЕСКИХ ТЕОРЕМ" СМ., НАПРИМЕР, [439; ГЛ.

V].)
ВАЖНОСТЬ ЭТОГО "ЭРГОДИЧЕСКОГО" РЕЗУЛЬТАТА СО СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ВПОЛНЕ ПОНЯТНА - ОН ОБОСНОВЫВАЕТ ВОЗМОЖНОСТЬ ОЦЕНИВАНИЯ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ ПО ВРЕМЕННЫМ СРЕДНИМ, ПОСТРОЕННЫМ ПО НАБЛЮДАЕМЫМ ЗНАЧЕНИЯМ HI,H,2,... ¦ ПОНЯТНО, ЧТО "ЭРГОДИЧНОСТЬ" ИГРАЕТ КЛЮЧЕВУЮ РОЛЬ В ОБОСНОВАНИИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ПРИЕМОВ ОЦЕНИВАНИЯ ПО ВЫБОРКАМ НЕ ТОЛЬКО СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ, НО И ДРУГИХ ХАРАКТЕРИСТИК, ТАКИХ КАК, СКАЖЕМ, МОМЕНТЫ РАЗНЫХ ПОРЯДКОВ, КОВАРИАЦИИ И Т.П.
5. НАПОМНИМ, ЧТО ПО КОВАРИАЦИИ COV(HN,HM) ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ КОРРЕЛЯЦИЯ CORR(/IN, HM) ФОРМУЛОЙ
COV(/IN,/IM)
(10)
СОRR{HN,HM) =
VDHNDHM
ИЗ НЕРАВЕНСТВА КОШИ-БУНЯКОВСКОГО СЛЕДУЕТ, ЧТО | CORR(/IN, /IM)| ^ 1.
В СТАЦИОНАРНОМ СЛУЧАЕ COV(/IN, HN+K) НЕ ЗАВИСИТ ОТ П. ОБОЗНАЧАЯ ЭТУ ВЕЛИЧИНУ R(FC) И ПОЛАГАЯ
(И)
R(FC)
R(0)\'
P(K) \' CORR(HN,HN+K) -
НАХОДИМ ИЗ (7), ЧТО В СЛУЧАЕ МОДЕЛИ МА(1)
\'1, JB = 0,
P(K) = ITVT? » FC = 1\'
(12)
Щ + Ч I О, FC > І.
ИНТЕРЕСНО ОТМЕТИТЬ, ЧТО ЕСЛИ ОБОЗНАЧИТЬ В\\ = І>І/&О, ТО НАЙДЕМ, ЧТО
(13)
ВІ (ЇМ)
Р(1) =
1 + 02 1 -Н (1/01>2 \'
И, СЛЕДОВАТЕЛЬНО, РАЗНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ (В\\ И L/#I) ПРИВОДЯТ ЗДЕСЬ К ОДНОМУ И ТОМУ ЖЕ ЗНАЧЕНИЮР(1).
6. ОБРАТИМСЯ ТЕПЕРЬ К МОДЕЛЯМ MA(Q):
HN=N + 0(L)EN, (3(L) = B0 + B1L + --- + BQLQ.
ЛЕГКО НАХОДИМ, ЧТО
EHN = P.,
D/I„ = + BL + • • • + К
И
Q—K
Y, BJBK+J, K = L,...,Q,
(14)
R(FC) = I ?
К > Q.
I 0,
ИЗ ФОРМУЛЫ (14) МЫ ВИДИМ, ЧТО СХЕМАМИ ТИПА MA(Q) МОЖНО (ПУТЕМ ВАРЬИРОВАНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ Ь{) ПЫТАТЬСЯ МОДЕЛИРОВАТЬ ПОВЕДЕНИЕ ПОСЛЕДОВА-ТЕЛЬНОСТЕЙ H = (HN), У КОТОРЫХ КОРРЕЛЯЦИЯ ВЕЛИЧИН HN И К > Q, РАВНА НУЛЮ.
ЗАМЕЧАНИЕ. КОЛЬ СКОРО ЗАШЛА РЕЧЬ О ПОДГОНКЕ ТОЙ ИЛИ ИНОЙ МОДЕЛИ К ЭМПИРИЧЕСКИМ ДАННЫМ, ИЛИ, КАК МЫ ГОВОРИЛИ ВЫШЕ, "МОДЕЛИРОВАНИИ ПО-ВЕДЕНИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ H — (ЛП)" ТО СЛЕДУЕТ ОТМЕТИТЬ, ЧТО ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЙ ЗДЕСЬ ТАКОВ.
ПО ВЫБОРОЧНЫМ ЗНАЧЕНИЯМ Л 1,^2! •¦• СТРОЯТСЯ, ПРЕЖДЕ ВСЕГО, НЕКОТОРЫЕ ЭМПИРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ, НАПРИМЕР, ВЫБОРОЧНОЕ СРЕДНЕЕ

