2.2. Иммунизация

Связь иммунизации с выпуклостью

Рис. 9. Связь взаимной кривизны финансовых потоков с их иммунизацией к риску процентной ставки

Здесь выпуклые кривые

ТС(А) = ТС(П> = ТСо.

Поэтому, если уровень процента сохранится (г =* го), для закрытия долга можно использовать любой из выделенных на рис. 3 активов. \r\nДругое дело, если мы станем принимать во внимание возможные изменения этого уровня. Тогда представленные на "триптихе" платежные ситуации будут характеризоваться последовательным снижением проти- ворискового иммунитета по мере перехода от оптимального начала (а) через приемлемое продолжение (б) к непригодному варианту (в).

В случае (а) актив перекрывает обязательства: у разницы ТС (А) - ТС(П) в точке го окажется минимум. В этом варианте мы имеем полное хеджирование.

В центральной части кривая пассива будет выше: обнулению разности текущих стоимостей ТС(А) - ТС(П) в точке Гц отвечает максимум. Вместе с тем, поскольку в этой точке кривые касаются, то, как следует из линейной части формулы (36), недостача П - А будет иметь тот же порядок малости, что и Дг2.

Это, хоть и хуже, чем в предыдущем случае, но все же терпимо. В этом смысле можно сказать, что имеет место неполное хеджирование.

Все кривые последнего графика пересекаются. Из-за отсутствия общей касательной расхождения между ними будут зависеть, в силу соотношения (36), не только от квадратичных членов Дг2, но и от линейных уклонений Аг — г - г0- Таким образом, наш портфель, составленный из актива и долга, оказался чувствительным к риску процентной ставки, то есть не иммунизирован к ее изменениям.

Итак, если процентная ставка измениться, то в случае (а) ничего плохого не произойдет. Нам будет только выгоднее: при всех г * го мы полностью закроем долг и в силу преимуществ кривой АА по выпуклости получим еще, хоть и незначительный; но все же доход (А - П > 0).

Для промежуточного варианта (б) смесь финансовых потоков А и П нечувствительна к малым вариациям процентной ставки Потому ее изменение хоть и ухудшает нашу платежеспособность, но столь незначительно, что этим можно пренебречь.

Если мы имеем дело с небольшими величинами Дг, то выполнение двух правил:

ТС(А) = ТС(П),

касание в точке г0

достаточно, чтобы в первом приближении считать наш портфель иммунизированным.

Этим мы заведомо исключаем неблагоприятную ситуацию 9в) с риском неплатежей для кривых А]А] и А2А2 справа и соответственно левее точки Го-

Допустим, что такое положение нас не устраивает и мы хотим достичь полного хеджирования. Тогда следует сформировать финансовый поток активов таким образом, чтобы зависимость его цены от процентной ставки была более выпуклой, чем для потока пассивов.

Меру выпуклости финансового потока характеризует вторая производная. В нашем случае при базовом значении г = го текущие стоимости ТС(А) и ТС(П) равны. Потому сформулированное требование приводится к тому, чтобы при г = Го вторые производные в разложениях текущих стоимостей (36) удовлетворяли следующему условию:

ТС"(А) > ТС"(П).

Теорема об иммунитете

Перейдем на более удобную символику, отражающую зависимость вторичных потоковых характеристик от уровня доходности г.

Проверим, так ли это. Согласимся с рекомендациями теоремы и, исходя из сложившейся процентной ставки г0, подгоним наши активы к имеющимся пассивам так, что в точке го

« (г0) = *<г0), Д(А) = Д(П). (42)

Пользуясь определением дюрации (34), перейдем к подробной записи:

а(г„)

Д(П) - -Е. . (л(г)) = + г )

"" *(г„Г

Заменяя равенство дюрации через равенство правых частей этих соотношении и имея в виду, что

п!гп\\ — тг (43)

придем к равенству производных:

«\'(Г0) = *\'(г0). (44)

Отсюда следует, что кривые а(г) и л(г) в окрестности точки г0 совпадают с точностью до о(Дг), то есть имеют в этой точке общую касательную

«г) = Пго) + Р(Гп) (г - г0),

где Яг0) = а(г0) = я(г0), Г\'(Г0) = а\'(г0) = я\'(г0). (45)

Следовательно, разность этих кривых

<р(г) = а(г) - я(г)

имеет тот Же порядок малости, что и квадрат отклонения Дг.

Поэтому ее график определяется с точностью до параболической зависимости с неопределенным пока направлением (вверх или вниз) ветвей (рис. 10). \r\nРис. 10. График разности текущих стоимостей И в том и в другом случае <р(го) = 0,«р\'(го) = 0) то есть, следуя правилам (42), мы добились того, что составленный нами из актива и долга портфель потерял чувствительность к малым измене-ниям процентной ставки. Это неплохо, но еще лучше, если у разницы ТС(А) - ТС(П) в точке Го окажется минимум (ветви вверх).

Докажем, что для этого нужно добиться того, чтобы дисперсия времени поступления но актинам была больше, чем дисперсия времени ить ятия по пассивам:

«2 (Ол) > о2(Оп), (46)

где (}А, Оп - случайные, точнее псевдослучайные, величины, равные мо-ментам платежа актива и соответственно - по обязательствам.

Распознавание на рис.

т т

Р\'(г)- -^ЧС.О + г)"1"1 и Р\'(Г)+1)0,(1, Г)-

Отсюда, разделяя обозначения по случайным величинам Од и Оп на их значения т, Л. и соответствующие вероятности и„ ик, запишем: «р"(г0) = «"(го) - *"(го) =

"тг-ЧИЕ*2^1+г«>"т+Е^1+Г«г - +г»>"х -2 +г»>""}

(1 + г„г *

где {АЛ - платежи по активу, {ПЛ}- задолженности. Откуда, используя обозначения (39) и (45), получим:

Ф\'(г„) - уЩт {у тЧ(г„) - 2 (г«)+2 ™<(г»> - 2М-

2\'1»

Основываясь на вероятностной интерпретации (40), это соотношение можно представить в следующем виде:

©"(г,,) = Г(Гц) . (ЕГОЛ2 - [Е(Од) - Е(Оп)|,

где согласно формулам (41)

м» м 7 о \\у/ ¦ д .

Тогда с учетом условий (42), придем к соотношению: ®"(г„) = Г(Г<|)- 1о2Ю. 1 - о2Ю„)},

(1 + Г,,)21 — —

которое в силу (46) доказывает, что

<р"(г0) > 0.

Отсюда следует, что выполнимость условий (42) и (46) достаточна для того, чтобы обеспечить полное хеджирование процентного риска.

Заметим, что в случае рассредоточенного актива и сосредоточенной задолженности условие (46) выполняется автоматически (о2 (Од) > 0, о^Ор) = 0). Поэтому для гарантированного покрытия такой задолженности годится любой набор облигаций, согласованный с пассивом по первым двум правилам (42).

И наконец, напомним, что во всех наших рассуждениях предназначаемые для хеджирования активы предполагаются абсолютно ликвидными. В случае облигаций это означает возможность получения их денежного эквивалента на любую актуальную для хеджера дату. Требуемые замены облигаций на деньги предполагают наличие развитого вторичного рынка и производятся в сочетании реинвестирования одних бумаг с досрочной продажей (игрой на кривой доходности) для других.

Пример. Не ограничивая общности, рассмотрим простейший случай нулевой процентной ставки: гд = 0. При такой текущей конъюнктуре долги будут , беспроцентны, а облигации станут покупаться и продаваться по одинаковой цене, равной их номинальной стоимости. Из-за возможной нестабильности \' денежной массы имеется риск процентной ставки, то есть г < 0 при избытке - денег, г > 0 - при их дефиците.

Предположим, что вы обременены обязательством выплатить через два \' года (I « 2) 200 долл. и заинтересованы, вопреки возможным сдвигам процента, во что бы то ни стало расплатиться с вашим кредитором.

Вашим чаяниям, как легко проверить, отвечает, например, портфель из двух бескупонных облигаций с одинаковым номиналом в 100 долл. и временами погашения 1| = 1 и = 3.

При нулевой доходности цена денег во времени не меняется. А раз так, то и приведенная стоимость портфеля совпадет с суммой номинальных стоимостей входящих бумаг: ТС(А) ==100+100

и будет равна текущей цене долга:

ТС(П) = 200.

Ваш долг уплачивается разово, поэтому его дюрзция равна сроку вы-платы, то есть

Д(П)=2,

а дюрация смеси ваших активов, найденная по формулам (38), (39), составит величину:

П/Ач , 100 „ 100 „

Д(А)= 1х + Зх = 2.

200 200

Установленные равенства текущих стоимостей и соответственно дю- раций дают в совокупности условия хеджирования (42) и означают, что вы добились желаемой невосприимчивости (иммунитета) вашего портфеля к изменениям процента.

В качестве цифровой иллюстрации противостояния риску, которое обнаруживает составленный портфель, приведем следующую числовую таблицу:\r\nставка ТС(А) ТС (долг) Д(А) ТС(А) - ТС(долг)\r\n-0,25 370, 37 355.56 2,28 14,81\r\n-0,20 320,31 312,50 Т -»-> 7 О 1 / (V 1\r\n-0,15 280,48 276,82 2,16 3,66\r\n-0,10 248,28 246,91 2,10 1,37\r\n-0,05 221,90 221,61 2.05 0,29\r\n0 200 200 2 0\r\n40,05 181,62 181,40 1,95 0,22\r\n+0,10 166,04 165,29 1,90 0,75\r\n+0,15 152,71 151,23 1,86 1,48\r\n+0,20 141,20 138,89 1,82 2,31\r\n+0,25 131,20 128,00 1,78 3,20\r\n

Поясним ее устройство.

Далее - дюрация по активам. Она тоже зависит от уровня процента, потому что веса (39) зависят от коэффициента дисконтирования, то есть от Процентной ставки. Табличное значение 2 достигается дюрацией как раз в строке, соответствующей нулевому проценту. Но если теперь взять разность в текущих стоимостях, то станет ясно, что она всегда положительна.

Из того, что первая из сравниваемых альтернатив является активом, а вторая - долгом, получается следующее: хотя при базовом проценте те- кушие стоимости совпадают (разница равна нулю), тем не менее при отклонении от исходного уровня текущая стоимость актива оказывается больше, чем текущая стоимость долга. Таким образом, во-первых, при базовой процентной ставке долг закрывается активом, во-вторых, если

ППОПеНТНЯЯ ГТЯПЬ-Я ПТЬ\'ІПНИТга ОТ Кяіппли ТП В пр^/пито-^, • "Ліуіїитв

I - — " - " — - - -- -- - —-- -Щ* я V —^ —^ " " Ч >» И І V ОІ)і II ^ V

добавочно какой-то выигрыш. Это интересное явление основано на по-нятии дюрации и объясняется превосходящей кривизной графика ТС(А) по сравнению с течением кривои ТС (долг).

Все эти выводы, основанные на разложении Тейлора (36), будут справедливы при условии достаточной малости уклонения Дг с точностью до второго порядка малости.