2.5. Финансовые ренты в страховании

Краткосрочное страхование жизни. Это страхование на один год. Дисконтирование страховых выплат не произ-водится. Согласно договору страхования некоторое лицо (страхователь) выплачивает наперед страховой компании (страховщику) некоторую сумму а, называемую страховой премией. Страховщик обязуется выплатить наследникам застрахованного страховую сумму b в конце года в случае его смерти и не выплатит ничего, если застрахованный останется живым. Следует отметить, что сумма b намного превышает размер страховой премии а, т.е. b » а.

Пусть - случайная величина, означающая величину иска, предъявляемого страховой компании. Ряд распределения вероятностей этой случайной величины следующий:\r\n4 0 ь\r\nр Рх Чх\r\n

Здесь х - возраст застрахованного, рх - вероятность того, что он проживет еще, по крайней мере, один год, a qx - вероятность того, что он умрет в течение года, после покупки страхового полиса. Значение вероятностей рх и qx можно получить из анализа так называемых таблиц смертности, которые построены на основе статистического анализа дос-таточно большой представительной выборки отдельных социальных групп населения. Основное содержание таких таблиц - это численность 1Х людей каждого возраста х, оставшихся в живых из первоначальной совокупности в 100000. Среднее значение величины ^ (ее математическое ожидание) равно Е{?,} = b • qx.

Введем новую случайную величину г|, описывающую доход страховой компании от заключенного договора, Л = а -Е, .

Средний доход компании - это математическое ожидание Ц : Е{т\\} = а - Е{?,} = а - b ¦ qx. Очевидно, средний доход должен быть неотрицательным, т.

Если N - общее число застрахованных в возрасте х лет, то сумма S выплат всем застрахованным будет равна

1=1

где - иск г-го человека.

Пусть К - капитал, который получила компания от N застрахованных, т. е. К = N ¦ а. Очевидно, если S < К, то страховая компания успешно выполнит свои обязательства. Если S > К, то страхование N лиц будет убыточным для компании.

Вычислим вероятности этих событий. Будем предполагать, что число N застрахованных достаточно велико и случайные величины v независимы и одинаково распределены. Тогда, в силу центральной предельной теоремы, нормированная сумма S0 таких случайных величин будет иметь асимптотически нормальное распределение с матема-тическим ожиданием ноль и дисперсией равной единице, т.е. при Л^ —>

P{So < х} ^ Ф(х) =] e~*ds, (15)

где

о _ 5 - E{S}

* = ~Ш~

Таким образом, в силу (15), вероятность неразорения компании равна:

№ < к) -/^Ч ),

jDis ) J \\ да ,

Так как по предположению все иски одинаково распределены, то

E{S} = N ¦ Е{?) = N ¦ b ¦ qx,D{s} = N ¦ D{?} = N ¦ b2 ¦ рх ¦ qx.

Зададим теперь уровень (3, не выше которого допускается убыточная деятельность. Естественно, уровень р должен быть достаточно мал (обычно полагают р равным 0,05; 0,01; 0,001). Например, при р = 0,001 в среднем, в одном случае из тысячи, компания будет нести убытки. Пусть ха ~ квантиль уровня а = 1~Р функции распределения Ф(х) (сх — уровень не разорения компании). Тогда из (16) следует, что

_(a-bgx)yfN

b ¦ -JPx ¦ Ях

или

/„ u. V . ІР*1Л- ¦ h (17)

а = qx + xa- jf- ¦ b.

Разность a - a0 называется страховой надбавкой или надбавкой за безопасность, а величина 0 = (а - а^)/соотносительной надбавкой за безопасность.

9 =¦ j - Р* (18)

Пусть задан уровень не убыточности а и ;са - квантиль порядка а стандартного нормального распределения. Тогда

*« = ^fjp* = № + % • (19)

Рассмотрим ситуацию, когда в страховой компании застраховано т однородных групп, состоящих из jVh Л^, ...,Л/т человек. Вероятности умереть в течение года, для этих лиц, равны, соответственно, quq2,...,qm.Q случае смерти в течение года компания выплачивает, соответственно, суммы bi,b2,...,bm наследникам застрахованных и не платит ничего, если страховое событие не произошло.

Математическое ожидание суммарного иска, который может быть предъявлен компании, составит величину

E{S)=lNk.bk.qk (20)

и равно сумме нетто-премий для каждой группы. Дисперсия суммарного иска равна:

D{S)=lNk-bl-pk-qk, (21)

k=\\

а капитал, полученный компанией, составит, согласно (19), величину

К = E{S} + ха ¦ yjD{S}. (22 )

Страховые премии для лиц, входящих в различные группы, выразим через нетто-премии и относительную надбавку за безопасность:

а, = ooi • (1 + 8) = V <й • (1 + 0). ат = Ьт ¦ qm • (1 + 0), (23) где

e = igp. (24)

a E{S} определяется формулой (20), а К - формулой (22).

Таблицы смертности и коммутационные числа. При расчете страховых премий необходимо знать значение вероятностей дожития до определенного возраста или, наоборот, смерти в каком-то возрасте. Эти данные получают из таблиц смертности — числовых моделей процесса вымирания первоначальной совокупности людей в 100000 человек (такие таблицы публикуются, например, в журнале "Вестник статистики"). Основное содержание данных таблиц - количество 1Х лиц возраста х, оставшихся в живых из первоначальной совокупности в 100000 и количество dx , умер- ших в течение года после достижения х лет. Обозначим через qx - вероятность умереть в течение года после дос-тижения х лет, а через рх - вероятность прожить, по крайней мере, еще один год лицу в возрасте х лет. Очевидны следующие соотношения:

dx — ^х ~ ^х + 1> Чх ~ > Рх — •

\'л -t

Вероятность рхп дожить от возраста х до х + п равна:

Px.n = ljfL-

lx

А вероятность qxn умереть в возрасте от х до х + п лет равна:

1

Ях.п = 1 - Рх,п - f ¦ L di-

х i=x

Для удобства проведения расчетов при работе с условными рентами используют коммутационные функции (числа)

Dx = tx.v\\ Nx=t DrCx = dx ¦ v*+1, Mx = tq,

j=x j=x

v = (1 + i)~\\ (25)

где і - ставка дисконтирования, a to - предельный возраст в таблице смертности (например, со = 110). Если в условных рентах платежи производятся р раз в году, то для рент постнумерандо используются коммутационные числа

N^ = Nx + ^-Dx, (26)

а для рент пренумерандо - числа

(р) „ , Nx =Nx-^j-Dx. (27)