2.4. Наращенная сумма и современная стоимость других видов постоянных рент

Рассмотрим ренты, которые отличаются от рассмотренных выше по применяемым процентным ставкам, срокам платежей, способу начисления процентов, моментом производства платежей.

(7)

(пю -1)/

2 р .

Смешанные ренты.

Срочные ренты (р > 1), у которых на платежи в пределах года начисляют простые проценты, а за годовые периоды - сложные, называют смешанными рентами. Современную величину Асм и наращенную сумму SCM таких рент определяют по формулам

Дм. = /?1 ¦ SCM = Я, • Я, = Я||t \\ ¦ (8)

Рента с простыми процентами. Современную величину А и наращенную сумму р-срочной ренты продолжительностью п лет с годовой ставкой простых процентов і и годовым членом R определяют по формулам где R - годовой член ренты, ап.,, sn. i - коэффициенты при-ведения и наращения обычных годовых рент (р = т = 1), г — годовая ставка процентов.

Рента с периодом, превышающим год. Пусть период ренты г > 1, проценты начисляются раз в конце года по ставке і годовых, платеж в конце периода равен Rn срок ренты п кратен г. Тогда наращенная сумма S и современная величина А равны:

(9)

S = Rr—, A = Rr

Sri

Вечная рента. Рента, число выплат которой бесконечно, называется вечной рентой. Современная величина Ах вечной р-срочной ренты, с m-разовым начислением процентов в году по номинальной ставке / с годовым членом R

(10)

где S и А - наращенная сумма и современная величина соответствующей немедленной ренты постнумерандо.

Отложенная рента. Начало действия отложенной, или отсроченной, ренты начинается спустя t лет после подписания финансового контракта. Очевидно, что запаздывание на t лет в выплате платежей по сравнению с обычной рентой не влияет на величину наращенной суммы отложенной (отсроченной) ренты. По иному обстоит дело с современной величиной отложенной ренты: она равна дисконтированному значению современной величины немедленной ренты (период дисконтирования равен величине t отсрочки платежей). Дисконтный множитель должен соответствовать применяемым процентным ставкам и способу начисления процентов. Так, например, наращенная сумма St и современная величина At отложенной р-срочной ренты постнумерандо с m-разовым начислением процентов в году равны:

Рента пренумерандо. Ренты с выплатам\'- в начале периода называются рентами пренумерандо. При вычислении наращенной суммы и современной величины ренты пренумерандо можно использовать следующий прием. Все иыплаты путем наращения вывести на конец соответствующих периодов и к вновь полученной ренте постнумерандо применить обычные формулы для вычисления наращенной суммы и современной величины ренты.

Так, например, наращенная сумма S и современная величина А р-срочной ренты пренумерандо, с m-разовым начислением процентов в году равны:

где 5 и А - наращенная сумма и современная величина соответствующей ренты постнумерандо.

Из этих формул следует, что наращенная сумма и современная величина рент пренумерандо больше соответствующих величин рент постнумерандо.

Наращенная сумма Sl/2 и современная величина Ах/2 р-срочной ренты cm- разовым начислением процентов в году равны:

где S и А - наращенная сумма и современная величина р-срочной ренты постнумерандо с m-разовым начислением процентов в году.

Ренты со случайными параметрами. В ряде случа ев, когда один или несколько параметров ренты заранее не известны, их можно рассматривать как случайные величины с заданным или прогнозируемым законом распределения. Наращенная сумма и современная величина ренты в этом случае будут также случайными величинами. В таком случае естественно вести речь о вычислении среднего значения и дисперсии наращенной суммы или современной величины ренты. Если эти значения не удается вычислить аналитически, их можно оценить, моделируя значения соответствующих случайных величин.

Пример 2.4.1. Фонд создается в течение б лет. На собранные средства начисляется 9,2% годовых. Годовые платежи в сумме 36 тыс. $ поступают в конце каждого квартала. Первые 4 года использовалась смешанная форма начисления процентов, затем она была отменена. Чему равна наращенная сумма фонда в конце шестого года?

Впервые четыре года использовалась смешанная форма начисления процентов. Поэтому, в силу формулы (8), находим наращенную сумму фонда к концу четвертого года (р = 4):

с ос U . 3 - 0,092\\ QC Л , 3 • 0,092\\ 1,0924 - 1 1 \\ 8 J • S4;9.2 = 36 • р + — )¦ 0,092 =

= 170,81545 тыс. Чтобы получить сумму фонда к концу

шестого года, оставшиеся два годовых платежа и S, выведем,

путем наращения, на финальную дату и просуммируем: S =

Доходы по 200 тыс. в год (со знаком плюс) образуют вечную ренту, расходы по 2 тыс. в год (со знаком минус) образуют вечную ренту пренумерандо. Стоимость участка - это современная величина А этих рент с учетом знака соответствующих членов. Используя формулу (10) с т - р - 1,

Пример 2.4.3. Фонд будет создаваться 4 года, годовые взносы в фонд в конце года составляют по 100 тыс. $. Годовые ставки процентов в фонде - г2, г3, г4, начисляемые соответственно во втором, третьем и четвертых годах, заранее не известны.

Есть основание считать, что они являются независимыми случайными величинами с распределениями вероятностей:

Для наращенной суммы фонда S вычислите: Smin, Smax, E{S}, о = JD{S}, Р{400 тыс. < S < 455 тыс.}.

> Всего имеется восемь вариантов комбинаций значений ставок процентов г2, г3, г4. Например, при г2 = 0,07, г3 = 0,08, г4 = 0,085 сумма фонда S примет следующее значение: S, =100+ 100- 1,085+ 100- 1,085- 1,08+100- 1,085 - 1,08- 1,07 = = 451,0626 тыс. Значение Sj реализуется с вероятностью р, = 0,085 • 0,08 - 0,07 = 0,06. Аналогичным образом можно вычислить остальные значения Sh і = 2,...,8, которые может принимать значение фонда S. Итак, S - случайная величина с рядом распределения вероятностей:\r\nS, тыс. 451,0626 452,185575 452,2344 453,3628\r\nP 0,06 0,24 0,06 0,24\r\n\r\nS, тыс. 454,2982 455,431525 455,4808 456,6196\r\nP 0.04 0,16 0,04 0,16\r\n

Так как закон распределения случайной величины S известен, то теперь нетрудно вычислить все числовые характеристики S: Smin =451062,6 $, Smax = 456619,6 $, E{S} = 453848,77 $, О =Vd{S} =5139,98 $, Р{400 тыс. < S < 455 тыс.} = 0,64. ¦

2.4. Наращенная сумма и современная стоимость других видов постоянных рент

Еще по теме 2.4. Наращенная сумма и современная стоимость других видов постоянных рент: