Системы одновременных уравнений

Y Г= X B + E

Здесь Г— квадратная невырожденная матрица (m х m) и B (k х m) — матрицы коэффициентов.

Такое представление системы одновременных уравнений называют структурной формой.

Г=1, l = 1,.,m.

Предполагается кроме того, что часть коэффициентов в матрицах Ги B могут быть равны нулю. Если оставить в уравнениях только неизвестные ненулевые коэффициенты, то можно переписать их в виде

Yr = Y- і Гі + XP + є, l = 1,...,m.

116

В каждом уравнении в левой части остается только одна эндогенная переменная, имеющая тот же номер, что и уравнение. Остальные эндогенные переменные с ненулевыми коэффициентами перенесены в правую часть. Y- l — составленная из них матрица. Xi — это экзогенные переменные с ненулевыми коэффициентами.

Систему одновременных уравнений можно записать также в приведенной форме, где каждая эндогенная переменная представлена как функция только экзогенных переменных:

Y=X П+ U.

Структурной форме соответствует ограниченная приведенная форма, называемая так потому, что на коэффициенты накладываются ограничения П=

BГ 1, так что:

Y = X П+ U = X B Г_1+ Er 1.

Если ограничения не учитываются, то имеем неограниченную приведен-ную форму. Неограниченная приведенная форма представляет собой систему внешне не связанных уравнений с одной и той же матрицей регрессоров во всех уравнениях. Таким образом, коэффициенты в ней можно оценить с помощью ОМНК.

Рассмотрим два подхода к оцениванию системы одновременных уравнений методом максимального правдоподобия.

FIML

Метод максимального правдоподобия, использующий полную информацию, (full information maximum likelihood) называется так, потому что он использует всю информацию об ограничениях, в том числе информацию о том,

что часть коэффициентов равна нулю и П= B Г1.

Для применения ММП предположим, что Ei ~ NID(0, О), то есть ошибки имеют нормальное распределение; ошибки, относящиеся к одному и тому же номеру наблюдения i коррелированы с матрицей ковариаций О, а относящиеся к наблюдениям с разными номерами — некоррелированы.

Матрицы Г, B , О нужно оценить.

l = - m ln 2п - 1 ln |О | - 2 Ei Q-1EiT.

Заменим Ei на Yi Г- Xi B, при этом в функцию правдоподобия нужно добавить якобианный член, соответствующий преобразованию Yi в Ei. Якобиан этого преобразования равен

т dYi ^

J = dEi - Г

Таким образом, якобианный член равен ln (abs| Г|).

Просуммируем функции правдоподобия отдельных наблюдений:

= Z i 1i = - Nm ln 2п + N ln (abs| Г|) - N ln |Q | -

- 2 Z i Е(Г B) ат1Ег(г B)T.

Концентрируем функцию правдоподобия по Q. В максимуме

——1 = N ^ - 1 Z i Ei Ei = n ^ - 1 Е TE =0.

д Q 1 2 2 111 2 2

Отсюда имеем:

П(Г B) = N (УГ- X B)J(Yr- XB)

Концентрированная функция правдоподобия равна

c N T

c = N ln (abs| Г|) - у ln |(УГ- XB)T(УГ- X B) | + const.

Можно переписать ее в другом виде:

— c = - Nln | (УГ- XB)T(УГ- X B) | + const = 2 | Г\\

= - N ln | (Y - XB^fY - XB^1) | + const.

Последнее выражение совпадает с концентрированной по матрице кова- риаций функцией правдоподобия для ограниченной приведенной формы. Причина этого заключается в том, что структурная и ограниченная приведенная формы являются только различными способами записи одной и той же модели.

Методы оценивания систем одновременных уравнений довольно громоздки. Хорошие результаты дает применение метода Ньютона, но выражение для гессиана имеет довольно сложный вид.

Опишем здесь один из возможных методов, который имеет интуитивно понятную интерпретацию, и который несложно реализовать в виде компьютерной программы.

"Очищенные" от ошибок переменные Y можно определить как

Y=X ВГ 1

Матрица соответствующих остатков U =Y - Y=Y - X В Г"1.

