Экономия на риске путем диверсификации портфеля

Анализ здесь базируется на утверждении, что, при определенных условиях, оптимальное сочетание денег и облигаций в портфеле может быть найдено путем двух- стадийного процесса. Первая стадия связана с выявлением среди большого числа различных рискованных активов (облигаций) и разных комбинаций рискованных активов (набора возможностей) такой группы облигаций и их комбинаций, которая превосходит все другие, в том смысле, что по сравнению с любой комбинацией, не входящей в данную подгруппу, внутри самой этой подгруппы существует по меньшей мере одна комбинация, коюрая обещает большую (или равновеликую) величину ц и такую же малую (или еще меньшую) величину ст. Такая подгруппа набора возможностей называется эффективным набором (и может быть изображена с помощью траектории эффективности). Первая стадия за-вершается нахождением внутри эффективного набора единственной оптимальной облигации или комбинации облигаций. Следующая, вторая стадия уже сравнительно проста и заключается в выборе оптимального распределения богатства между деньгами (не связанный с риском актив) и этой оптимальной комбинацией облигаций.

Первую стадию можно анализировать следующим образом. На рис. 11.10 точки А, В, С и т.д. представляют (аист, получаемые в результате хранения отдельных облигаций А, В, С и т.д. Например, облигация С имеет вероятное іное распределение доходов с большей средней и большим риском, чем облигация В. Если мы будем рассмаїривать комбинацию В и С (и назовем эют порі- фель композитным активом), средняя и риск этою ком-

позитиого актива могут быть представлены точкой Xt. Иначе говоря, средняя величина дохода от композитного актива-это просто средняя от средних величин доходов от отдельных активов; однако риск композитного актива меньше, чем средняя рисков двух активов. Это снижение риска путем комбинирования активов (диверсификации портфеля) является обычным эффектом при хранении портфеля и выражает принцип, аналогичный поговорке: «Не клади все яйца в одну корзину!» Такой эффект

о

о

возникает по той причине, что, поскольку доходы от двух видов активов не могут быть точно скоррелирова- ны, имеется меньшая вероятность того, что большое отклонение от средней дохода от одного вида активов одновременно совпадет со столь же большим отклонением дохода от другого вида активов (т.е. совокупная вероятность больших отклонений в одном и том же направлении), чем вероятность большого отклонения дохода только от одного вида активов. Аналогичным образом разделение яиц двумя корзинами сокращает вероятность того, что они разобьются, поскольку вероятность уронить обе корзины меньше, чем вероятность уронить лишь одну.

Этот принцип экономии на риске посредством диверсификации портфеля можно продемонстрировать более формализованно. Во-первых, легко доказать, что средняя (ожидаемая) дохода от составного актива Хх - это просто средняя величина ожидаемых доходов от составляющих портфель активов А и В.

ниєм Rx = aRA + bRB, где Rx, RA и RB представляют доходы от соответствующих активов, тогда как а и b представляют доли А и В в составном активе. Мы имеем распределение верояїностей для Rx, RA и RB и, учитывая ожидаемые величины, получаем:

= aElRA~] + bElRB~] или = сціл + 6рв.

(11.10)

Во-вторых, можно показать, что обычно риск состав-ного актива может быть уменьшен по сравнению с риском его компонентов. Дисперсия (стандартное отклонение, возведенное в квадрат) но активу А составляет:

(11.11)

= E(Ra - pj2

Теперь рассмотрим составной актив X, который образован из активов А и В в пропорциях а и Ь. Его дисперсия выражается следующим уравнением:

ст| = E[_a(RA - pj + b(RB - рв)]2 (11.12) Это уравнение можно развернуть:

ст| = a2E(RA - рд)2 + b2E(RB - рв)2 +

+ 2abE[_(RA-liA)(RB-liBK (П. 13)

Первые две ожидаемые величины представляют собой дисперсии активов А и В соответственно, а поэтому мы можем вывести следующее уравнение:

ст2 = я2ст2 + Ь2а2в + 2abE[_(RA - цл) (RB - рв)](11.14)

Еще более важно, что последний член уравнения может быть выражен в виде стандартных отклонений активов А и В, аА и ств и коэффициента корреляции между доходами от двух акіивов РАВ . Таким образом, это уравнение можно представить и так:

о2х = а2а2л + b2a2B + 2abpAB<3AoB (11.15)

Из уравнения 11.15 можно видеть, что при данных долях а и b активов А и В в составном активе и при данных дисперсиях А и В (ст^, сгв) дисперсия составного актива ст? представляет собой прямую функцию корреляции доходов от двух активов. Поскольку стандартное отклонение-наш измеритель риска-это просто квадратный корень дисперсии, то чем ниже коэффициент корреляции доходов двух акіивов, гем меньше риск от композитною акіива.

Более того, при данном коэффициенте корреляции индивид в состоянии установить такое соотношение долей А и В в сост авном активе, чтобы минимизировать его риск. Для иллюстрации возьмем крайний пример и предположим, что рАв = — 1.

а\\ = а2<з2л + b2a2B - 2abaAaB (11.16)

а эю, в свою очередь, можно разложить на

а2х = (ааА-Ьав)2 (11.17)

Теперь, если композитный актив образует А и В в следующих пропорциях:

оВ о А

а = Ь =

<3л + ав <*Л +

то, подставляя эти члены в уравнение 11.17, мы находим, что <з\\ можно свести к нулю. В не столь крайних случаях, когда доходы от А и В не скоррелированы чисто положительно, т. е. когда мы не имеем рАВ = 1, тогда сг| (и ах) можно всегда сократить до величины меньше как аА так и ав путем соответствующего подбора значений а и Ь.

Установив, что можно владеть составными активами с меньшим риском и при таком же среднем доходе, какой приносят отдельные активы, мы уже в состоянии перейти к рассмотрению первой ступени процесса принятия решений. Индивиду теперь надлежит выбрать оптимальный актив из набора (А, В, С N, Xit Х2, Хг, ...Хп)

отдельных и составных акіивов. Этот набор изображен заштрихованным участком на рис. 11.10. Из диаграммы очевидно, что оптимальной точкой должна быть точка на траектории эффекжвности ЕЕ, так как каждой точке, лежащей не на ЕЕ (т. е. слева от ЕЕ), противостоит точка на ЕЕ, которой соо і ветс гвует по крайней мере такая же величина (і и меньшая величина о. (Вообще, т очки на ЕЕ представляют составные активы, поскольку в результате диверсификации портфеля комбинации активов, в отличие 01 отдельных активов, обладают меньшей ст при данной р) Из-за превосходства (или «доминирования») точек на траектории эффективности над другими точками в группе возможностей выбор оптимальных комбинаций рискованных активов следует делать из тех комбинаций, какие представлены точками на траектории эффективности: Оптимальной комбинацией активов оказывается іакая, которая позволяет инвестору достигнуть наивысшего уровня полезности.

Чтобы наши оптимальный составной актив (комбинацию рискованных активов), мы предполагаем, что любую комбинацию активов (составной ак гив из группы от А", до Хп) можно рассматривать как единый актив, так как мы допускаем, что, как бы ни была велика величина средств, вложенных, скажем, в Х3, доли отдельных активов в составе Х3 неизменны [а отсюда положение Хъ на плоскости (ц, ст) также неизменно].

Таким образом, первая стадия завершена. Мы нашли оптимальное сочетание рискованных активов (составной актив Хп), и нам теперь остается лишь решить проблему (вторая стадия), которая заключается в том, чтобы определить оптимальное соотношение долей составного рискованного актива Х„ и не связанного с риском актива-денег. Поскольку на линии 0ХП осуществима любая комбинация, ее оптимальное выражение обозначается величинами (д., 0, получаемыми в точке, где 0ХП со-прикасается с кривой безразличия (а на рис. 11.10).