Мера чувствительности цены к изменению ставки
определению эластичностью функции у = f(x) называется предел отношения относительных приростов переменных у и х.
Если эластичность изменения переменной у при изменении перемен-ной х обозначить Ех(у), то, используя определение производной, получаем, что
с /.л 1:™|/ДУ /"М "У.. х (30)
ьл V I ™ I1II1I / | — —— Л — .
AV—.ll^ у j Х I Г(Х У
Отсюда видно, что коэффициент эластичности показывает относительное изменение исследуемого показателя под действием единичного относительного изменения влияющего фактопа пои неизменных значениях прочих факторов.
Для практических вычислений дифференциалы в формуле (30) заменяют на приращение одноименных переменных. Чтобы оценить правомерность такой замены, воспользуемся известной из математического анализа формулой прироста функции:
лу — I\\XQ Т лх; НЛО/ — i v*u/ "X "г щДх;, где f \'(х0) - значение производной в точке хо, а слагаемое о(Ах) - величи-на высшего порядка малости по сравнению с Дх.
Аппроксимируя В окрестности ТОЧКИ Хо функцию f(x) линейной зависимостью (касательной):
у = f(x) - f(Xo) + f (х0)(х - Хо), придем к приближенному равенству
*У , ?&> х Дх . Г(*¦)»\' х ** , Ех„(у) X **, (31)
Уо Уо Уо Хо Хо
где Ех0(у) - эластичность у по х в точке х = XQ.
Отсюда, в том числе, получается формула для оценивания нового значения функции в ответ на изменение аргумента (движение по каса-тельной, заменяющее движение по кривой):
у-(1+ЕХц(у)—)у„. , >
Хо
Для достаточно малых вариаций аргумента х погрешности вычислений по этим формулам довольно малы и эти приближения дают вполне приемлемые результаты.
Введенный здесь показатель (30) широко применяется в различных .направлениях экономического и финансового анализа, для которых эла-стичность выступает ,в качества одного из определяющих параметров, например:
> в теории потребления и методе производственной функции - это эла-стичности спроса и предложения по доходам, ценам и факторам
производства;
>• в финансовом анализе - эластичность стоимости облигаций по множителю наращения ц = 1 + г.
Опираясь на данный показатель, легко перейти к измерителю чувствительности по ставке г, однако именно он, в силу аналитических и инструментальных удобств, лежит в основе рассматриваемого ниже понятия "дюрация".
Дюрация как мера чувствительности
"Рассмотрим последовательность платежей {С|, С2, ..., С-П, то есть случай, когда деньги поступают в моменты времени 1, 2, .., Т. Предположим, что эти платежи неотрицательны. Чтобы иметь возможность ра-ботать с неотрицательным потоком платежей, будем заниматься долгом и активом по отдельности.
Запишем текущую стоимость потока платежей, которая, при условии постоянства процентных ставок (гп! = г}, удовлетворяет следующему со-отношению:
Р = |с,(1 + гГ\' (32)
где коэффициент
ц = 1 + г.
Согласно определению (30) интересующий нас показатель эластичности
и СЦ1 Р
Тогда можно записать:
и, следовательно,
? Р & ро ту
Формально правая часть равенства является эластичностью приведенной стоимости потока по отношению к (1 + г).
Например, если поток платежей представлен выплатами по купону и номинальной стоимостью облигации Р, то есть О = С, При I < Т и Ст = С + Р, то данный показатель будет характеризовать процентнЬе изменение цены облигации по сравнению с процентным изменением (1 + г).
