Ситуации

Ситуация 1. Супермаркет «Север».

«Север» — недавно открытый супермаркет в Северном административном округе Москвы, где существует большая конкуренция между подобными магазинами.

Новый управляющий Петр Перфилов понимает, что при высокой конкуренции покупатели скорее пойдут туда, где им предложат лучшее обслуживание и более широкий ассортимент товаров. Он гордится своим магазином, большим выбором различных сортов мяса и сыра, а также мясным прилавком, где покупатель может попробовать нарезки мяса и птицы. Петр уверен, что быстрое и эффективное обслуживание может привлечь покупателей и повысить конкурентоспособность. Он ввел систему безналичных расчетов за покупки и внедрил службу «Доставка на дом», чтобы сделать приобретение покупок более удобным, особенно для пожилых горожан. Следующий этап — установка новых кассовых аппаратов, недавно появившихся в сфере обслуживания. Основной вопрос: сколько аппаратов следует установить? Слишком много — нежелательно. Но не потому, что появятся дополнительные издержки. Более важный аспект — эффективное использование площадей. Планируя новый дизайн системы контроля, Петр собрал данные о нескольких последовательных субботних, наиболее посещаемых, утренних часах в своем магазине. Он заметил, что покупатели прибывают на контроль приблизительно по 10 человек в час. 20% покупателей оплачивают 10 или менее наименований продуктов, и в среднем их обслуживают в течение 2 мин, в то время как на покупателей с более чем 10 товарами кассир затрачивает по 4 мин. Задание

Помогите Петру определить, сколько новых кассовых аппаратов следует установить.

— 3, 3—2, 4—4, 5—2, 6—1.

ц (ц - X) 36 (36 - 24)

= 0,0556 ч = 3,33 мин;

Ответы и решения Ответы на вопросы: 1—4, 2 Задача 1.

Решение. Рассматриваем модель А. Среднее число клиентов в очереди

среднее число клиентов в системе

среднее время ожидания

среднее время, которое клиент проводит в системе,

1 1

W-

= 0,083 ч = 5 мин.

Ц - X 36-24

В среднем за 5 мин прибывают (24 : 60) • 5 = 2 клиента.

Вероятности того, что 0, 1, 2, 3 клиента прибудут за 5 мин, найдем по формуле, описывающей вероятность поступления заявок в систему (т.е. по закону Пуассона):

е~2 • 2° е-2 . 2\' Р(0)-— 0,135; p(l) = 0,27;

е-2 • 23 е-2 • 22 />(2)=— 0,27; ,(3)_i_ = o,i8.

Вероятность того, что в течение 5 мин прибудут более 3 клиентов, равна 1 - [р(0) +р(1) +р(2) +р(3)] = 1

- (0,135 + 0,27 + 0,27 + 0,18) = 0,145. Вероятность того, что фактическое время обслуживания заявки t не превысит заданной величины t, подчинена экспоненциальному закону и может быть определена по формуле р(ї < t) = 1 - e-tm, где средний темп обслуживания m = 0,6 клиента в минуту:

а) вероятность того, что время обслуживания не превысит 1 мин, р(t < 1) = 1 - e-0\' \'1 = 0,45;

б) вероятность того, что время обслуживания не превысит 2 мин, р(t < 2) = 1 - e-0\'6\'2 = 0,70;

в) вероятность того, что время обслуживания составит более 2 мин, равна 1 -р(t < 2) = 0,30.

Вероятность того, что прибывающему клиенту придется ждать обслуживания,

X 24

г = = 0,667.

ц 36

Вероятность того, что в системе находится п клиентов, можно найти, используя предельные вероятности одноканальной системы с неограниченной очередью:

а) 0 клиентов:

* 24

Ро = 1-Т=1~"зб"=0\'33;

\r\nParameter Value Parameter Value\r\nM/M/l (exponential service times) Average server utilization 0,667\r\nArrival rate (lambda) 2 Average number in the queue (Lq) 1,333\r\nService rate (mu) 3 Average number in the system (Ls) 2\r\nNumber of servers 1 Average time in the queue (W^) 0,667\r\nServer cost $/time 7 Average time in the system (Ws) 1\r\nWaiting cost $/time 15 Cost (Labor + # waiting*wait cost) 27\r\n Cost (Labor + # in system*wait cost) 37\r\nСреднее время, которое клиент проводит в очереди, Wq = 0,667 ч; средняя длина очереди Lq = 1,333;

среднее время, которое клиент проводит в системе обслуживания, Ws = 1 ч; среднее число клиентов в системе обслуживания Ls = 2;

вероятность того, что система обслуживания окажется свободной, равна 1 - r = 1 - 0,667 = 0,333.

Совокупные издержки по ожиданию в очереди и оплате первому механику равны 27 долл. в час. Для второго механика X = 2 клиента в час, [і = 4 клиента в час, Смех =10 долл./ч, Сож = 15долл./ч:\r\nParameter Value Parameter Value\r\nM/M/l (exponential service times) Average server utilization 0,5\r\nArrival rate (lambda) 2 Average number in the queue (Lq) 0,5\r\nService rate (mu) 4 Average number in the system (Ls) 1\r\nNumber of servers 1 Average time in the queue (W^) 0,25\r\nServer cost $/time 10 Average time in the system (W^) 0,5\r\nWaiting cost $/time 15 Cost (Labor+# waiting*waitcost) 17,5\r\n Cost (Labor + # in system*wait cost) 25\r\nСреднее время, которое клиент проводит в очереди, Wq = 0,25 ч; средняя длина очереди Lq = 0,5;

среднее время, которое клиент проводит в системе обслуживания, Ws = 0,5 ч; среднее число клиентов в системе обслуживания Ls = 1;

вероятность того, что система обслуживания окажется незанятой равна 1-r = 1-0,5 = 0,5. Совокупные издержки по ожиданию в очереди и оплате второму механику равны 17,5 долл. в час. По результатам расчетов можно сделать вывод, что следует нанять второго механика. Ответы: 1. Второго механика. 2. 17,5 долл./ч. Задача 3. Решение.

Заполним модель М/М/1 с одним продавцом (он же является кассиром) (1 = 15 покупателей в час, m = 20 покупателей в час): \r\nParameter Value Parameter Value Value*60\r\nM/M/l (exponential service times) Average server utilization 0,75 \r\nArrival rate (lambda) 15 Average number in the queue (Lq) 2,25 \r\nService rate (mu) 20 Average number in the system (Ls) 3 \r\nNumber of servers 1 Average time in the queue (Wq) 0,15 9\r\nServer cost $/time 3 Average time in the system (fVs) 0,2 12\r\nWaiting cost $/time 2 Cost (Labor + # waiting*wait cost) 7,5 \r\n Cost (Labor + # in system*wait cost) 9 \r\nСреднее время, которое покупатель проводит в очереди, Wq = 0,15 ч = 9 мин; средняя длина очереди Lq = 2,25;

среднее время, которое покупатель проводит в магазине Ws = 0,2 ч = 12 мин; среднее число покупателей в магазине Ls = 3;

вероятность того, что в магазине не окажется покупателей, Р0 = 1 - r = 1 - 0,75 = 0,25.

Если нанять продавца, который бы выполнял заказ, в то время как кассир рассчитывается с покупателем (альтернатива А), увеличится темп обслуживания клиентов (m = 30 покупателей в час), система останется одноканальной. Используем для решения этой задачи модель М/М/\\:\r\nParameter Value Parameter Value Value*60\r\nM/M/l (exponential service times) Average server utilization 0,5 \r\nArrival rate (lambda) 15 Average number in the queue (Lg) 0,5 \r\nService rate (mu) 30 Average number in the system (Ls) 1 \r\nNumber of servers 1 Average time in the queue (fVq) 3.3E-02 2\r\nServer cost $/time 6 Average time in the system (И^) 6.67Е-0І 4\r\nWaiting cost $/time 2 Cost (Labor + # waiting*wait cost) 7 \r\n Cost (Labor + # in system*wait cost) 8 \r\nСреднее время, которое покупатель проводит в очереди, в этом случае сократилось до Wq = 2 мин, издержки по ожиданию в очереди и обслуживанию канала сократились до 7 долл. в час.

Если нанять второго кассира, тем самым создав в магазине двухканальную очередь (альтернатива В), темп обслуживания на каждом канале будет равен m = 20 покупателей в час. Используем для решения этой задачи модель M/M/S:

\r\nParameter Value Parameter Value Value*60\r\nM/M/S Average server utilization 0,38 \r\nArrival rate (lambda) 15 Average number in the queue (Lq) 0,12 \r\nService rate (mu) 20 Average Jiumber in the system (Ls) 0,87 \r\nNumber of servers 2 Average time in the queue (Wq) 8,18E—03 0,49\r\nServercost $/time 3 Average time in the system (И^) 5,82E—02 3,49\r\nWaiting cost $/time 2 Cost (Labor + # waiting*wait cost) 6,25 \r\n Cost (Labor + # in system*wait cost) 7,75 \r\nСреднее время, которое покупатель проводит в очереди, в этом случае сократилось до Wq = 0,49 мин,

издержки сократились до 6,25 долл. в час. Последний вариант более экономичен. Ответ: Альтернативу В. Задача 4. Решение. Заполним модель M/M/Y.\r\nParameter Value Parameter Value\r\nМ/М/1 (exponential service times) Average server utilization 0,5\r\nArrival rate (lambda) 5 Average number in the queue (Lq) 0,5\r\nService rate (mu) 10 Average number in the system (Ls) 1\r\nNumber of servers 1 Average time in the queue (И^) 0,1\r\nServercost $/time 75 Average time in the system (И^) 0,2\r\nWaiting cost $/time 100 Cost (Labor + # waiting*wait cost) 125\r\n Cost (Labor + # in system*wait cost) 175\r\nВероятность того, что док будет пуст, Р0 = 1 - 0,5 = 0,5; среднее число судов в очереди Lq = 0,5; среднее время ожидания обслуживания Wq = 0,1 ч = 6 мин; среднее время пребывания в доке Ws = 0,2 ч = 12 мин.

Построим двухканальную систему обслуживания:\r\nParameter Value Parameter Value\r\nM/M/S Average server utilization 0,25\r\nArrival rate (lambda) 5 Average number in the queue (L ) 3.33E-02\r\nService rate (mu) 10 Average number in the system (Ls) 0,53\r\nNumber of servers 2 Average time in the queue (W^) 6.67E-03\r\nServercost $/time 75 Average time in the system (W^) 0,11\r\nWaiting cost $/time 100 Cost (Labor + fr waiting*wait cost) 153,33\r\n Cost (Labor + # in system*wait cost) 203,33\r\nСтепень загрузки системы сократилась до 0,25, совокупные издержки увеличились на 28 долл. в час

(203 - 175 = 28). Необходимости в строительстве второго дока нет. Ответы: 1. 0,5. 2. 0,5 судна. 3. 6 мин. 4. 12 мин. 5. Нет необходимости.

Задача 5. Решение. Используем модель ММ/1: „___\r\nParameter Value Parameter Value\r\nM/M/l (exponential service times) Average server utilization 0,75\r\nArrival rate (lambda) 15 Average number in the queue (Lq) 2,25\r\nService rate (mu) 20 Average number in the system (Ls) 3\r\nNumber of servers 1 Average time in the queue 0,15\r\nServer cost $/time 2 Average time in the system (If,) 0,2\r\nWaiting cost $/time 3 Cost (Labor + # waiting*waitcost) 8,75\r\n Cost (Labor + # in system\'wait cost) 11\r\nЕсли приобрести второй кассовый аппарат, создав в магазине двухканальную очередь, издержки сокращаются на 4,38 долл. в час (8,75 — 4,37 = 4,38): \r\nParameter Value Parameter Value\r\nM/M/S Average server utilization 0,38\r\nArrival rate (lambda) 15 Average number in the queue (Lq) 0,12\r\nService rate (mu) 20 Average number in the system (Ls) 0,87\r\nNumber of servers 2 Average time in the queue 8.18E-03\r\nServer cost $/time 2 Average time in the system (И^) 0,06\r\nWaiting cost $/time 3 Cost (Labor + # waiting\'waitcost) 4,37\r\n Cost (Labor + # in system*wait cost) 6,62\r\nВключение третьего кассового аппарата ведет к увеличению издержек, поэтому нет необходимости в его приобретении:\r\nParameter Value Parameter Value\r\nM/M/S Average server utilization 0,25\r\nArrival rate (lambda) 15 Average number in the queue (Lq) 1,47E—02\r\nService rate (mu) 20 Average number in the system (Ls) 0,76\r\nNumber of servers 3 Average time in the queue (И^) 9,80E—04\r\nServer cost $/time 2 Average time in the system (Ж) 5,10E—02\r\nWaiting cost $/time 3 Cost (Labor + # waiting*wait cost) 6,04\r\n Cost (Labor + # in system\'wait cost) 8,29\r\nОтветы: 1.

Да, есть. 2. Нет необходимости. Задача 6. Решение.

А. Заполним модель М/М/1 (1 = 24 машины в час, m = 60/2 = 30 машин в час); одновременно заполним издержки по обслуживанию канала, включая оплату служащего, и издержки по простою клиентов в очереди:

\r\nParameter Value Parameter Value Value*60\r\nМ/М/1 (exponential service times) Average server utilization 0,8 \r\nArrival rate (lambda) 24 Average number in the queue (Lq) 3,2 \r\nService rate (mu) 30 Average number in the system (Ls) 4 \r\nNumber of servers 1 Average time in the queue (W) 0,13 8\r\nServer cost $/time 26,5 Average time in the system (И^) 0,17 10\r\nWaiting cost $/time 25 Cost (Labor+ # waiting*wait cost) 106,5 \r\n Cost (Labor + # in system*wait cost) 126,5 \r\nВероятность того, что в системе нет машин, Р0 = 1 - 0,8 = 0,2; среднее число машин в очереди Lq = 3,2; среднее время ожидания обслуживания Wq = 8 мин; среднее время пребывания в системе Ws = 10 мин; среднее число машин в системе Ls = 4;

вероятность того, что вновь прибывшей машине придется ждать, Р„>0 = 0,8. В. Используем модель М/М/1 (к = 24 машины в час, [I = 60/1,25 = 48 машин в час):\r\nParameter Value Parameter Value Value*60\r\nM/M/l (exponential service times) Average server utilization 0,5 \r\nArrival rate (lambda) 24 Average number in the queue (Lq) 0,5 \r\nService rate (mu) 48 Average number in the system (Ls) 1 \r\nNumber of servers 1 Average time in the queue ( 2,08E—02 1,25\r\nServer cost $/time 33 Average time in the system (И^) 4.17E-02 2,5\r\nWaiting cost $/time 25 Cost (Labor + # waiting*wait cost) 45,5 \r\n Cost (Labor + # in system\'wait cost) 58 \r\nВероятность того, что в системе нет машин, Р0 = 1 - 0,5 = 0,5; среднее число машин в очереди Lq = 0,5; среднее время ожидания обслуживания Wq =1,25 мин; среднее время пребывания в системе Ws = 2,5 мин; среднее число машин в системе Ls= 1;

вероятность того, что вновь прибывшей машине придется ждать, Рп>0 = 0,5. С. Используем модель M/M/S (к = 24 машины в час, [I = 60/2 = 30 машин в час):\r\nParameter Value Parameter Value Value»60\r\nM/M/S Average server utilization 0,4 \r\nArrival rate (lambda) 24 Average number in the queue (Lq) 0,15 \r\nService rate (mu) 30 Average number in the system (Ls) 0,95 \r\nОкончание таблицы \r\n Parameter Value Parameter Value Va!ue*60 \r\n Number of servers 2 Average time in the queue (W^) 6,35E—03 0,381 \r\n Servercost $/time 26,5 Average time in the system (fVs) 3,97E-02 2,381 \r\n Waiting cost $/time 25 Cost (Labor + # waiting*wait cost) 56,81 \r\n Cost (Labor + # in system*wait cost) 76,81 \r\nк Prob (num in sys = k) Prob (num in sys < k) Prob (num in sys > к)\r\n0 0,429 0,429 0,571\r\n1 0,343 0,771 0,229\r\n2 0,137 0,909 9Д43Е-02\r\n3 5.486E-02 0,963 3,657E-02\r\n4 2,194E—02 0,985 1.463E-02\r\n \r\n

Вероятность того, что в системе нет машин, Р0 = 0,43; среднее число машин в очереди Lq = 0,15; среднее время ожидания обслуживания Wq = 0,381 мин; среднее время пребывания в системе Ws = 2,381 мин; среднее число машин в системе Ls = 0,95;

вероятность того, что вновь прибывшей машине придется ждать, Р„>0 = 0,57.

