О статистическом направлении в САРМ

Количественные оценки этих характеристик находят в результате ста-тистической обработки необходимых для этого реальных данных с помощью хорошо известных методов. Для экономии расчетов в статистике финансового рынка обосновывается целесообразность применения метода ведущего фактора, роль которого играет эффективность рыночного портфеля Яс- Эта величина, именуемая эффективностью рынка, представляет собой взвешенную (с учетом капитала) сумму эффективностей всех рисковых ценных бумаг, обращающихся на рынке.

Конечно, на практике невозможно следить за поведением всех ценных бумаг, поэтому рассмотрению подлежат истории только тех, которые на протяжении достаточно длительного периода фигурируют на торгах и оборот которых достаточно существен для рынка, а в качестве ведущего фактора используют какой-либо биржевой индекс, рассчитанный с учетом их цен. Эти индексы позволяют оценивать рыночную конъюнктуру одним числом, и чем больше это число, тем конъюнктура считается лучше.

Из таблиць! видно, что трети и столбец лучше первого (цены всех акций выше), однако оставшиеся пары (1; 2) и (2; 3) несравнимы.

Биржевые индексы обычно определяются через взвешенную среднеарифметическую величину всех цен, образующих корзину индекса.

Обозначим Пд и ri? число торгуемых акций вида А и В, тогда N = Пд + пв - общее число бумаг. Пользуясь этими обозначениями, введем следующий индекс:

N А N в N

іде РА, Рц - курсы, а S - стоимость "корзины\'.

Положим Пд = 150, пв = 200. По табличным данным найдем индекс для каждого состояния.

Таким образом, сравнивая значения индекса, выявим, что наилучшей из всех является третья конъюнктура.

Исторически первым (1886 г.) в "списке" биржевых индексов был показатель, введенный Чарльзом X. Доу и Эдуардом Д. Джонсом. В настоящее время он относится к наиболее известным и рассчитывается путем сложения цен включенных в него акций на момент закрытия биржи и деления полученной суммы на определенный коэффициент.

Аналогично строятся и другие индексы. Например, широко распростра-ненный Standart and Poor\'s 500 index - индекс 400 индустриальных, 20 транспортных, 40 коммунальных и 40 финансовых компаний и ряд других.

Пусть даны последовательности наблюдений эффективности Rj(t),t = 1, 2,..., Т и ведущего фактора Re®, относящегося к тем же моментам времени.

Согласно принятой гипотезе случайные величины Rj и Rc связаны соотношением:

Rj = aj + bjRc + cj,

где ej - взаимно не коррелированные и не коррелированные с Rc случайные величины с нулевым ожидаемым значением, а постоянные параметры aj, bj подлежат оценке по наблюдениям. Отсюда вытекает, что тео- петическая пегпессия I? относительно случайной зикЬективностн цынка

г ¦ * > " " - ¦ г

Яс будет линейна:

= щ + Ь5 Яс.

Известно, что условное математическое ожидание дает наилучшее среднеквадратичное приближение среди всех функций ДКС). Таким образом, принятая гипотеза означает, что теоретическая регрессия Е(К|/1<с) совпадает со среднеквадратичной линейнрй регрессией (70). Из основного соотношения следует, что:

171, = + Ь] 111с,

и, следовательно,

^ - = Ь; (Яс - тс) + е^.

Отсюда для вариаций получаем:

% = ЬДС + Уег

а для ковариаций (1 * ]) имеем:

Уц = Е{(^ - - ш;)} = Ь, Ь} Ус,

где учитываются некоррелированности ер ej, Яс-

Как следус! 1н (69) и (70), в рассматриваемом случае коэффициент регрессии Ь; для ьй ценной бумаги совпадает с ее бета вклада Р;.

При нарушении гипотез идеального финансового рынка возможности применения моделей САРМ и методов классической статистики ограничиваются. С целью преодоления возникающих при этом трудностей прибегают как к более "изощренным" методам идентификации, так и к разработке различных портфельных эвристик, в значительной степени основанных на здравом смысле и возможностях компьютеризации. Эти направления, однако, выходят за рамки обсуждавшихся здесь подходов, и мы их не рассматриваем