FE=I
ВЫБОРОЧНАЯ ДИСПЕРСИЯ

А=1
ВЫБОРОЧНЫЕ ЧАСТИЧНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ДР.
ВЫБОРОЧНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ (ПОРЯДКА FC)
71

ЗАТЕМ, ИСПОЛЬЗУЯ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ СООТВЕТСТВУЮЩИХ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК (КАК, НАПРИМЕР, (12) И (14)) АППРОКСИМИРУЕМЫХ МОДЕЛЕЙ, ПРО-ИЗВОДИТСЯ ВАРЬИРОВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ (ТАКИХ, КАК, СКАЖЕМ, Ьі В (12) И (14)) С ЦЕЛЬЮ ПОДГОНКИ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПОД ЭМПИРИЧЕСКИЕ.

НАКОНЕЦ, НА ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОМ ЭТАПЕ ПРОИЗВОДИТСЯ ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ПОДГОНКИ, ОСНОВЫВАЯСЬ НА ЗНАНИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ЭМПИРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК И ИХ ОТКЛОНЕНИЙ ОТ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ.
7. ПОСЛЕ МОДЕЛЕЙ MA(Q) СЛЕДУЮЩИЙ ЕСТЕСТВЕННЫЙ ШАГ СОСТОИТ В РАССМОТРЕНИИ МОДЕЛЕЙ МА(ОО), Т. Е. МОДЕЛЕЙ, В КОТОРЫХ
ОО
HN = Р- + BJ?N-І ¦ (15)
J=О
РАЗУМЕЕТСЯ, ДЛЯ СХОДИМОСТИ РЯДА В (15) НУЖНО НА КОЭФФИЦИЕНТЫ НАЛАГАТЬ НЕКОТОРЫЕ УСЛОВИЯ. ЕСЛИ ПОТРЕБОВАТЬ, ЧТОБЫ
ОО
5>*<°С, (16)
J=0
ТО РЯД В (15) БУДЕТ СХОДИТЬСЯ В СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОМ СМЫСЛЕ.
В ЭТОМ ПРЕДПОЛОЖЕНИИ
ОО
EHN = /І, DHN = (17)
J=О
И
ОО
R (АО = 53Ь*+Л-> FC>°- (18)
3=О
В ТЕОРИИ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕДСТАВ-ЛЕНИЯ (15) ДЛЯ H = {HN) ПРИНЯТО ГОВОРИТЬ, ЧТО HN ЕСТЬ "РЕЗУЛЬТАТ РЕАКЦИИ ФИЗИЧЕСКИ ОСУЩЕСТВИМОГО ФИЛЬТРА С ИМПУЛЬСНОЙ ПЕРЕХОДНОЙ ФУНКЦИЕЙ Ь ~ (BJ), КОГДА НА ВХОД ПОДАЕТСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ Є = (ЄП)"
ВЕСЬМА ЗАМЕЧАТЕЛЬНО, ЧТО В ОПРЕДЕЛЕННОМ СМЫСЛЕ ВСЯКАЯ "РЕГУЛЯРНАЯ" СТАЦИОНАРНАЯ (В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ) ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ H - (HN) МОЖЕТ БЫТЬ ПРЕДСТАВЛЕНА В ВИДЕ (15) С ВЫПОЛНЕНИЕМ СВОЙСТВА (16). ПО ПОВОДУ ТОЧНОЙ ФОРМУЛИРОВКИ ЭТОГО РЕЗУЛЬТАТА, А ТАКЖЕ ВСЕГО КОМПЛЕКСА ПРОБЛЕМ, СВЯЗАННЫХ С РАЗЛОЖЕНИЕМ ВОЛЬДА СТАЦИОНАРНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ НА СУММУ "СИНГУЛЯРНОЙ" И "РЕГУЛЯРНОЙ" СОСТАВЛЯЮЩИХ (С "РЕГУЛЯРНОЙ" СОСТАВЛЯЮЩЕЙ, ПРЕДСТАВИМОЙ В ВИДЕ (15)); СМ. ДАЛЕЕ § 2D И, БОЛЕЕ ПОДРОБНО, НАПРИМЕР, [439; ГЛ. VI, §5].

<< | >>

↑

Источник: Ширяев А. Н.. Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели.Москва: ФАЗИС,1998. 512 с. (Стохастика, вып.2). 1998

Еще по теме §2А. МОДЕЛЬ СКОЛЬЗЯЩЕГО СРЕДНЕГО MA(Q):

- Биржевая деятельность - Денежное обращение, финансы и кредит - Деньги, кредит, банки - Кредитование - Основы финансов - Финансовая математика - Финансовое право - Финансовый менеджмент - Финансы и кредит -