12. Простые и сложные проценты

Давая деньги в долг, кредитор упускает возможность использовать их до момента возврата, поэтому заемщик выплачивает компенсацию за упущенную возможность альтернативного вложения денежных средств, которая обычно выражается в форме процента.

Существует два способа начисления процентных выплат: начисление по схеме простого процента и начисление по схеме сложного процента.

Рассмотрим вложение 1 000 рублей на банковский вклад сроком на 3 года при ставке 10 % годовых.

По прошествии каждого года вкладчик получает процентный доход по вкладу в размере 10 % от суммы вклада. Результаты вложения приведены в таблице 12.1.

Таблица 12.1

Начисление простых процентов

За 3 года инвестор получил 100 рублей по окончании первого года, 100 рублей по окончании второго года и 100 рублей по окончании третьего года. В результате в течение всего срока вклада получено 300 рублей процентных платежей.

Таким образом простой процент начисляется на одну и ту же первоначальную сумму вклада, т. е. процентные платежи, периодически начисляемые заемщиком, тут же изымаются кредитором, т. е. не реинвестируются

Рассмотрим вложение 1000 рублей на банковский депозит сроком на 3 года при ставке 10 % годовых при условии, что владелец НЕ снимает в конце каждого года полученные в качестве процентного дохода 100 руб., а оставляет их на счете.

Таблица 12.2

Начисление сложных процентов

Сумма процентных платежей составит в данном случае 331 рубль. По окончании трех лет сумма вклада с учетом процентных платежей составит 1 331 рубль.

Таким образом, результаты инвестирования по схеме сложного процента превосходят результаты инвестирования по схеме простого процента на 31 рубль.

Сложный процент начисляется исходя из ставки процента и суммы на счете на начало очередного периода, включающей накопленный доход. Поскольку доход от вклада, периодически начисляемый заемщиком, не изымается кредитором, а остается у заемщика, увеличивая сумму займа, естественно, эта схема подвергает кредитора большему риску, поэтому кредитор получает большее вознаграждение.

При инвестировании свободных средств в различные ценные бумаги инвестор стремится получить максимальную выгоду от своих вложений.

Естественным способом сравнивать денежные поступления в разные сроки является приведение их к одному и тому же моменту времени. Как правило, в качестве такого момента выбирают или момент начала инвестиций, или некоторый фиксированный момент в будущем. Приведение денежных потоков к начальному моменту называется дисконтированием или вычислением настоящей (present value) стоимости (текущей, современной стоимости). Вычисление будущей стоимости (future value), т. е. стоимости к фиксированному моменту в будущем называется наращением.

Расчет настоящей, будущей стоимости и ставки процента при начислении процентных платежей по схеме простого процента

При начислении простого процента мы находим будущую стоимость следующим образом:

  , где                                 (12.1)

FV — будущая стоимость,

PV — текущая стоимость (первоначальная сумма вклада, вложения),

г — ставка процента в периоде начисления в долях единицы,

n— число периодов начисления.

Выражение (1 + rn) носит название коэффициента наращения.

Формула (12.1) используется в том случае, если процентные ставки в течении n лет остаются неизменными. Если ставки меняются, то используется следующая формула:

.                       (12.2)

Вычисление настоящей стоимости или дисконтирование осуществляется по следующей формуле:

, где                                                (12.3)

FV — будущая стоимость,

PV — текущая стоимость (первоначальная сумма вклада, вложения),

г — ставка процента в периоде начисления в долях единицы,

n — число периодов начисления.

Выражение носит название коэффициента дисконтирования.

Зная настоящую и будущую стоимость, нетрудно вычислить процентную ставку в периоде начисления.

                                                                                 (12.4)

Расчет настоящей, будущей стоимости и ставки процентапри начислении процентных платежей по схеме сложного процента

Вернемся к начислению сложного процента, в большей степени присущего природе банковских операций по начислению процентов по депозитным вкладам.

При начислении сложного процента мы находим будущую стоимость по следующей формуле:

, где                                                  (12.5)

FV — будущая стоимость,

PV — текущая стоимость,

г —. ставка процента в периоде начисления в долях единицы,

n — число периодов начисления.

Выражение (1 + г)" называется коэффициентом наращения.

В случае одного периода (n = 1) формулы расчета будущей стоимости по схеме простого и сложного процента совпадают, т. к. в случае одного временного интервала реинвестирования не происходит и условия заимствования фактически совпадают.

Формула (12.5) используется в том случае, если процентные ставки в течении n лет остаются неизменными. Если ставки меняются, то используется следующая формула:

    (12.6)

Если начисления процентов осуществляются m раз в году, то формула (12.5) преобразуется следующим образом:

.                                                                   (12.7)

Дисконтирование — это расчет, обратный наращению. При дисконтировании мы узнаем, какую величину составляет в момент расчета известная в будущем стоимость денег. Мы находим текущую стоимость по следующим формулам:

,                                                                              (12.8)

,                                                                        (12.9)

.      (12.10)

FV — будущая стоимость,

PV — текущая стоимость,

г — ставка процента в периоде начисления в долях единицы,

n — число периодов начисления.

Выражение называется коэффициентом дисконтирования. Очевидно, он равен величине, обратной величине коэффициента наращения. Рассмотрим конкретные примеры вычислений.

Зная настоящую и будущую стоимость можно найти процентную ставку, используя следующую формулу:

.                                                                    (12.11)

Эффективная годовая процентная ставка

Многообразие форм кредитования и инвестирования обуславливает необходимость нахождения критерия наиболее выгодного помещения капитала. Предположим, банк А предлагает 15,5 % ежеквартально, а банк Б 15,2 % ежемесячно. Что выгоднее? Для того чтобы ответить на этот и подобные вопросы, вводится вспомогательное понятие – эффективная процентная ставка.

Эффективная годовая процентная ставка – это процент, начисляемый за год лишь один раз и дающий тот же результат, что и сложные проценты с начислением m раз в году.

.                                                           (12.12)

А = 16,4244 %,

Б = 16,3049 %.

Таким образом, 15,5 % ежеквартально дает больший годовой доход, чем 15,2 % ежемесячно.