Часовые издержки по обслуживанию каналов и простою клиентов в очереди в первом случае составляют 106,5 долл., во втором — 45,5 долл., в третьем — 56,81 долл. Можно сделать вывод, что вариант B для фирмы требует меньших затрат. Ответ: Вариант В. Задача 7. Решение.

При использовании одноканальной модели каждый механик находится в системе 4 мин. Определим

4 мин и l = 4 клиента в минуту. Темп

темп обслуживания клиентов m, если

Ц - X =\r\nParameter Value Parameter Value\r\nМ/М/1 (exponential service times) Average server utilization 0,94\r\nArrival rate (lambda) 4 Average number in the queue (Lq) 15,06\r\nService rate (mu) 4,25 Average number in the system (Ls) 16\r\nNumber of servers 1 Average time in the queue (И^) 3,76\r\nServercost $/time 12 Average time in the system (И^) 4\r\nWaiting cost $/time 20 Cost (Labor + # waiting*wait cost) 313,18\r\n Cost (Labor + # in system*wait cost) 332\r\nСреднее число клиентов в системе Ls = 16;

среднее время обслуживания одного клиента в системе равно Ws - Wq = 0,23 мин; среднее число клиентов в очереди Lq = 15,06. Построим двухканальную систему:

\r\nParameter Value Parameter Value\r\nM/M/S Average server utilization 0,47\r\nArrival rate (lambda) 4 Average number in the queue (Lq) 0,27\r\nService rate (mu) 4,25 Average number in the system (Ls) 1,21\r\nNumber of servers 2 Average time in the queue (Wq) 0,067\r\nServer cost $/time 12 Average time in the system (1VS) 0,30\r\nWaiting cost $/time 20 Cost (Labor + # waiting*waitcost) 29,35\r\n Cost (Labor + # in system\'wait cost) 48,18\r\nСреднее число клиентов в системе Ls = 1,2;

среднее время обслуживания одного клиента в системе равно Ws - Wq = 0,23 мин; среднее число клиентов в очереди Lq = 0,27.

В одноканальной модели издержки по ожиданию и обслуживанию выше издержек двухканальной

модели на 283,83 руб. в минуту (313,18 — 29,35 = 283,83). Ответ: Двухканальная система. Задача 8. Решение.

Используем модель M/D/1: \r\nParameter Value Parameter Value Value*60\r\nM/D/l (constant service times) Average server utilization 0,3 \r\nArrival rate (lambda) 3 Average number in the queue (Lq) 6,4E—02 \r\nService rate (mu) 10 Average number in the system (Ls) 0,36 \r\nNumber of servers 1 Average time in the queue (W) 2, IE—02 1,28\r\n Average time in the system (IVS) 0,12 7,286\r\nСреднее число автомобилей в очереди Lq = 0,064;

среднее время ожидания Wq = 1,28 мин;

в течение 30% рабочего времени система занята.

Ответы: 1. 0,064 автомобиля. 2. 1,28 мин. 3. 30% рабочего времени.

Задача 9. Решение.\r\nParameter Value Parameter Value\r\nM/M/S with a finite population Average server utilization 0,662\r\nArrival rate PER CUSTOMER 0,05 Average number in the queue (Lq) 0,721\r\nService rate (mu) 0,5 Average number in the system (Ls) 1,383\r\nОкончание таблицы