При необходимости значение показателя (33) можно пересчитать в числовую характеристику чувствительности на процентную ставку г. В самом деле, эластичность \r\n
E,(P) = dP-x 1 - dP x (34) ar v dr P (r + l) (г + l) (^ .Pj ТЛ fTTk Если в формуле (33) отвлечься от знака "минус", то придем к определению показателя дюрации: 1.1 Отсюда и и? соотношения между эластичностями Е,(Р) и Е,,(Р) можно заключить, что платежные потоки с одинаковой дюрацией сходным образом откликаются на изменения процентной ставки и несходным, если их дюрации различны. Так, облигации, имеющие равные сроки погашения, но неодинаковые купонные выплаты, могут по-разному реагировать на процентный риск, то есть курсы этих облигаций могут меняться по- разному при заданном изменении процентной ставки. Чтобы перейти к прогнозным оценкам ценовых изменений, вызванных сдвигами ставки, воспользуемся формулами предыдущего раздела. Под-черкнем, что нужные нам соотношения выводились с помощью линейных приближений, которые действуют при достаточно малых диапазонах изменения влияющей переменной. Вводя необходимые переобозначения, пере-пишем формулу оценивания (31) в требуемых здесь терминах: (35) Р 1 + г Другими словами, процентное изменение текущей стоимости потока Платежей (облигации) приблизительно равно произведению дюрации на процентное изменение величины "единица + ставка" и противоположно по знаку. Пример. Рассмотрим облигацию, которая в настоящий момент продается за 1000 долл. при доходности 8%. Пусть ее дюрация составляет 10 лет. На- ; сколько измениться цена этой облигации при увеличении доходности до 9 Пользуясь формулой (35), спрогнозируем относительный прирост: ^,-10х0\'09-0\'08 . -0,0926, Р 1,08 что в пересчете на проценты дает: — х100% - -10х— % - -9,26%. Р 1,08 \r\n Итак, мы выяснили, что рост доходности на 1% приведет к падению курса порядка 9,26%. В результате измененная цена облигации прибли-зится к значению: Р — С1 - 0,0926)1 ООО = 907,4 долл. Отметим, что приближение (35) безразлично к полярности изменения ставки г в том смысле, что дает равные по абсолютной величине оценки относительных изменений цены Р в ответ на одинаковые плюсовые или минусовые перепады уровня процента. Это заключение опирается на линейное приближение функции с точностью до первого порядка малости. Более точные выводы получаются исходя из разложения функции Дх) в ряд Тейлора вплоть до квадратичных членов: Г(х) - ад + Г(х0)(х - х.) + ^(х - х„)г + о(х - х„)г или, в принятых здесь обозначениях, Р(г) - Р(г„) + Р\'(г„)Дг + дг2 + 0(ДГ2). (36) Из формулы (32) видно, что Р\'(г) < 0, Р"(г) > 0. Поэтому функция Р(г) - строго выпуклая и в силу ее свойств уменьшение доходности облигаций (Дг < 0) приведет к росту ее курса на величину, большую, чем со-ответствующее падение курса при увеличении доходности на ту же величину. Подобная асимметрия, однако, не улавливается маржинальным ана-лизом, основанным на линейном приближении и показателе дюрации. Это, в частности, хорошо видно из графической иллюстрации О Пример. Для сосредоточенного платежа текущая стоимость получается Г дисконтированием на текущую дату, то есть Р = !—:. Поэтому пюоаиив (1 + г)\' (34) для такого платежа совпадает с дотой его проведения: Д = I. Отсюда, в частности, видно, что для Ягодичной бескупонной облигации однопроцентный прирост коэффициента р, порождает 1-процентное относительное удешевление ее цены. Переходя к эластичности по ставке, получим, что г- Г ж /П\\ ЕГ(Р) 1, у-"> г +1 то есть относительному повышению ставки в 1 % соответствует относи- ТРПкМПР ПЯПРНЦР ПЛНЫ Р. ^ і-ҐС/Л гТТ4^- В нашем случае — 100% - -^100% - 1%, ц 1 + г и поэтому г г В ответ на такое изменение уровня процента г эластичность (37) из-менится в той же пропорции. Это означает, что она составит те же 1(%), которые были получены при рассуждении по формуле (34). Пусть I = 3, г = 1. При этих значениях однопроцентный прирост р наводится двухпроцентным изменением ставки ^ + г и отрицатель ный прирост теоретической цены составит 3% (t = 3). Дюрация как средний орок платежа Но есть и другое, отличное от меры чувствительности, толкование понятия "дюрация" (duration - длительность). Чтобы прийти к нему, пе-репишем определение дюрации (34) в следующем виде: Д-gto,. (38) где (О,-—. (39) \' Р(1 + г)\' \r\n Поскольку т Г V \' г у тсжсй С & О + г)\' " то ш, « 1. Н Р(1 + Г)\' Чтобы получить обещанную интерпретацию, сопоставим потоку пла- . 1,т| искусственную случайную величину О, равную дате платежа: ее возможные значения соответствуют последовательным мо-ментам прихода датированных выплат. Таким образом, случайная величина 0 принимает целочисленные значения от 1 до Т. Р«3 = I) = о),. (40) В основе такого назначения лежит достаточно распространенное в экономическом и финансовом анализе рассуждение, опирающееся на классическое определение вероятности (отношение числа благоприятствующих исходов к их общему числу). В нашем случае это позволяет прибегнуть к следующим доводам в пользу определения (40). В цене потока Р присутствуют все дисконтированные из разновременных выплат {С(} рубли. Проведем следующий мысленный эксперимент. Ссыплем все деньги Р в один большой кошелек и, крепко зажмурившись, вытянем из него наугад одну рублевую монету. Число исходов, благоприятствующих тому, что эта монета относится к платежу С(, равно полному числу таких монет и составляет величину: С, ш ¦ О + г)\' В свою очередь, общее число {возможных исходов, очевидно, совпадает с количеством всех монет: \' П = Р. Поэтому за оценку вероятности Р ((} = О естественно принять частоту появления рубля, датированного 1-ым платежом: п что и совпадает с определением (39). Введем обобщенную характеристику потока платежей {С,}, равную Р. распределения:\r\n0 1 2 ... 1 т\r\nР 0)| 0)2 Ш, Ют\r\n Найдем математическое ожидание и дисперсию этой величины. E(Q) = 1 х (й, + 2ш2 +... + Т«от = V ta),. 1-1 a2(Q) = E(Q2)- E2(Q) - g t2.o, ta, )2. Отсюда и из (38) следует, что Е(0) = Д, a2(Q) = E(Q2) - Д2. (41) Таким образом, величину дюрации можно интерпретировать как стичность (34) равна средневзвешенному времени выплат с весами a)j. Отсюда следует, что при прочих равных, например для потоков с одинаковыми текущими стоимостями, преобладание более ранних платежей уменьшает дюрацию, в то время как "тяжелые хвостовые" выплаты приводят к ее росту. Пример. Рассмотрим два потока ппатежей А и 8 с перераспределением денежных поступлений на ночало и соответственно конец платежного периода. А = (1А00, 400, 100), В = (100, 400, 1600) Пусть для арифметической простоты денежная оценка времен^ г = 0 И, следовательно, текущие стоимости (ТС) этих потоков будут одинаковы: ТС(А) = ТС(В) = 2100. Для каждого потока имеем следующие ряды распределения:\r\nО(А) 1 2 3\r\nо)(А) 1600/2100 = 16/21 400/2100 = 4/21 100/2100 = 1/21\r\n\r\nО(В) 1 2 3\r\nо>(В) 100/2100 = 1/21 400/2100 = 4/21 1600/2100 = 16/21\r\nОткуда найдем дюрацию, или среднюю срочность платежа, по кзждо- МУ из потоков: п/Ач , 16 о 4 , 1 27 Д(А)~1х — + 2х— + 3х—-—, ^ \' 21 21 21 21 Д(В)»1х —+ 2х —+3х—. \' 21 21 21 21 Таким образом, дюрация потока с прогрессирующими выплатами существенно перекрывает дюрацию последовательности регрессивных платежей: Д(В)-2,1Д(А). Очевидно, что введенные выше характеристики дюрации (эластичность, средний срок платежа) применимы также и к распределенному потоку задолженностей с той лишь разницей, что в каждом таком потоке даты выплат, как правило, жестко закреплены. Дюрзция как средний срок погашения Рассмотрим портфель, составленный из разнопериодных (1 = 1,Т) бескупонных облигаций с погашением по номиналу = 1,т[- Финансовая рента хозяина такого портфеля представляет собой поток фиксированных платежей. Эти платежи можно мыслить как купонные выплаты, а сам портфель - трактовать как некий купонный контракт с периодической выплатой процентов {С|, С2, ..., Ст_|} и погашением Ст. Очевидно, что варьируя возрастную структуру облигаций, можно устроить портфель таким образом, чтобы с точностью до штучного числа включаемых бумаг воспроизвести любой, наперед заданный, пЬток. Учитывая разновременность погасительных сроков, придадим времени до погашения форму целочисленной случайной величины О с множеством возможных значений от 1 до Т. Начальная стоимость портфеля Р определяется приведенный ценой всех входящих в него облигаций и вычисляется по формуле (32), а динамика стоимости - последовательными значениями {р, = Р(1 + г)\
