1.1. Формулы наращения и дисконтирования

Под наращенной суммой S ссуды, депозита и любого другого вида финансовой операции понимают первоначальную величину Р вместе с начисленными на нее процентами / к концу срока финансового соглашения, т.е.

S = Р (I + п ¦ і), (1)

ніг I + п ¦ і — множитель наращения, а годовая ставка і простых процентов (rate of interest) определяется как отношение процентных денег, полученных за год, к первоначальной сумме Р, т.е.

<2>

Из формулы (2) следует, что процентный доход, полученный за год, / = Р ¦ і, а за п лет он будут в п раз больше, т.е. ЛЙ;»ОЙ для начисления процентов служит первоначальная неличина Р. Если срок финансового соглашения п измеряет- еи не н годах, а в днях то в (1) в качестве п следует взять а д. , где К - так называемая временная база, т.е. число дней в году, К = 360, 365(366). Если временная база К = 360 дней (12 месяцев по 30 дней), то говорят, что в формуле (1) используют обыкновенные, или коммерческие проценты (ordinary interest); при использовании действительной про-должительности года, К= 365(366), получают точные проценты (exact interest).

Подсчет числа дней t пользования ссудой может быть также двояким: точным и приближенным. При точном вычислении t берут фактическое число дней пользования ссудой. День выдачи и день погашения считают за один день. Для подсчета числа дней удобно пользоваться табл. 1, в ко-торой приведены порядковые номера дней в году, при этом из порядкового номера дня погашения ссуды вычитают порядковый номе(^дня получения ссуды.

Hp возможных четырех вариантов наращения процентов на практике используют три:

а) точные проценты с точным числом дней ссуды. Этот вариант (К = 365(366)) дает самые точные результаты;

б) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. Этот метод (К = 360), иногда называемый банковским, распространен в ссудных операциях коммерческих банков. Он дает несколько больший результат, чем предыдущий метод;

в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Такой метод (К = 360) применяется тогда, когда не требуется большой точности, например при промежуточных расчетах.

Разрешая формулу (1) относительно Р, получаем современное значение (present value) наращенной суммы 5:

Р = 5(1 + п ¦ І)\'1 , (3)

где (1 + п ¦ г)"1 - дисконтный множитель по ставке простых процентов.

Понятие современной величины, играющее фундаментальную роль в финансовых вычислениях, можно обобщить и

Таблица 1

Порядковые номера дат в году\r\nДни Месяцы\r\n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12\r\n1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335\r\n2 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336\r\n3 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337\r\n4 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338\r\n5 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339\r\n6 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340\r\n7 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341\r\n8 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342\r\n9 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343\r\n10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344\r\n11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345\r\n12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346\r\n13 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347\r\n14 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348\r\n15 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349\r\n16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350\r\n17 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351\r\n18 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352\r\n19 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353\r\n20 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354\r\n21 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355\r\n22 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356\r\n23 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357\r\n24 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358\r\n25 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359\r\n26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360\r\n27 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361\r\n28 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362\r\n29 29 - 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363\r\n30 30 - 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364\r\n31 31 - 90 - 151 - 212 243 - 304 - 365\r\n

вычислить современное значение на промежуточный момент rtj, 0 < пх< п\\

(4)

Р = S(1 + (п - щ) ¦ і)"\' -

Формулу (1) можно обобщить на случай, когда ставка процентов і меняется кусочно-постоянным образом от одного интервала к другому: на интервале длительностью пк

действует ставка простых процентов ik, k = \\/п ; п = ?пк.

k=\\

этом случае

Разрешая формулу (5) относительно Р, можно определить современное значение наращенной суммы S по пере-менной ставке простых процентов.

Начисление процентов на первоначальную величину Р не является единственно возможным способом начисления процентов.

Если за базу для начисления процентов взять не Р, а наращенную сумму S, то приходим к определению годовой банковской учетной ставки:

(6)

где / = S - Р - процентные деньги, полученные за год.

(7)

Р = S (/ - п ¦ d),

где 1 - п ¦ d — дисконтный множитель по банковской учетной ставке d.

Формулу (7) иногда называют формулой для определения величины ссуды, выдаваемой с удержанием процен-

Из (6) вытекает, что процентные деньги за год ! = d ¦ S, а за п лет они будут в п раз больше: / = 5 - Р = ndS, т.е. базой для начисления процентов служит наращенная сумма S. Из последней формулы получаем, что современная величина S, определенная в момент времени п, в начальный момент времени составляет значение

тов вперед. Формула (7) используется при учете векселей, причем п = , где t - число дней от момента учета до

Л

даты погашения векселя, а временная база К, как правило, равна 360 дней. Наращение по банковской учетной ставке d, как следует из (7), вычисляем по формуле

S = Р(\\ - п ¦ d)~l, (8)

где (1 - п ¦ d)~l ~ множитель наращения по банковской учетной ставке.

Формулы (7), (8) имеют смысл для п < ^. Дисконтирование S можно проводить по переменной годовой банков-ской учетной ставке

/л \' / „.

P = S\\\\-Y.nk dk . (9)

V *=«

где dk - банковская учетная ставка, действующая на интервале длительностью nk, п = ^nk .

k=\\

Годовые ставки процентов і и d называют ставками простых процентов, поскольку соответствующие процессы наращения и дисконтирования по этим ставкам развиваются линейно.

В долгосрочных финансово-кредитных операциях (п > 1), если проценты не выплачиваются сразу же после их начисления, а присоединяются к сумме долга (капитализируются), как правило, применяют сложные проценты (compound interest).

Наращенная сумма долга по годовой ставке сложных процентов за п лет определяется формулой

S = Р(\\ + і)" , (10)

где (1 + і)" - множитель наращения по годовой ставке сложных процентов.

і

Из (10) вытекает, что современная величина

Я = S(1 + [уп , (11)

где (1 + г) " - дисконтный множитель по годовой ставке сложных процентов.

Если ставка сложных процентов меняется от периода к периоду (на периоде длительностью nk действует ставка сложных процентов ik), наращенная сумма

5 = + . (12)

k=l

Разрешая формулу (12) относительно Я, можно найти современную величину S по плавающей ставке сложных

процентов.

Если срок п для начисления сложных процентов не является целым числом, т.е. п = а + Ь, где а - целое число лет, a b - дробная часть года, 0 < b < 1, то для вычисления наращенной суммы можно использовать два метода. Согласно общему методу расчет ведется непосредственно по формуле (10). По смешанному методу за целое число лет начисляют сложные проценты, а за дробную часть года - простые, т. е.

Sx = Я(1 + г\')а(1 + b-i). (13)

Смешанный метод дает большее значение наращенной суммы, чем общий метод, > S.

В современных условиях проценты могут капитализироваться по сложной годовой ставке / не один, а т раз в году, через равные промежутки времени \\ /т. В таком случае для вычисления наращенной суммы можно использовать формулу (10), в которой под ставкой і следует понимать ставку процентов за период //т, а п будет обозначать число п ¦ т таких периодов, т.е.

/ • \\т :7

S = p(l + -l) (14)

/ ; У" "

где 1 + -і- - множитель наращения по номинальной ставке j с т-разовым начислением процентов в году

Из (14) получаем, что современная величина S равна

/ > Л л! л

P = Sl + -L\\ , (15)

\' т і

где (1 + - дисконтный множитель по номиналь-

А т; .

ной ставке /.

Если устремить т к бесконечности, то промежуток 1 /т между начислениями процентов будет стягиваться к нулю, и проценты будут начисляться непрерывно.

-8 л

S = Р ей п, Р - S - е

где еЬп , е Ъп соответственно множители наращения и дисконтирования по годовой постоянной ставке непрерывных процентов 5.

Если сила роста изменяется во времени, т.е. 5 = 5(0, то наращенная сумма и современная стоимость определяются как

jmdt

(16)

S = Р ¦ е°

Р = S- е 0

По аналогии с номинальной ставкой сложных процентов вводится номинальная учетная ставка / с m-разовым дисконтированием в году, т.е. каждый раз по ставке / /т. В таком случае

H\'-r.s-KP ¦»НГ К)"

(17)

- соответственно, дисконтный множитель и множитель наращения

Пример 1.1.1. На годовой депозит можно положить денежные средства под 10% годовых, а на полугодовой - под 9,75% годовых. Что выгоднее, положить свободные денежные средства на годовой депозит, или два раза воспользоваться полугодовым депозитом, не снимая проценты? Чему будет равна выгода, если имеется 100 тыс. $ и одним потерянным днём при переоформлении депозита можно пренебречь?

Если денежные средства положить на годовой депозит, то наращенная сумма S = 100 1,1 = 110 тыс. $. Если два раза воспользоваться полугодовым депозитом, то наращенная сумма 5, = 10о(1 + йОр) = 109,98766 тыс. $. Выгоднее воспользоваться ГОДОВЫМ депозитом и выигрыш S - S[ = = 12,34 $. ¦

Пример 1.1.2. На сумму долга в течение 4 лет начисляются проценты по ставке 9% годовых. Насколько возрастёт наращенная сумма, если проценты будут капитализироваться поквартально?

При ежегодной капитализации процентов множитель наращения равен 1,094, а при ежеквартальной капитализации - + , т.е. он будет больше в 1,011363032 раза. Наращенная сумма увеличиться на 1,136%.