§2d. Арбитражная теория расчетов (APT- Arbitrage Pricing Theory)
p(A) = r + P(A)(p-r)+r,(A). (1)
Более современная теория "риска и возврата" - Теория APT (Arbitrage Pricing Theory; С. Росс (S. A. Ross, [412]), Р. Ролл и С. Росс (R. Roll and S. A. Ross, [410])) исходит из многофакторной модели, считая, что величина р(А) актива А зависит от некоторого количества случайных факторов fi,...,fq (их значения могут быть самыми разными - цена на нефть, процентная ставка,...) и "шумового" члена
р(А) = а0(А) + ax{A)h + ¦ ¦ • + aq(A)fq + СИ). (2)
При этом Е/І = 0, D/І = 1, Соv(/i,/j) = 0, г ф j\\ "шумовой" член ?(А) имеет Е?(А) = 0 и некоррелирован с факторами Д,..., fq и с "шумовыми" членами других активов.
Из сопоставления (1) и (2) видим, что (1) является частным случаем одвофакторной модели с фактором Д = р. В этом смысле APT является обобщением САРМ, хотя с точки зрения практических расчетов методология САРМ продолжает оставаться одним из излюбленных приемов при расчетах ценных бумаг, что объясняется ее наглядностью, простотой и традицией оперирования с бетой - мерой чувствительности активов к изменениям на рынке.
Один из центральных результатов теории САРМ, опирающейся на концепцию равновесного рынка, - это формула (1) из предыдущего параграфа для среднего значения "премии" Е(р(А)— г), выражаемого через среднее значение премии Е(р — г).
Аналогичным образом, центральный результат теории APT, опирающейся на концепцию отсутствия на рынке асимптотического арбитража, - это приводимая далее (асимптотическая) формула для среднего значения Ер(А) в предположении, что поведение р(А) актива А описывается многофакторной моделью (2).
Напомним, что р(А) - это (случайная) процентная ставка актива А в (рассмотренной выше) одношаговой модели Si (А) = ?о(Л)(1 + р(А)) .
2.
Будем предполагать, что имеется "ЛГ-рынок" состоящий из N активов А\\,..., AN И q факторов, причемp(Ai) = oo(Ai) + ai(Ai)fi + ¦ • • + aq(Ai)fq + С(^),
где E/jfc = О, ЕС(Л,) = 0, ковариадия Ол/(Д, Д) = 0 при к ф I, D Д = 1, Cov (Д, С (Л»)) = 0, Cov(C(Ai),C(Aj)) = к,1 = 1,...,ди i,j = 1,...,N.
Рассмотрим некоторый портфель d = (di, dN). Тогда отвечающий ему "доход"
p(d) = dip(Ai) + ¦ • • + dNp(AN)
гдeaik = ak(At).
