Иллюстрация, основанная на методе Монте-Карло

Проведенный нами анализ проиллюстрируем при помощи эксперимента, являющегося одной из вариаций метода Монте-Карло, рассмотренного в разделе 5.4. Предположим, что доход в какой-то стране определяется продолжительностью обучения (5), индексом интеллекта (IQ) и степенью удачи.

у= 10 000 + 1500 (S - 10) + 250 (IQ -85) + и.              (6.8)

После упрощения это уравнение становится таким:

у = -26250 + 15005+ 250IQ + и.              (6.9)

Первые три колонки в табл. 6.1 представляют данные для воображаемой выборки из 20 человек. Значения S и IQ выбраны произвольно, но они оказываются положительно коррелированными. Положительная корреляция этих величин наблюдается во многих странах, и одним из объяснений (но ни в коем случае не единственным) является то, что студенты с большими способностями чаще выдерживают конкурсные экзамены, определяющие рейтинг для допуска к продолжению образования. Значения величины и были определены путем получения выборки из 20 наблюдений нормально распределенной случайной величины с нулевой средней и единичной дисперсией и умножения каждого наблюдения на 2000. В табл. 6.1 показаны также итоговые значения величины*, полученные по формуле (6.9).

Исследователь изучает факторы, определяющие доход в данной стране, не подозревая важности величины IQ, и оценивает парную регрессионную зависимость дохода от продолжительности обучения в годах:

y = a + bxS.              (6.10)

?=-6418 + 19855; Л2 = 0,78.              (6.11)

(с.

К несчастью для исследователя, величины 5 и IQ коррелированы. Для данной выборки выражение Cov (5, ІО)/Чат (5) равно 1,29. Таким образом,

т) = Р, + Р2              = 1500 + 250 х 1,29 = 1823.              (6.12)

Поскольку исследователь не включил в уравнение величину IQ, то оценка коэффициента при 5 будет иметь положительное смещение на 323. Конечно, фактически полученная оценка может равняться 1823, но это будет просто совпадением, если только фактор удачи примет нулевое значение. Мы видим, что исследователь фактически получил несколько более высокую оценку, равную 1985. Различие объясняется влиянием остаточного члена в данной выборке.

Если бы исследователь включил в уравнение регрессии переменную IQ, то результат оценивания для той же выборки получился бы следующим:

?=-29 586+ 16405+268/Q; А2 = 0,93.              (6.13)

(с. о.) (4155)              (151)              (43)

Полученные исследователем оценки коэффициентов были бы несмещенными и, по крайней мере в данном случае, существенно более близкими к их истинным значениям.

Очевидно, что как полученное исследователем уравнение регрессии, так и уравнение, составленное с использованием правильной спецификации, зависят от фактических значений случайного члена в выборке, и было бы несправедливо придавать большой вес одному эксперименту, даже если он дает предсказуемые результаты. В соответствии с этим данный эксперимент был проведен еще 9 раз с использованием тех же значений величин 5 и IQ в каждом наблюдении и тех же значений величин а, р, и р2, но с различными наборами случайных реализаций остаточного члена.

Результаты оценивания соответствующих регрессий даны в обобщенном виде в табл. 6.2. Из этой таблицы можно видеть, что полученные результаты подтверждают наши прежние выводы. Исследователь получает оценки коэффициентов при 5, которые произвольно разбросаны около смещенного числа 1823 (их среднее значение равно 1854). При правильной спецификации оценки разбросаны вокруг истинного значения, равного 1500.

А что бы произошло, если бы исследователь вместо величины IQ не включил в уравнение регрессии переменную 5? В этом случае величина IQ частично действовала бы в качестве переменной сама по себе и отчасти в качестве заменителя отсутствующей переменной 5. Повторением проведенного выше анализа, можно показать, что ее коэффициент был бы смещен на величину P,Cov (5, IQ)f4ar (IQ). Поскольку Р, = 1500 и Cov (5, IQ)/Чат (IQ) = 0,104, то коэффициент был бы смещен вверх на величину, равную 156, и его математическое ожидание составило бы 406. Такой вывод подкрепляется оценивани-

ем регрессии с использованием данных из первой части табл. 6.1. В результате получим:

9 = -25488 + 438/0;              R2 = 0,47.              (6.14)

(с.о.) (11362)              (109)