Задачи

Определите следующие характеристики системы: среднее число клиентов в очереди; среднее число клиентов в системе; среднее время ожидания;

среднее время, которое клиент проводит в системе. Вопросы:

Сколько клиентов в среднем прибывает за 5 мин?

Каковы вероятности того, что ровно 0, 1, 2, 3 клиента прибудут за 5 мин?

Если в течение 5 мин прибывает более 3 клиентов, то возникает проблема перегруженности системы. Какова вероятность возникновения такой проблемы?

Каковы вероятности того, что время обслуживания составит: а) не более 1 мин; б) не более 2 мин; в) более 2 мин?

Какова вероятность того, что прибывающему клиенту придется ждать обслуживания?

Каковы вероятности того, что в системе находится: а) 0 клиентов; б) 3 клиента; в) более 3 клиентов? Задача 2. Автосервис решил нанять механика для того, чтобы он менял старые покрышки на новые. На

это место есть два кандидата. Один из них имеет ограниченный опыт и может быть нанят за 7 долл. в час. Ожидается, что этот механик сможет обслуживать 3 клиента в час. Другой механик более опытен, он в состоянии обслужить 4 клиента в час, но его можно нанять на работу за 10 долл. в час. Клиенты прибывают со скоростью 2 клиента в час. Компания оценивает издержки по ожиданию клиентами своей очереди в 15 долл. в час. Предполагая пуассоновское распределение прибытия и экспоненциальное — времени обслуживания, определите: среднее время, которое клиент проводит в очереди; среднюю длину очереди;

среднее время, которое клиент проводит в системе обслуживания; среднее число клиентов в системе обслуживания;

вероятность того, что система обслуживания окажется свободной при условии найма одного или

другого механика.

Какого механика следует нанять, чтобы обеспечить меньшие совокупные издержки?

Каковы минимальные совокупные издержки?

Задача 3. «У Петра» — маленький магазин с одним прилавком. Предположим, что покупатели прибывают в магазин по закону Пуассона со средней скоростью 15 покупателей в час. Время обслуживания распределено экспоненциально, средняя скорость обслуживания — 20 покупателей в час. Рассчитайте:

среднее время, которое покупатель проводит в очереди; среднюю длину очереди;

среднее время, которое покупатель проводит в магазине;

среднее число покупателей в магазине;

вероятность того, что в магазине не окажется покупателей.

Владелец магазина установил, что затраты, связанные с ожиданием, выражаются в снижении спроса и равны 2 долл. за один час ожидания. