§ 2Ь. ПОРТФЕЛЬ ДЕННЫХ БУМАГ.ДИВЕРСИФИКАЦИЯ МАРКОВИТЦА

1. КАК УЖЕ БЫЛО ОТМЕЧЕНО В § 2А, РАБОТА Г. МАРКОВИТЦА [332] 1952 ГОДА СЫГРАЛА ОПРЕДЕЛЯЮЩУЮ РОЛЬ В СТАНОВЛЕНИИ СОВРЕМЕННОЙ ТЕОРИИ И ПРАХ- ТИКИ ФИНАНСОВОГО МЕНЕДЖМЕНТА, ФИНАНСОВОЙ ИНЖЕНЕРИИ.

В ТЕОРИИ МАРКОВИТЦА ДЛЯ ИНВЕСТОРОВ ОСОБЕННО ПРИВЛЕКАТЕЛЬНОЙ ОКАЗАЛАСЬ ИДЕЯ ДИВЕРСИФИКАЦИИ (DIVERSIFICATION) В СОСТАВЛЕНИИ ПОРТФЕЛЯ (PORTFOLIO) ЦЕННЫХ БУ-МАГ, ПОСКОЛЬКУ ОНА НЕ ТОЛЬКО ОБЪЯСНЯЛА ПРИНЦИПИАЛЬНУЮ ВОЗМОЖНОСТЬ РЕДУЦИРОВАНИЯ (НЕСИСТЕМАТИЧЕСКОГО, СМ. С. 44) РИСКА ИНВЕСТИРОВАНИЯ, НО И ДАВАЛА ПРАКТИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ТОГО, КАК ЭТО ДЕЛАТЬ.6^
ДЛЯ ПОЯСНЕНИЯ ОСНОВНЫХ ПОЛОЖЕНИЙ И ИДЕЙ ЭТОЙ ТЕОРИИ РАССМОТРИМ СЛЕ-ДУЮЩУЮ ОДНОШАГОВУЮ ЗАДАЧУ ИНВЕСТИРОВАНИЯ.
ПУСТЬ ИНВЕСТОР ИМЕЕТ ВОЗМОЖНОСТЬ СВОЙ НАЧАЛЬНЫЙ КАПИТАЛ Х РАЗМЕСТИТЬ ПО АКЦИЯМ AI,..., An , СТОИМОСТЬ КОТОРЫХ В МОМЕНТ П = О РАВНА СООТВЕТСТВЕННО ^(AI),..., So(An).
ПУСТЬ ХО(Ь) = BISO(AI) + • • • + BNS0{AN), ГДЕ ^ 0, І = 1,...,N. ИНАЧЕ ГОВОРЯ, ПУСТЬ
B = (H,... ,6ЛГ)
ЕСТЬ ПОРТФЕЛЬ ЦЕННЫХ БУМАГ,тдєЬі- "ЧИСЛО" АКЦИЙ Лі СТОИМОСТЬЮ 5"о(Аі).
БУДЕМ ПРЕДПОЛАГАТЬ, ЧТО ЭВОЛЮЦИЯ КАЖДОЙ АКЦИИ AJ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ТЕМ, ЧТО ЕЕ ЦЕНА SI (Аі) В МОМЕНТ П = 1 ПОДЧИНЯЕТСЯ РАЗНОСТНОМУ УРАВНЕНИЮ
ASIIAI) = PIAJSOIAI),
ИЛИ, РАВНОСИЛЬНО,
S!(AI) = (1 + Р(А^)ЗО(А{),
ГДЕ P(AI) - СЛУЧАЙНАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА АКЦИИ АІ, Р(АІ) > —1.
ЕСЛИ ИНВЕСТОР ВЫБРАЛ ПОРТФЕЛЬ B — (B\\,..., 6jv ), ТО ЕГО НАЧАЛЬНЫЙ КАПИТАЛ ХО(Ь) = Х ПРЕВРАТИТСЯ В
XX{B) = BMAT) + ¦ ¦ • + BJYSIMJV),
КОТОРЫЙ ЖЕЛАТЕЛЬНО СДЕЛАТЬ "ПОБОЛЬШЕ" ЭТО ЖЕЛАНИЕ, ОДНАКО, ДОЛЖНО РАССМАТРИВАТЬСЯ С УЧЕТОМ "РИСКА" СВЯЗАННОГО С ПОЛУЧЕНИЕМ "БОЛЬШОГО" ДОХОДА.
С ЭТОЙ ПЕЛЬЮ Г. МАРКОВИТЦ РАССМАТРИВАЕТ ДВЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КАПИТАЛА XI(B):
EXI(B) - МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
И
DXI(6) - ДИСПЕРСИЮ.
ИМЕЯ ЭТИ ДВЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ, МОЖНО ПО-РАЗНОМУ ФОРМУЛИРОВАТЬ ОПТИМИЗАЦИОННУЮ ЗАДАЧУ ВЫБОРА НАИЛУЧШЕГО ПОРТФЕЛЯ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ КРИТЕРИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ.
МОЖНО, НАПРИМЕР, ЗАДАТЬСЯ ВОПРОСОМ О ТОМ, НА КАКОМ ПОРТФЕЛЕ Ь* ДОСТИГАЕТСЯ МАКСИМУМ НЕКОТОРОЙ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ / = /(EXI(FT), DXI(6)) ПРИ "БЮДЖЕТНОМ ОГРАНИЧЕНИИ" НА КЛАСС ДОПУСТИМЫХ ПОРТФЕЛЕЙ:
В(Х) = {B = FA,..., BN): BI > 0, X0(B) = Х}, Х > 0.
ЕСТЕСТВЕННА И СЛЕДУЮЩАЯ ВАРИАЦИОННАЯ ПОСТАНОВКА: НАЙТИ
INFD ХФ)
В ПРЕДПОЛОЖЕНИИ, ЧТО INF БЕРЕТСЯ ПО ТЕМ ПОРТФЕЛЯМ FT, ДЛЯ КОТОРЫХ ВЫПОЛНЕНЫ ОГРАНИЧЕНИЯ
ЬЕВ(Х), EXI(FT) = M,
ГДЕ M - НЕКОТОРАЯ КОНСТАНТА.
НИЖЕСЛЕДУЮЩИЙ РИСУНОК ИЛЛЮСТРИРУЕТ ТИПИЧНУЮ КАРТИНУ МНОЖЕСТВА ТОЧЕК (ЕХ[ (6), ^/D-XI(FT) ), КОГДА FT Є В(Х) И, ВОЗМОЖНО, ИМЕЮТСЯ ЕЩЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ НА FT.
ЕХІ(Ь) Ж

О
Х/ОХФ)
РИС.

8. ИЛЛЮСТРАЦИЯ К СРЕДНЕ-ДИСПЕРСИОННОМУ АНАЛИЗУ (MEAN-VARIANCE ANALYSIS) МАРКОВИТЦА
ИЗ ЭТОГО РИСУНКА СТАНОВИТСЯ ПОНЯТНЫМ, ЧТО ЕСЛИ ВЫ ИНТЕРЕСУЕТЕСЬ МАКСИМАЛЬНИМ СРЕДНИМ ЗНАЧЕНИЕМ КАПИТАЛА ПРИ МИНИМУМЕ ДИСПЕРСИИ, ТО СЛЕДУЕТ ВЫБИРАТЬ ТЕ ПОРТФЕЛИ, ДЛЯ КОТОРЫХ (ЕХІ (6), Т/DXJ (Ь)) РАСПОЛО-ЖЕНЫ НА ВЫДЕЛЕННОЙ КРИВОЙ С "НАЧАЛЬНОЙ" И "КОНПЕВОЙ" ТОЧКАМИ А И /3. (Г. МАРКОВИТЦ НАЗЫВАЕТ ЭТИ ПОРТФЕЛИ ЭФФЕКТИВНЫМИ, А ВЕСЬ ПРОВЕДЕННЫЙ АНАЛИЗ, ОПЕРИРУЮЩИЙ СО СРЕДНИМИ И ДИСПЕРСИЯМИ, - "MEAN-VARIANCE ANALYSIS")
2. ПОКАЖЕМ ТЕПЕРЬ, ЧТО В ОДНОШАГОВОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ МОЖНО ВМЕСТО ВЕЛИЧИН (SI(AI),..., SI(А^)) ОПЕРИРОВАТЬ НЕПОСРЕДСТВЕННО С ПРОЦЕНТНЫМИ СТАВКАМИ (P(AI), ¦¦ ¦ ,Р {А ДГ)), ПОДРАЗУМЕВАЯ ПОД ЭТИМ СЛЕДУЮЩЕЕ.
ПУСТЬ Ь Є В(Х), Т.Е. Х = BISO(AI) Н + Б^Б^АЛГ)- ВВЕДЕМ ВЕЛИЧИНЫ
D = (DI,..., DJY), ПОЛАГАЯ
BIS0{AI)
DI =
X
N
ПОСКОЛЬКУ B Є B(X), -RO DI > ОИ DI =1. ПРЕДСТАВИМ КАПИТАЛ XI(B) В
I=L
ВИДЕ
XI(B) = (L + R(B))X0{B),
И ПУСТЬ
P(D) = DIP{AI) Н 1- DNP(AN).
ЯСНО, ЧТО
ХГ(Ь) ХГІЬ) Е^І (Л,) R{B) = X^BJ-1 = — ~1 = Х 1
ИТАК,
= Y,DIP(AI) = P{D).
R(B) = P(D),
ОТКУДА СЛЕДУЕТ, ЧТО ЕСЛИ D = (DI,..., DJV) И B = (ЬІ,..., СВЯЗАНЫ СООТНОШЕНИЯМИ DI = ^ _ J #) ТО ДЛЯ Ь Є В(Х) Х
X1(B) = X{L + P(D)),
И, СЛЕДОВАТЕЛЬНО, С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ Х\\ (Ь) МОЖНО ОПЕРИРОВАТЬ С СООТВЕТСТВУЮЩИМИ ЗАДАЧАМИ ДЛЯ P(D).
3. ОБРАТИМСЯ ТЕПЕРЬ К ВОПРОСУ О ТОМ, КАК ДИВЕРСИФИКАЦИЕЙ МОЖНО ДО-БИВАТЬСЯ СКОЛЬ УГОДНО МАЛОГО (НЕСИСТЕМАТИЧЕСКОГО) РИСКА, ИЗМЕРЯЕМОГО ДИСПЕРСИЕЙ ИЛИ СТАНДАРТНЫМ ОТКЛОНЕНИЕМ ВЕЛИЧИН Х\\ (Ь).
С ЭТОЙ ЦЕЛЬЮ РАССМОТРИМ ДЛЯ НАЧАЛА ПАРУ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ?I И ?2 С КОНЕЧНЫМИ ВТОРЫМИ МОМЕНТАМИ. ТОГДА, ЕСЛИ С± И СГ - КОНСТАНТЫ, О» = \\/D?I, І = 1,2, ТО
D(CI?I + С262) = (СІСТІ - C2CT2)2 + 2CIC20I<72(1 + <^12), ГДЕ <7\\ <72
ЕСЛИ СІ (ті = с2&2 и сг12 = — 1, то D(CI?I + c262) = 0-
ТАКИМ ОБРАЗОМ, ЕСЛИ ВЕЛИЧИНЫ ?І И ?2 ОТРИЦАТЕЛЬНО КОРРЕЛИРОВАНЫ с КОЭФФИЦИЕНТОМ КОРРЕЛЯЦИИ (712 = — 1, ТО ПОДБОРОМ КОНСТАНТ СІ и С2 ТАК, ЧТОБЫ СІ «ТІ = С2СГ2, ПОЛУЧАЕМ КОМБИНАЦИЮ CIFI + СГ?2 С НУЛЕВОЙ ДИСПЕРСИЕЙ.

НО, КОНЕЧНО, ПРИ ЭТОМ СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ E(CI?I + С2&) МОЖЕТ ОКАЗАТЬСЯ ДОСТАТОЧНО МАЛЫМ. (СЛУЧАЙ СІ = С2 = 0 ДЛЯ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ НЕ ИНТЕРЕСЕН В СИЛУ УСЛОВИЯ Ь Є В(Х).)
ИЗ ЭТИХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ РАССУЖДЕНИЙ ЯСНО, ЧТО ПРИ ЗАДАННЫХ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА (СІ,СГ) ИКЛАСС ВЕЛИЧИН (?1,62) ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ О ТОМ, ЧТОБЫ
СДЕЛАТЬ E(CI?I + С2С2) "ПОБОЛЬШЕ" A D(CI?I + C2C2) "ПОМЕНЬШЕ" НАДО СТРЕ-МИТЬСЯ К ВЫБОРУ ТАКИХ ПАР (?1, ?2), ДЛЯ КОТОРЫХ ИХ КОВАРИАЦИЯ БЫЛА БЫ КАК МОЖНО БЛИЖЕ К МИНУС ЕДИНИЦЕ.
ИЗЛОЖЕННЫЙ ЭФФЕКТ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КОРРЕЛИРОВАННОСТИ, НАЗЫВАЕМЫЙ ТАКЖЕ ЭФФЕКТОМ МАРКОВИТЦА, ЯВЛЯЕТСЯ ОДНОЙ ИЗ ОСНОВНЫХ ИДЕЙ ДИВЕРСИФИКАЦИИ ПРИ ИНВЕСТИРОВАНИИ - ПРИ СОСТАВЛЕНИИ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ НАДО СТРЕМИТЬСЯ К ТОМУ, ЧТОБЫ ВЛОЖЕНИЯ ДЕЛАЛИСЬ В БУМАГИ, СРЕДИ КОТОРЫХ, ПО ВОЗМОЖНОСТИ, МНОГО ОТРИЦАТЕЛЬНО КОРРЕЛИРОВАННЫХ.
ДРУГАЯ ИДЕЯ, ЛЕЖАЩАЯ В ОСНОВЕ ДИВЕРСИФИКАЦИИ, ОСНОВАНА НА СЛЕДУЮ- J ШЕМ СООБРАЖЕНИИ.
[ ПУСТЬ ?1, ?21 • • •, ~ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕКОРРЕЛИРОВАННЫХ СЛУЧАЙ
НЫХ ВЕЛИЧИН С ДИСПЕРСИЯМИ < С, І = 1,..., N, ГДЕ С - НЕКОТОРАЯ КОН- І СТАНТА. ТОГДА
N N
D(DI6 + • • • + DN?N) = J2DI < CJ2 DI-
I=1 »=1
ПОЭТОМУ, БЕРЯ, НАПРИМЕР, DI = 1 /N, НАХОДИМ, ЧТО
С
D(DI& + • ¦ ¦ + DN?N) ^ — ЛГ ->¦ 00.
F ЭТОТ ЭФФЕКТ НЕКОРРЕЛИРОВАННОСТИ ГОВОРИТ О ТОМ, ЧТО ЕСЛИ ИНВЕСТИ
РОВАНИЕ ПРОИЗВОДИТСЯ В НЕКОРРЕЛИРОВАННЫЕ ПЕННЫЕ БУМАГИ, ТО ДЛЯ УМЕНЬ-
! ШЕНИЯ РИСКА, Т. Е. ДИСПЕРСИИ D(DI?I -I + DJV?IV), НАДО, ПО ВОЗМОЖНОСТИ,
| БРАТЬ ИХ ЧИСЛО N КАК МОЖНО БОЛЬШИМ.
ВЕРНЕМСЯ К ВОПРОСУ О ДИСПЕРСИИ DP(D) ВЕЛИЧИНЫ
І P(D) = DIP(AI) + • • ¦ + DNP(AN).
F
ИМЕЕМ
N N
I DP(D) = J2 DJDPIA,) + J2 DID3 COМ{Р(АІ),Р(А3)).
I I=1 I,J = L,
[! ^
I ВОЗЬМЕМ ЗДЕСЬ DI = 1/N. ТОГДА
\' I:D?DP(AI) = (L)2 • N ¦ 1 ? ОРШ = 1 •
J «=1 I— 1
_ 1 N
ГДЕ A2N = — DP(AT) - СРЕДНЯЯ ДИСПЕРСИЯ. ДАЛЕЕ,
? DID, СОУ(Р(Л),Р(^У)) = V2 " • COVJV, м=і,
ГДЕ COVJV ЕСТЬ СРЕДНЯЯ КОВАРИАПИЯ:
^
C°VJV = N2 _ Я S
ТАКИМ ОБРАЗОМ,
(1)
DP(D) = + (L - 1)
И ЯСНО, ЧТО ЕСЛИ А < С И COV JV —> СОV ПРИ N ОО, ТО
DP(D) -»¦ COV, N —TOE. (2)
ИЗ ЭТОЙ ФОРМУЛЫ МЫ ВИДИМ, ЧТО ЕСЛИ COV РАВНА НУЛЮ, ТО ДИВЕРСИФИКАЦИЕЙ С ДОСТАТОЧНО БОЛЬШИМ N РИСК ИНВЕСТИРОВАНИЯ, Т.Е. DP(D), МОЖЕТ БЫТЬ СДЕЛАН СКОЛЬ УГОДНО МАЛЫМ. К СОЖАЛЕНИЮ, ЕСЛИ РАССМАТРИВАТЬ, СКАЖЕМ, РЫНОК АКЦИЙ, ТО НА НЕМ, КАК ПРАВИЛО, ИМЕЕТСЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ В ЦЕНАХ (ОНИ ДВИЖУТСЯ ДОВОЛЬНО-ТАКИ СОГЛАСОВАННО В ОДНОМ НАПРАВЛЕНИИ), ЧТО ПРИВОДИТ К ТОМУ, ЧТО Covjv WE СТРЕМИТСЯ К НУЛЮ ПРИ N —>¦ ОО. ПРЕДЕЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ COV И ЕСТЬ ТОТ СИСТЕМАТИЧЕСКИЙ, ИНАЧЕ - РЫНОЧНЫЙ - РИСК, КОТОРЫЙ ПРИСУЩ РАССМАТРИВАЕМОМУ РЫНКУ И ДИВЕРСИФИКАЦИЕЙ НЕ МОЖЕТ БЫТЬ РЕДУЦИРОВАН. ПЕРВЫЙ ЖЕ ЧЛЕН В ФОРМУЛЕ (1) ОПРЕДЕЛЯЕТ НЕСИСТЕМАТИЧЕСКИЙ РИСК, КОТОРЫЙ МОЖЕТ БЫТЬ РЕДУЦИРОВАН, КАК МЫ ВИДЕЛИ, ВЫБОРОМ БОЛЬШОГО ЧИСЛА АКЦИЙ. (ПОДРОБНЕЕ ТЕОРИЮ "MEAN-VARIANCE ANALYSIS" СМ. В [268], [331]-[333].)

<< | >>

↑

Источник: Ширяев А. Н.. Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели.Москва: ФАЗИС,1998. 512 с. (Стохастика, вып.2). 1998

Еще по теме § 2Ь. ПОРТФЕЛЬ ДЕННЫХ БУМАГ.ДИВЕРСИФИКАЦИЯ МАРКОВИТЦА:

- Биржевая деятельность - Денежное обращение, финансы и кредит - Деньги, кредит, банки - Кредитование - Основы финансов - Финансовая математика - Финансовое право - Финансовый менеджмент - Финансы и кредит -