Определение хеджирующих пропорций

П редвар ител ьно изложим некоторые наводящие соображения, основанные на формуле (38). Посмотрим на эту формулу как на способ вычисления дюрации для "колоды" из Т бескупонных облигаций с датами погашения І = 1,2,.., Т. Дюрация каждой такой бумаги, как и для любого сосредоточенного платежа, совпадает с периодом ее Действия (Д( = 0, а коэффициенты и>,, на что указывает формула (39), определяют доли вложения капитала Р в облигацию I. Поэтому правая часть в (38) есть не что иное, как взвешенное среднее индивидуальных дюраций.

Рассмотрим "купонный контракт", составленный из тех же облигаций, но уже Не поштучно, а в количестве СЬ по каждому их типу.

Очевидно, что Независимо от кратности взятых бумаг дюрации соответствующих компонент сохраняются, а Доли Сложений ш, по различным направлениям в общем случае поменяются.

По формуле (38), но уже с другими весами

м <Э.С. О.Р.

\' " Р(і + г)\' " Р \' найдем, что дюрация нашего составного актива

Д-І^-хА.

Где Р, = С,(1 + г)-\' - текущий эквивалент номинала С,;

Р = 20,Р( - вложенный капитал;

Д, = I - дюрация 1-ой Выплаты.

И в этом случае дюрация "суммы" вычисляется через усреднение дю- раций по всем слагаемым. \r\n

Перейдем к комбинированию финансовых потоков, когда в качестве т-ой опорной единицы (т — 1„М) выступает последовательность распределенных во времени платежей |с™,1 « 1,ТП1например портфель формируется из купонных облигаций.

Пусть в портфельной совокупности на С)| единиц первого актива приходится <32, Рз и т. д. 0М бумаг прочих выпусков.

Г — --¦ \'I \' \' " III J I- - -4«

Покажем, что и в этом случае дюрация портфеля будет равняться взвешенному среднему дюраций отдельных компонент. С этой целью введем пару искусственных случайных величин: дату портфельного платежа "г и номер портфельной компоненты X. Сроки выплат по каждой компоненте (потоку) т = 1, 2, .., М будем ассоциировать с возможными значениями условной случайной величины - датой потокового платежа. Ее среднее, согласно вероятностному толкованию (41), совпадает с дюраци- ей выделенного потока, то есть

м1ХС \\„)=Д„, (47)

а. = iii\'

гяр кл|у/ | _ условное математическое ожидание случайной вепичи-

/ \'/\\ = П! \'

ны У при условии, что реализованное значение случайной величины X равно т.

1vi( т ) = 1vi[1V1 \'/У\\ ¦

Здесь M(Y) - средняя дата платежа (ее математическое ожидание) по всей совокупности значений случайной величины Y, то есть дюрация портфеля в целом, а правая часть - сумма взвешенных по их вероятностям Р(Х = т) значений m(Y/ I В результате можно записать, что

(48)

VX - m\'

м / Д^Р(Х = т),М(У/х = т).

В качестве оценок фигурирующих в этой сумме вероятностей естественно принять частоту ит, с которой попадается дисконтированный рубль из потока т кратности От в текущей стоимости Р всего портфеля, то есть

дтусго + г)-1

или с ТОЧНОСТЬЮ до нумерации: \r\n

С>тРт _ ОтРт °т " V ОтРт ~ Р

Подставляя эти вероятности в соотношение (48), придем, с учетом замены (47), к уже знакомому нам по частным случаям

разложению дю- рации

м

(49)

где Дт - дюрания т-ой компоненты, а - ее стоимостная доля. Это соотношение вместе с условием нормировки

м

можно рассматривать как систему линейных уравнений относительно неизвестных

{и,,,}.

т

Еще одно правило в условиях хеджирования (42) относится к балансу текущих стоимостей. Для его выполнения инвестор должен располагать начальным капиталом в объеме г = !0, где [0 - директивный уровень текущей стоимости, и распорядиться этим капиталом так. чтобы объем вложений по каждой альтернативе составлял величину:

г>П110,т - 1,М.

Покажем, как можно использовать установленные свойства для решения практических задач. Для этого приведем два примера, во-первых, на получение ожидаемой суммы дохода и, во-вторых, на купирование (покрытие) задолженности.

Пример. Предположим, что инвестор может воспользоваться двумя различными выпусками - А и В. Облигации А имеют период созревания 3 года, их рыночноя цена составляет 950 долл., номинал - 1 ООО долл., годовой купон - 80 дапп. Облигации В имеют период созревания 1 год, рыночную цену - 973 долл., номинал - 1 ООО долл. и купон 70 долл.

Действующие рыночные цены наводят процентную ставку, которую с достаточной для наших целей точностью можно считать равной 10 %: \r\n

\r\n80 80 1080

ТС(А)

950,87 - 950,

ТС(А) - — + - + -

1,1 (1,1)2 (1,1)3

ТС(В) - - 972,72 - 973. \r\nПоэтому для удобства расчетов примем и в том и в другом случае обещанную ставку г за 10%. Предположим также, что инвестор хотел бы вложить деньги сроком на 2 года.

Если в эти 2 года на кредитном рынке не произойдет никаких изменений, вкладчик получит одинаковый результат от инвестиций в облигации А с их последующей продажей через 2 года или от двукратного по-следовательного вложения денег в облигации В, то есть реинвестированием по прошествии года. Он также может купить оба выпуска в любых пропорциях. Однако при изменении рыночной ситуации за всем этим стоят возможные потери.

ЕсДИ ДО ОКОНЧ-ЗНИн ДВ*-\'"лДеТг:\'€ГО CDOKS процентные ставки по гапанти- рованным бумагам поднимутся, то есть повысится спрос на деньги, инвестор вынужден будет продать облигации А по более низкой цене, чем при стабильном рынке, а значит, понесет убытки. Наоборот, при падении спроса на кредит в течение первого года инвестор не сможет реинвестировать деньги в облигации В с той же высокой 10%-й ставкой.

Иммунизация позволяет найти такие пропорции между А и В, которые дают возможность компенсировать одни потери за счет других приобретений. Обозначая искомые пропорции через иА и получим следующую систему уравнений для их определения:

+ - \'» (50)

і>лДА + ивДв " 2"

Дюрацию облигации А подсчитаем по формулам (38), (39), подставив в них необходимые для этого данные:

1 \'80 „ 80 „ 1080. „ _d . .

Д. (1 х — + 2 + 3 ) - 2,78 (года.)

Л 950 1,1 1,21 1,33

Для облигации В все выплачивается в конце года, поэтому

Дв = 1 году.

В результате система (50) запишется в виде: г>А+г>в-1,

\' 2.78иА +vB -2.

Откуда можно получить, что

г)А = 0,56, ив = 0,44.

Приобретая облигации в этих пропорциях, инвестор гарантированно получит двухгодовой доход в размере не менее 10% от всей затраченной суммы.

Допустим, что предназначенный для вклада капитал составляет 10500 долл. Распределяя его в заданных пропорциях, получим 5880 доші. для А и 4620 долл. для В. \r\n

Отсюда, с учетом штучности товара, придем к приближенному ответу: купить 6 облигаций А и 5 облигаций В. Нетрудно подсчитать, что сдача от первой покупки составит і 80 долл. Суммируя их с 4620 долл. и добавляя еще 65 долл., получим сумму, достаточную для воплощения целочисленного ответа по В.

ггп\\

Пример. Ваш долг "красен" платежом в 27000 руб. через два года. : Возможности ваших вложений ограничены действующей ставкой г = 0,5 и Щ следующими видами облигаций.\r\nСрок действия (год) Однопериодные Двухпериодные Трехпериодные\r\nВид облигации (номер) 1 2 о J\r\nНоминальна* ценз (руб.) 1 5QQ 4500 6750\r\nВычисляя текущие стоимости по долгу и для каждой облигации, получим следующую строку "справедливых" цен (руб.):

rem \r\n27000 (1 + 0,5)2

1500 (1 + 0,5) \'

4500 (1 + 0,5)2

6750 (1 + 0,5)3

= 2000

= 1000

= 2000

=12000

\r\n

\r\nВ условиях стабильной (неменяющейся) процентной ставки для покрытия долга можно воспользоваться рынком "времени" и обменять на нем сумму в 12000 руб.

Например, можно купить 12 коротких облигаций (12000 : 1000) и через год реинвестировать вырученные от их погашения 18000 руб. (1500 х 12) в 18 облигаций того же вида (18000 : 1000). Спустя год выкупная цена этих бумаг поднимется до 27000 руб. (1500 х 18), что в точности закроет долг.

С другой стороны, если предпочесть трехпериодные облигации, то денег хватит на то, чтобы приобрести 6 таких бумаг (12000 : 2000). Продав их за год до срока погашения (в конце второго года), получим те же 27000 руб. (6750 х 6/1,5), которые уйдут на обслуживание задолженности.

При желании совместить даты погашения долга и опорных бумаг следует приобрести 6 двухгодичных облигаций (27000 : 4500), которые гасятся через два года и дают их владельцу требуемую для расчетов сумму (4500 х 6 = 27000).

Для получения того же финансового результата можно воспользоваться всеми тремя типами облигаций, комбинируя их в соответствии с условием:

ЮООх + 2000у + 2000z = 12000,

где х, у, z - число бумаг каждого вида (Короткие, средние, длинные).

Вместе с тем следует иметь в виду, что подобная диверсификация, например х = 2, у = 3, г — 2, усложняет задачу, обременяя инвестора дополнительными хлопотами, связанными в реинвестированием и досрочной продажей. \r\nИзменим ситуацию и допустим, что на рынке облигаций действует риск ценовых колебаний, наведенный процентным риском. Будем, как и \r\nв теории, считать, что измененная ставка скажется на значениях всех текущих стоимостей ТС(і), ТС(2), ТС(3).

Очевидно, что, как бы ни повела себя процентная ставка для погашения долга в конце второго периода, достаточно 6 среднесрочных (27000 : 4500) облигаций (даты долга и погашения совпадают).. Поэтому,

Если те

же 12000 руб. будут

/д.і і п лСДЖИрОоаНИн рИСКа НСііЛаіСЖССкОСО\\/НОсі И ьиСііи/Ііиусмсл вісіо*

дом иммунизации и с его помощью составим защищающий обязательства портфель. Это, кроме того, позволит получить в случае изменившейся ставки активный остаток средств после уплаты долга.

Как следует из правила выравнивания текущих стоимостей, необходимый для иммунизации начальный капитал

1о = ТС(додг) = 12000.

Обозначим искомые доли вложений в короткие и длинные облигации через и г>в По условиям примера ДА = I, Дв — 3.

і ОГДа ВТОрОС ПраВИЛО ХСДЖИрОВагіИЯ - ВЫраВНИВаНИС ДЮраЦИИ - МОЖ-

но записать в виде следующей системы уравнении:

в

¦"а + З^в " 2-

Откуда найдем, что \\)А = пв = 1/2. Это означает, что одну половину капитала 1о следует вложить в бумаги А, а на оставшуюся половину купить бумаги В. Таким образом, иммунизированный портфель должен состоять из шести коротких и трех длинных облигаций.

Замечание. Рассматривая в качестве покупных цен определенные ранее текущие стоимости, мы, фактически, отождествляем последние с рыночными курсами. Если это так, то рассматриваемый в примере уровень ставки (г ~ 0,5) есть не что иное, как доходность к погашению.

Рассмотрим случай, когда задача хеджирования имеет не единственное решение, то есть для иммунизации можно воспользоваться комбинированием из более чем двух видов бескупонных облигаций. Пусть даты их погашения О = 1,2, ..., Ь - 1, Ь + 1, ..., Т и пусть долг характеризуется срочностью Ь, то есть Д (долг) = Ь. Обозначим хеджирующие пропорции через - 1,ТД ^ Ь-

Запишем условие выравнивания дюраций актива и долга:

обладает многими решениями и поэтому не дает одно- ЗИйЧМОГО Выборг» у ^дж И пу!Л! ПРИ

Допустим, что мы заинтересованы в сокращении уклонений от среднего срока платежа, то есть руководствуемся критерием минимума дисперсии (4i):

.-Л/гп = n/r)2"* - L2.

В результате придем к задаче линейного программирования с целевой функцией:

2)t2U(, — min (52)

» ¦ miai .tili 1 \\ TlAI/OM/Atl UTA ЛПТШЮп. . . г НПТ10Ш|" -^ТЛМ

П triVI vmun VI punri ivnrill » /. • lUlXU/TWi«, I i V viii rl \'"^WiOIlOMy i i^lwi i jf 1 vi»

задачи отвечает портфель из двух видов бумаг с ближайшими (до и после долга) датами гашения. Из теории линейного программирования следует, что в оптимальном решении должны присутствовать ровно две ненулевые компоненты, а финансовый смысл задачи подсказывает, что одна компонента будет впереди долга, а вторая - позже. Обозначая искомые неизвестные через UL_S И UL+K, преобразуем схему оптимизации (51), (52) к следующему виду:

(L - S)2vl.s + (L + K)2uL+K = MIN,

(L - S) VL_S + (L + K.) Ul+k = L, (53)

VL-S + VL+K = 1,

S-UTaK-vr-L.

Подставим решение системы ограничений равенств:

S К

uuk"s+K\'Ul-s"S+K

в формулу критерия и получим тривиальную оптимизационную задачу: min{KS/K s Т - L, S s L - 1}. Ее ответ

К" - min К. S° - min S

KsT-L SsL-1

полностью согласуется с устанавливаемым фактом.

щ

i Пример. Допустим, что долг следует возвратить через четыре года. Воз- Щможности хеджирования процентного риска ограничены пятьКЭ видами обли- |1 гаций со сроками погашения Q " 1, 3, 6, 7, 8.

Согласно полученной выше рекомендации для построения "сфокуси-рованного" портфеля (с минимальным разбросом платежей вокруг среднего срока) следует воспользоваться трех- и шестипериодными облигациями.

Для наших данных уравнения (51) примут вид системы:

Зг>3 + 6vb = 4,

_\' t>,+V, -1,

решение которой определяет хеджирующие пропорции

2 1

= — , v. - -.