\r\nParameter Value Parameter Value\r\nNumber of servers 1 Average time in the queue (И^) 2,180\r\nPopulation size 8 Average time in the system (И^) 4,181\r\nServercost $/time 20 Effective Arrival Rate 0,331\r\nWaiting cost $/time 80 Probability that cus-tomer waits 0,591\r\n Cost (Labor + # waiting\'wait cost) 77,72\r\n Cost (Labor + # in system*wait cost) 130,6\r\n\r\nк Prob (num in sys = k) Prob (num in sys ? к) Prob (num in sys > к)\r\n0 0,338 0,338 0,662\r\n1 0,270 0,609 0,391\r\n2 0,189 0,798 0,202\r\n3 0,113 0,912 8,789E—02\r\n4 5,684E—02 0,969 3.106E-02\r\n5 0,023 0,992 8,321E—03\r\n6 6,820E—03 0,998 1.500E-03\r\n7 0,001 0,999 1.363E-04\r\n8 1,364E—04 1 0\r\nВероятность того, что все машины работают и механик простаивает, Р0 = 0,338;

среднее число ожидающих ремонта машин Lq = 0,721;

среднее число машин в системе Ls = 1,383;

среднее время ожидания начала ремонта Wq = 2,18 ч;

среднее время нахождения в системе (ожидание и ремонт) Ws = 4,181 ч.

Если нанять второго механика, получим

\r\n Parameter Value Parameter Value \r\n M/M/S with a finite population Average server utilization 0,360 \r\n Arrival rate PER CUSTOMER 0,05 Average number in the queue (Lg) 0,065 \r\n Service rate (mu) 0,5 Average number in the system (Ls) 0,786 \r\n Number of servers 2 Average time in the queue (Wg) 0,179 \r\n Population size 8 Average time in the system (iVs) 2,179 \r\n Server cost $/time 20 Effective Arrival Rate 0,361 \r\n Waiting cost $/time 80 Probability that cus-tomer waits 0,139 \r\n Cost (Labor + # waiting*wait cost) 45,17 \r\n Cost (Labor + # in system*wait cost) 102,9 \r\nк Prob (num in sys = к) Prob (num in sys < k) Prob (num in sys > к)\r\n0 0,457 0,457 0,543\r\n1 0,365 0,822 0,178\r\n2 0,128 0,950 5,018E—02\r\n3 3.836E—02 0,988 0,012\r\n4 9,589E—03 0,998 2,236E—03\r\n5 0,002 0,999 3.178E-04\r\n6 2,877E—04 0,999 3.010E-05\r\n7 2,877E—05 0,999 1,311 E—06\r\n \r\nВероятность того, что все машины работают и механик простаивает, Р0 = 0,457;

среднее число ожидающих ремонта машин Lq = 0,065;

среднее число машин в системе Lq = 0,786;

среднее время ожидания начала ремонта Wq = 0,179 ч;

среднее время нахождения в системе (ожидание и ремонт) Ws = 2,179 ч.

С экономической точки зрения выгоднее нанять двух механиков.

Ответ: Двух механиков.

Задача 10. Решение.

Используем модель с ограниченной популяцией:

\r\nк Prob (num in sys = к) Prob (num in sys < k) Prob (num in sys > k)\r\n0 0,440 0,440 0,559\r\n1 0,275 0,716 0,284\r\n2 0,155 0,870 0,129\r\n3 7.744Е-02 0,948 5,176E—02\r\n4 3.388E-02 0,982 1.788E-02\r\n5 0,013 0,995 5.174E-03\r\n6 3,970E—03 0,999 1.203E—03\r\n7 9.926E-04 0,999 2.108E-04\r\n8 1,86 IE—04 0,999 2.474E-05\r\n9 2,326E—05 0,999 1.490E—06\r\n \r\nВероятность того, что ни один грузовик не ожидает погрузки-разгрузки, Р0 = 0,44;

среднее число грузовиков в очереди Lq = 0,490;

среднее число грузовиков у магазина Ls = 1,049;

среднее время ожидания Wq = 0,219 ч = 13 мин;

Издержки по функционированию системы равны 54,48 долл. в час.

Ответ: 54,48 долл.

<< | >>

↑

Источник: Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П.. Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения:Учеб. пособие. — М.: ИНФРА-М,2003. — 444 с. — (Серия «Высшее образование»).. 2003

Еще по теме Ситуации:

- Инвестиции - История экономики - Основы экономики - Платежные системы - Политэкономия - Рынок ценных бумаг - Ценообразование - Эконометрика - Экономика предприятия - Экономическая теория - Экономический анализ -