Используя эти обозначения, уравнения системы Yt = Y- i Yl + ХД + si можно переписать в виде

Yt - U- Y = Y- i Y + Хфі + si,

где Yj- i — это "очищенные" переменные Y- i, и Uj- i = Y- i - Yj- i. Если рассмат-ривать в этих уравнениях U- ф и Y-1 как известные, то получаем систему внешне не связанных регрессионных уравнений.

К этим уравнениям можно применить один из итеративных методов оценивания внешне не связанных регрессий. Величины U-ф и Y_ i вычисляются на основании оценок параметров Г и В, полученных на предыдущих итерациях. Как можно показать, этот алгоритм сходится к оценкам максимального правдоподобия.

После того, как получены оценки FIML, интересно сравнить структурную форму с неограниченной приведенной формой: Y = X П+ U.

Как уже говорилось, неограниченную форму можно оценить, применяя

Л. у у

ОМНК к каждому уравнению, т. е., П= (XX)X Y, только в качестве оценки ковариационной матрицы ошибок следует взять

л 1 ^ Т /у 1 /У "Г /У

а=N U(n U(n=N (Y- X ПT(Y- XП)

1 1

= N YT(I - X (X TX)X T)Y = N YJMXY.

Логарифмическая функция правдоподобия в максимуме для ограниченной и неограниченной модели равна соответственно

Л / V Л /V IT л /V 1

—= - 2 ln | (Y- XJBJT )T(Y- XJBJT ) | + const

~ N T и —= - 2 ln | Y MX Y | + const.

Nm N

Константа в обеих формулах одна и та же и равна - ln 2п + 2 lnN.

Статистика отношения правдоподобия, равная LR = 2( — - —) имеет распределение х2 с числом степеней свободы равным количеству ограничений. Этот тест называется тестом на сверхидентифицирующие ограничения.

Поскольку неограниченную форму оценивать легче, то имеет смысл использовать ее для проверки различных гипотез. Если ограничения выполнены, то оценивая неограниченную модель мы теряем в эффективности, но оценки все же будут состоятельными. Удобно проверять таким образом регрессию на автокорреляцию остатков, гетероскедастичность, функциональную форму.

LIML

Метод максимального правдоподобия, использующий ограниченную информацию, (limited information maximum likelihood) предназначен для оценивания одного уравнения из системы одновременных уравнений.

Y1 - Y-1 Ц = Xe + *1, Y-1 = X1 B1+X-1 B-1+ E-1.

Здесь Y1 — "зависимая" переменная в первом уравнении, Y-1 — другие эндогенные переменные, входящие в первое уравнение, X1 — экзогенные переменные, входящие в первое уравнение, X-1 — остальные экзогенные переменные системы.

Удобно рассматривать данную систему уравнений как структурную форму с ограничениями на матрица Ги B.

Обозначим

1

Y = (Y1, Y-1), X = (X1, X-1), у=

-п.

MX = I - X (X TX)-1X T, M1 = I - X1(X1TX1)-1X1T.

120

Задача нахождения оценок максимального правдоподобия сводится к задаче нахождения наименьшего дисперсионного отношения:

yJYJMXYy .

Tт/гиг тт ^ mm у

Y Y M1Yy Y

Условие первого порядка минимума:

1 T yJYJMXYy T

2 т^т-ж ^ YTM1 Yy - 2 / TvT,A 2 Y MxYY= 0. Y Y M1YY w (y\'YIM1YY)2 X 1

T YJYjMxYY T ^ (YTM1Y - yTYTMVyYMxY)r= 0.

YJYJMXYY T

Отсюда следует, что yTYTMY^y — собственное число матрицы Y M1Y

(YTMXY)-1, а Y — соответствующий собственный вектор. Поскольку удобно искать собственные числа симметричной матрицы, то лучше взять матрицу

х - 1/ т т - 1/

(Y MXY) 2YtM1Y(YtMxY) 2,

которая имеет те же собственные числа и вектора.

Таким образом, метод наименьшего дисперсионного отношения сводится к задаче отыскания минимального собственного числа вещественной симметричной матрицы.