КРАТКИЕ ВЫВОДЫ

При оценке премии опциона не играет роли вероятностное рас­пределение курса акции и величина ее ожидаемой доходности, но имеет значение стандартное отклонение доходности акции.

Стоимость опционного контракта определяется не самостоятель­но, а опосредованно через оценку стоимости безрискового портфеля, который инвестор может сформировать из опционов и базисных ак­тивов.

Премия опциона на акцию равна дисконтированной стоимости его цен к моменту истечения контракта, где весами выступают риск- нейтральные вероятности роста и падения цены акции. В качестве ставки дисконтирования выступает ставка без риска.

Дифференциальное уравнение Блэка-Шоулза не включает пара­метр ожидаемой доходности акции. Это означает, что при оценке стоимости производного инструмента данная переменная не учиты­вается. Если два инвестора имеют разные оценки ожидаемой доход­ности акции, но их мнения относительно дисперсии ее доходности совпадают, то они одинаковым образом оценят стоимость производ­ного инструмента на эту акцию.

Модель Блэка-Шоулза предполагает, что процентная ставка и стандартное отклонение доходности акции являются константами, доходность акции имеет логнормальное распределение, цена акции следует процессу Ито.

Лемма Ито показывает зависимость между небольшим измене­нием значения случайной переменной и небольшим изменением функции этой случайной переменной. Для случайной переменной она выполняет такую же роль как и формула Тейлора для детерми­нированной переменной.

Пусть теперь функция G - это функция стохастических перемен- UL.IY v м / nnom/mmiJiY пплі Mttv

Пусть функция G - это непрерывная, дифференцируемая функ­ция двух не стохастических переменных х и у.

Если переменные функции G не следуют процессу Ито, то при стрем­лении dx и dt к нулю мы получим такой же результат как и в формуле (П.10.2), опустив слагаемые более высоких порвдков. Однако, когда пере­менная х(/) не определена четко, а следует процессу Ито, то нельзя

непосредственно использовать приведенное выше правило дифференци­рование, а надо использовать лемму Ито. Лемма Ито - это стохастический эквивалент существующему правилу дифференцирования. В рамках про-

цесса Ито переменная dx2 имеет размерность dt, и ее уже нельзя ис­ключать. Это можно показать следующим образом. Возведем уравнение (П. 10.3) в квадрат, опустив для удобства запись аргументов:

Как видно из уравнения (П. 10.5), элемент dx2 включает в себя сла­гаемое b2z2dt, которое имеет порядок dt, и поэтому его следует учесть в уравнении (П.10.4).

Дисперсия стандартной нормально распределенной величины равна единице. Используя формулу определения дисперсии, можно записать:

где символ £(■) означает ожидаемое значение или математическое

ожидание величины, стоящей в скобках.

Ожидаемое значение стандартной нормально распределенной

ожидаемое значение равное20 dt и дисперсию порядка21 dt2.

можно рассматривать уже как нестохасти­

ческую и равную ее ожидаемому значению dt, так как ее диспер­сия в этом случае стремится к нулю. Поэтому нестохастической

становится и сама величина dx2. На основании уравнения (П.10.5)

ее значение при dt -> 0 равно b2dt. В результате уравнение (П.10.4) принимает вид:

Уравнение (П. 10.7) представляет собой лемму Ито.

Подставим в уравнение (П.10.7) уравнение (П.10.3), получим формулу изменения цены производного актива:

или

где dW - процесс Винера.

Если в качестве базисного актива выступает акция, изменение цены которой задается формулой (10.24), то формула (П.10.8) принимает вид: