§ 2е. Анализ, интерпретацияи пересмотр классической концепции эффективно функционирующего рынка.
Как мы видели выше, эта концепция рационально устроенного, честно функционирующего рынка была воплощена в то, что (нормированные) пены на таком рынке описываются мартингалами (относительно некоторой меры, эквивалентной исходной вероятностной мере).
Напомним, что если X = (Хп)п^о ~ мартингал относительно фильтрации (^п)п^О) то E(Xn-|-m | = Хп. Поэтому оптимальная в средне- квадратическом смысле оценка Хп_|_т;Г1 величины Хп+т, основанная на "информации" З\'п, есть просто значение Хп, поскольку X„_j_m;n совпадает с E(Xn+m I
Можно тем самым сказать, что предположение мартингальности цен (Хп) соответствует тему экономически понятному допущению, что на "хорошо организованном" рынке наилучший (по крайней мере в среднеквад- ратическом смысле) прогноз значения цены на "завтра" "послезавтра" ... по данным на "сегодняшний" день есть значение цены "сегодня"
Иначе говоря, прогноз носит тривиальный характер, вроде бы исключая возможность какого-либо предсказания "будущего движения наблюдаемых цен" (Л. Башелье, в сущности, при своей конструкции броуновского движения как модели эволюции цен, отправлялся именно от этой идеи невозможности более хорошего прогноза цен на "завтра" нежели как значение цены "сегодня")
В то же самое время общеизвестно, что участники рынка (включая и та-ких экспертов, как "фундаменталисты" "техники" "количественные аналитики" - "fundamentalists" "technicians" "quants") не оставляют попыток предсказания "будущего движения цен" не оставляют попыток "догадки" относительно направления движения и величин будущих значений пен, относительно того, акции каких компаний и когда покупать или продавать, ...).
Замечание.
"Фундаменталисты" исходят в своих решениях из "гло-бального" состояния экономики в целом, состояния тех или иных ее секторов; для них особенно важна информация относительно перспектив развития; они исходят из рациональности действия участников рынка. Представители же "технического" анализа руководствуются в своих решениях "локальным" поведением рынка; для них особенно важно "поведение тол-пы" как фактора, существенно влияющего на их решения.Как отмечается в [385; с. 15-16], в 20-40 годах "фундаменталисты" и "техники" образовывали две основные группы "аналитиков" финансового рынка. В 50-х годах к ним добавилась третья группа "quants" - группа "количественных аналитиков" являющихся последователями Л. Башелье. Эта группа более тяготеет к "фундаменталистам", нежели к представителям "технического" подхода, для которых, как сказано, более важно эмоциональное состояние рынка, ане рациональные причины, определяющие поведение инвесторов на рынке.
2. Вернемся к вопросу о том, как объяснить, на чем же, собственно говоря, могут быть основаны надежды и попытки предсказания "будущего движения цен" Начинать, конечно, нужно с анализа эмпирических данных, с объяснения ряда нетривиальных феноменов (типа кластерности, например) относительно характера движения цен, с выяснения вероятностно-статистической структуры цен как случайных процессов. g
Пусть Нп -- In —— логарифмы (нормированных) цен. Представим Нп
So
в виде Нп = hi Ч + h„.
Если последовательность (Нп) является мартингалом относительно фильтрации (&„), то величины (h„) образуют мартингал-разность (E(fe„ = 0), и, как следствие этого, величины (hn) оказываются
(в предположении интегрируемости их квадратов) некоррелированными: E/in+m^n = 0, т > 1, п > 1.
Однако некоррелированность, как известно, еще не означает независимости, и совершенно не исключено, что, скажем, /i2+m и Л2 или |/ln+m| и |/in| окажутся положительно коррелированными. Экспериментальный анализ многих финансовых данных показывает (не противореча гипотезе мартингальности цен на эффективном рынке!), что так оно и есть на самом деле.
И весьма замечательно также то, что этот феномен положительной коррелированности, приводящий к эффекту кластерности (скученности) величин (Лп)п>1 по группам с большими или малыми их значениями, "ухватывается", объясняется рядом довольно-таки простых моделей (та- ких, как, например, ARCH, GARCH, моделями стохастической волатиль- ности,...), о которых речь будет идти ниже в гл. II. Появляется некоторая возможность (или, по крайней мере, надежда) уже более нетривиального (и, вообще говоря, нелинейного) прогноза, скажем, абсолютных значений |/in_|_m|. Появляется также возможность получения более детальной информации о совместных распределениях последовательности (/in)n^i-Простейшее предположение о вероятностном характере величин (hn) состоит в том, что
hn - <7пЄпі
где (?п) — независимые стандартные нормально распределенные величины, еп ~ Jf(0,1), и ап - некоторые константы, являющиеся стандартными отклонениями величин hn, т.е. <7n = +\\/Dhn .
Однако эта классическая модель гауссовсхого случайного блуждания давно признана неадекватно отражающей реальные данные, статистический анализ которых "на нормальность" показывает, прежде всего, что эмпирические плотности распределений величин hn более вытянуты, бо-лее пикообразны в окрестности среднего значения, нежели в нормальном случае. Этот анализ показывает также, что хвосты распределений величин hn более тяжелые, чем для нормального распределения. (Подробнее см. гл. IV.)
В финансовой литературе величины <7„, входящие в представление hn = , принято называть волатильностью (изменчивостью), и прин-ципиально важным является тот факт, что волатильность сама по себе является волатильной. Иначе говоря, а — (<гп) является не только функцией от времени (в простейшем случае константой), но и случайна. (Подробнее о волатильности см. далее § За в гл. IV.)
С математической точки зрения подобное предположение весьма привлекательно, поскольку существенно расширяет традиционный класс (линейных) гауссовских моделей, включая в рассмотрение (нелинейные) условно-гауссовские модели с
hn = (Тпєп,
где, по-прежнему, (є„) - независимые стандартные нормально распределенные величины, е„ ~ JV(0, 1), но зато ап = <тп(иі) являются ^„^-измеримыми неотрицательными случайными величинами.
По-другому это можно выразить так: условное распределение hn относительно S\'n-i откуда следует, что Law(hn)-распределение hn есть взвесь (смесь) нормальных распределений с усреднением по распределению волатильности ("случайной дисперсии") <7^.Полезно отметить, что в математической статистике хорошо известно, что смеси распределений с быстро убывающими хвостами могут приводить к распределениям с тяжелыми хвостами. Так что, если экспериментально это наблюдается (а это и действительно так для многих финансовых показателей), то условно-гауссовские схемы могут рассматриваться как подходящие вероятностные модели.
Естественно, что при обращении к моделям со стохастической волатиль- ностью, именно, к моделям типа "h„ = а „є „\