Ниже будет показано, что при некоторых предположениях на коэффициенты многофакторной модели (2) можно найти такой нетривиальный портфель d = ( n di n n ?><Ч o = J2di- (6) 1—1 i=1 Тогда для портфеля Od = ..., ddpf), где 0 - константа, p(9d) = 9p(d) и, в силу (2)~(6), n n p(ed) = eYid2i+0^2diC(Ai). (7) г=і t=i Поэтому n n{9d) = EP(9d) = 0Y,<%, i=1 N Положим / N \\ —2/3 / / W \\ l/2\\ (8) Тогда , N v 1/3 /i(0d)=(?d?J , (9) (EiLi^f) Если предположить (для простоты анализа; по поводу общего случал см., например, [240], [268]), что a2(0d)=(?d2 (И) Формулы (9) и (11) являются ключевыми для последующего асимптоти- n ческого анализа. Из них видно, что если d2 оо при N оо, то i=l /І(9d) —» oowa2(9d) —>¦ 0. Если к тому же положить 5о(Лі) = ••• = SO{AN) = 1, то из условия d\\ -\\ Ь djv — 0 найдем, что начальный капитал портфеля 6d Xo(9d) = e{di + --- + dN)=0, а капитал в момент времени п = 1 X1(ed) = d1S1(A1) + --- + dNS1(AN) = ep(d)=p(9d). Далее, если EXi (0d) = n(0d) оо, a DXi (Qd) -»• 0, N -»• оо, то для достаточно большого N с большой вероятностью Xi (9d) ^ 0, причем с положительной вероятностью Х\\ (9d)>0. Иначе говоря, имея нулевой начальный капитал и оперируя на "TV-рынках" с активами А±,..., AN, N ^ 1, путем составления соответствующего портфеля можно ("асимптотически") извлечь положительную прибыль, что в теории APT, [412], и интерпретируется как наличие асимптотического арбитража (ср. Таким образом, считая, что "TV-рынки" асимптотически (приЛГ —> оо) являются безарбитражными, приходим к заключению, что возможность N dj —> оо, приводящая к арбитражу, должна быть исключена. Это, «=і естественно, накладывает определенные ограничения на коэффициенты многофакторной модели (2), поскольку описываемое далее конструиро-вание портфеля d = (di,..., djv) со свойствами (4)-(6) производится по коэффициентам этой модели. Образуем матрицу (І ап аі2 ... aiq \\ (12) si = 1 0,21 «2 2 ¦ ¦ • 0,2q \\1 ajvi ajv2 ¦¦• ajVq/ и по ней построим матрицу т = of)~x at*, (із) считая, что она определена ("*" означает транспонирование). Пусть d=(I-®)a0, е = 38ао, где I - единичная матрица, ао - вектор-столбец, состоящий из вю, • • •, A*NO • Тогда для ао имеет место ортогональное разложение а0 = d+ е (15) и d* 1=0, d*afe = 0, (16) гдеа* - вектор-столбец из aifc,..., ajvt и 1 -вектор-столбец, составленный из единиц. Формулы (16) - это и есть в точности формулы (4) и (5), о которых шла речь выше. Из (14) и (15) имеем также d*a0 = d*d + d*e = d*d - требуемая формула (6). Заметим теперь, что, согласно (14), вектор-столбец е может быть представлен в виде е = Aol + Aiai + • • • + Л qaq, где числа Ло, ¦ ¦ ¦, А9 таковы, что (Ао = г*)~1 гГао. Следовательно, вектор-столбец q d = a0 - А01 - Afeafe к= і и N N , q ч 2 і=І І=І ^ k=і \' Для "JV-рынка" все входящие в правую часть этой формулы коэффициенты a.iо,..., Ао, • ¦ ¦, Afe, разумеется, зависят от N. Предположение отсутствия асимптотического арбитража исключает возможность (di = di(N)) n ]іт^2ЛЮ = оо, :=1 и, значит, в силу (17), коэффициенты "ЛГ-рынков" должны быть такими, чтобы 2 n < оо. (18) ]imJ2 ai0(N) - Ао(ЛГ) - ? \\k(N)aik(N) »=1 L fc=i Это соотношение (как следствие предположения отсутствия асимптотического арбитража) в теории ЛРТинтерпретируют следующим образом: при достаточно большом числе N активов, привлекаемых к созданию пор-тфеля ценных бумаг, "большинство" их должно быть таково, чтобы между коэффициентами ао(Лі),аі(Лі),..., было выполнено "почти линейное" соотношение я а0(Аі) и А0 + Y, \\как(Аі), (19) fe=i где все рассматриваемые величины зависят от N и а0(Л) - Еp(Ai). При этом существует портфель d = (d±,..., djv), для которого дисперсия дохода p(d) является (в силу (11)) достаточно малой, что говорит о том, что в рассматриваемой многофакторной модели влияние "шумовых" членов С{Аг) и отдельных факторов может быть (в предположении от-сутствия асимптотического арбитража) редуцировано диверсификацией.