§ 2С. МОДЕЛЬ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ (САРМ- CAPITAL ASSET PRICING MODEL)

Теория САРМ, опираясь на заложенные в ней концепции равновесного рынка, устанавливает (см., например, [268], [433]), что для каждого актива А существует величина (3(A), называемая бетой этого актива } такая, что

Е\\р(А)-г]=Р(А)Е\\р-г]. (1)

При этом

ДА)=С°УР). (2)

Иначе говоря, среднее значение "премии" р(А) — г (при использовании рискового актива А относительно безрискового актива) пропорционально среднему значению премии р — г (при вложении средств в глобальную характеристику рынка, скажем, в Индекс S&P500).

Формула (2) устанавливает, что значение "беты" т.е. 13(A), определяется корреляционными свойствами процентных ставок р и р(А), или, равносильно, ковариационными свойствами соответствующих пен Si и Si (А).

Перепишем соотношение (1) в виде

Ер(А)=г+Р(А)Е(р-г), (3)

и пусть для актива А с бетой /3(А) = /3 соответствующее значение процентной ставки р(А) обозначено pp.

Тогда в случае /3 = 0

Ро=г,

а в случае /3=1

Р\\ = Р-

С учетом этого видим, что (3) есть уравнение прямой САРМ:

Е р0 = г + Щр-г), (4)

изображенной на рис.

Величина /3 = /3(Л) играет важную роль при составлении портфеля ценных бумаг, являясь "мерой чувствительности" "мерой реакции" актива на изменения на рынке. Для определенности будем считать, что показатель рынка измеряется по индексу S&P500 и что компания А, чью акцию мы сей-час рассматриваем, входит в число пятисот компаний этого индекса. Тогда, если изменение индекса произошло на 1%, а бета акции А равна 1.5, то изменение цены акции А происходит на 1.5% (в среднем).

На практике определение беты активов осуществляется по статистическим данным обычными линейными регрессионными методами, вытекающими из линейности соотношения (3).

3. Образуем для актива А величину

,(А) = (р(А)-Ер(А))-^М(р-Ер).

Ясно, что Ет)(А) = 0 и

Е(П(А)(р-Ер)) =0,

т. е. величины т](А) и р — Ер, имеющие нулевые средние, являются некоррелированными. Следовательно,

р(А) - Ер(А) = (3(А)(р - Ер) + т,(А), (5)

что вместе с (3) приводит к следующему соотношению между премиями р(А) — г и р — г:

p(A)-r=(3(A)(p-r)+r,(A), (6)

показывающему, что премия (р(А) — г) актива А слагается из премии рынка (р — г), умноженной на бету (3(A), и величины ту (Л), некоррелированной с р - Ер.

Из (5) мы получаем формулу

Dp(A) = p2(A)Dp + Dr)(A), (7)

говорящую о том, что риск (Dp(A)) инвестирования в актив А складывается из двух рисков -

систематического риска (j32(A)Dp),

присущего рынку, и

несистематического риска (DT?(A)) ,

присущего непосредственно активу А.

Как и в предыдущем параграфе, можно показать, что здесь, в рамках САРМ, несистематический риск также редуцируется диверсификацией.

С этой целью предположим, что на "большом" рынке имеется N активов А\\,..., A JV, длякоторых соответствующие величины 7]( А\\),... ,T](AN) некоррелированны: СоV(R)(AI),T)(AJ)) = 0, і Ф j.

n

Пусть d = (d\\,..., djv) ~ портфель ценных бумаг с di > 0, di = 1, и

i=l

p(d) = di ¦ р(Ах) + • ¦ • + dN ¦ p(AN).

В силу того, что

р(А€)-г = р(А>)[р-г] +г,Ш,

имеем

n n

p(d) -r = J2 di(3(Ai) [p~r}+J2 diV(Ai).

Поэтому, полагая

n n

/3(d) = Y,di/3(Ai) и T)(d) = J2di*l(Ai),

i=l i=l

находим (ср. с (6)), что

p(d)-r = /3(d)(p-r)+v(d). Значит, как и в предыдущем параграфе

Dp(d)=p2(d)Dp+DV(d),

N С 1

где Drt{d) = J2 d^Drt(Ai) ^ — О, N оо, если Dт/(Л) < Cadi = —.