Иллюстрация

Анализ, проделанный М. Фридменом, будет проиллюстрирован с использованием метода Монте-Карло. Предположим, что 20 человек, включенные в выборку, имеют постоянный доход 2000, 2100, 2200, ..., 3900.

б = 443 + 0,75 К; Л2 = 0,89.              (8.29)

(с. о.)(179) (0,06)

Как и предполагалось, оцененная предельная склонность к потреблению оказалась ниже истинного значения. В самом деле, если построить 95-процентный доверительный интервал, используя результаты оценки регрессии, то истинное значение оказалось бы за его границами и, следовательно, было бы отклонено при 5-процентном уровне значимости. При 18 степенях свободы критический уровень / составляет 2,10; таким образом, доверительный интервал вычислялся бы как

0,75 - 2,10 х 0,06 ? р lt; 0,75 + 2,10 х 0,06,              (8.30)

или

0,62 ?рlt; 0,88.              (8.31)

Следовательно, вы допустили бы ошибку I рода. Фактически наличие ошибок измерения делает некорректной стандартную ошибку У, а значит, и доверительный интервал. Еще один побочный эффект заключается в том, что постоянный член, который должен быть равным нулю, так как он отсутствовал при расчете значений С, имеет значимо отличное от нуля (на 5-процентном уровне значимости) положительное значение.

Оценка b показывает явно отрицательно смещенную предельную склонность к потреблению. В девяти из десяти экспериментов она ниже, чем истинное значение 0,90. Проверим, согласуются ли эти результаты с выводами теоретического анализа, на основе которого получено уравнение (8.28). В нашем приме-

ре ОуТ равно 40 ООО, так как YT имеет стандартное отклонение 200. Предположим, что в больших выборках Yp принимает значения 2000, 2100, ..., 3000

2

с равной вероятностью и, следовательно, что величина оуР — конечна и равна

дисперсии этого набора чисел, составляющей 332 500. Таким образом, в больших выборках оценка коэффициента (3 будет заниженной на величину:

40000              х 0,90 = 0,11x0,90 = 0,10.              (8.32)

332500 + 40000

Следует подчеркнуть, что такой вывод справедлив только для больших выборок и что ничего нельзя сказать о поведении оценки в выборках небольшого объема. Однако в данном случае можно видеть, что на самом деле это значение представляет собой хороший ориентир. Проанализировав оценки коэффициента р в 10 указанных экспериментах, мы видим, что они, по-видимому, случайно распределены вокруг 0,80 (а не 0,90) и что таким образом имеется отрицательное смещение приблизительно на 0,10.

Последствием занижения оценки b является завышение оценки а, которое оказывается положительным, несмотря на то что истинное значение а равно нулю.

Что произойдет, если мы увеличим дисперсию YT, оставив все остальное без изменения? В данных серии Б из табл. 8.1 первоначальные случайные числа

умножались на 400 вместо 200, поэтому величина ъ\\т составила 160 000 вместо

40 000. Значение ошибки в выражении (8.28) теперь равно 160 000/(332 500 + + 160 000), что составляет 0,32, поэтому можно предполагать, что в выборках увеличивающегося объема b будет стремиться к (0,9 — 0,32 х 0,9), то есть к 0,61. Мы снова видим, что это хороший ориентир, позволяющий судить о подлинном поведении Ь, несмотря на то что в каждой выборке содержится всего лишь 20 наблюдений. Как и следовало предполагать, значения оценки а здесь даже больше, чем в серии А.

Неограниченный рост Var (Yp)

у

Если Var (У) неограниченно увеличивается, а орг конечна, то в принципе

смещение исчезнет по мере роста числа наблюдений в выборке. Тем не менее в малых выборках оно может быть значительным, и могут потребоваться поправки — либо по методу, который использовался М. Фридменом, либо по методу, рассматриваемому в следующем разделе.