Долгосрочное страхование. Страхование на дожитие.

Суть этого вида страхования состоит в следующем.

Пусть ^ - дискретная случайная величина, означающая современную стоимость индивидуального иска:\r\n 0 Ь-\\п\r\nр Ях.п Рх.п\r\n

Среднее значение этой величины = b ¦ v" • рх

Введем в рассмотрение случайную величину Г| = а - - современная стоимость дохода компании от заключенного договора. Средний доход страховой компании от индивидуального договора

?{тт} = а - = а - b ¦ v" ¦ рхя.

Значение нетто-премии а0 , соответствует нулевому среднему доходу, т.е.

ао=Ь-упрхя = Е{%.

Значение нетто-премии aQ можно выразить через коммутационные числа:

а0 = ь • V • v" = Ь ¦1х+п \' (28)

1х 1Х ¦ VХ L>x

Пусть на дожитие застрахована однородная социальная Группа лиц в возрасте х лет численностью N (N - достаточно большое число), a S = + ... + - современная стоимость суммарного иска этой группы людей. Вероятность не разорения компании, в силу центральной предельной теоремы, будет выражаться формулой (16), в которой теперь из- менятся значения математического ожидания и дисперсии. Формула (17) была получена из формулы (16). Можно и теперь воспользоваться формулами (l 7), (18), если в них произ-вести следующие замены: рх —> qx n; qx —» рхb -ї Ь ¦ vn В результате получим:

а=*|"л.**. (2S)

г

где

11

^х.л \' , "" = 1~ <®х.п = 1 Рх,п- 1х 1х

Формула (29) дает величину страховой премии при заданном уровне не разорения а, а формула (30) определяет относительную надбавку за безопасность.

Страхование жизни на период п лет.

Пусть а - цена страхования, т.е. страховая премия, ^ - современная стоимость случайного иска, а Г|= а-^ - современная стоимость дохода компании от индивидуального договора. Случайная дискретная величина ^ задается следующим рядом распределения вероятностей (31):\r\n% 0 b-v b-v2 b-vn\r\nр Рх, п dx їх їх d-x+n-i lx\r\n

Здесь — вероятность того, что застрахованный умрет

в течение первого года действия договора и т.д. Числовые характеристики этой случайной величины таковы:

j=l lx

D{5) = E{%2} - (EW2, Е{Є} = І *2-v2/ -d*+H (зз)

7 = 1

Нетто-премия данного договора а0 соответствует нулевому среднему доходу компании, т.е. ?{т|} = 0. Значит а0 =

Пусть в компании застраховалось достаточно большое число N лиц в возрасте х лет однородной социальной группы и а - уровень надежности страхования в данной компании. Тогда страховая премия будет определяться формулой:

а = Е® + ха.^, (34)

где математическое ожидание и дисперсия определяются формулами (32), (33). Относительная надбавка за безопасность

е = (35,

Полное страхование жизни. Это предельный случай страхования на период п лет, когда п таково, что х + п = со + 1, где со - предельный возраст жизни. Для того чтобы воспользоваться формулами (34), (35), в данном случае, в (32). (33) положим п = со + 1 — х. При этом вычисление Е{?) можно упростить, используя коммутационные числа MX,DX :

<о+1-л ь ¦ Vx+\' ¦ drJ.,\' 1 (о А . vs+l • И м

т= і — j = (36)

/=1 їх ¦ V s=* DX х

В этом случае величина нетто-премии а0 будет определяться формулой (36).

Смешанное п-летнее страхование жизни. При этом виде страхования выплата страховой суммы b производится на условиях: 1) если застрахованный умер в течение срока действия договора (п лет), то страховое пособие выплачивается в момент смерти (точнее, в конце года), 2) если за этот период застрахованный не умер, то страховое пособие выплачивается в конце года х + п (х - возраст застрахованного).

В этом случае можно воспользоваться формулами (34). (35), если в ряде распределения вероятностей (31) значение 0 заменить на Ь • v", так как теперь застрахованный, дожив до х + п лет получает сумму Ь. Нетто-премию страхования а0 можно вычислить по формуле (32), если к этому значению добавить слагаемое b ¦ vn ¦ рх п .

Ренты в пенсионном страховании. Пенсионное стра-хование по существу представляет собой последовательно повторяемое страхование на дожитие. При расчете страховых премий можно было бы воспользоваться изложенным выше материалом по страхованию на дожитие. Однако, проще пользоваться соответствующими страховыми аннуитетами.

Определим вначале стоимость (нетто-премию) страхования пожизненной пенсии, выплачиваемой в размере b в конце каждого года для лица в возрасте х лет, начиная с возраста х + п. Нетто-премия - это математическое ожидание современной стоимости пенсионных выплат в размере Ь, в конце каждого года в интервале [х + п, со], где со - предельный возраст:

Oi-n-.t /,..„. ; Ю-п-Х /„.„. ;

Ах>п=Ь- ? 2І2!L.v"+I=b- ? 2ZZL. v\'+n+/ = /¦=1 /=1 їх " V *

= ь.Мхлл±і. (37)

Когда пенсии выплачиваются р раз в году (обычно р — 12), тогда (37) трансформируется в формулу

*г(р)

А[р)п = Ь ¦ . (38)

\'-\'х

Если выплаты пенсий производятся в начале каждого периода, то вместо (38) нужно использовать формулу

(й

Ax.s -b- (39)

Ограниченные страховые аннуитеты. Пусть теперь, в отличие от пожизненного страхования пенсии, выплаты производятся не пожизненно, а в течение t лет, т. е. на интервале [х + п, х + п + t]. Лицо страхуется в возрасте х лет. В этом случае страховая премия

А,л = ь ¦ Nx+n+l - (40)

обобщает формулу (37) (Na = 0).

Рассрочка взносов. При страховании премии выплачиваются часто не в виде единовременных взносов, а в виде ряда последовательных платежей, т.е. выплата страховой премии происходит в рассрочку. В этом случае при расчете нетто-премии поступают следующим образом. Вычисляют современную величину рентных платежей в страховую компанию за период рассрочки и эту величину приравнивают к стоимости страхового аннуитета, вычисляемого по од-ной из формул (37) - (40). Из полученного равенства определяют годовые платежи, которые нужно вносить в страховую компанию в период рассрочки.

Например, если годовые взносы Р (нетто-премии) вносятся в страховую компанию в конце каждого года (начиная с х лет) на протяжение т лет, а пожизненная выплата пенсии производится в начале каждого месяца, начиная с возраста х + п, то из формул (39). (40) получаем равенство:

(12)

Р ^Чг+1 ~ Nx + m + \\ , Nx + n + l

Ж Dx ¦

Отсюда находим

(12)

Р=лЛ-*лГ\' • (41)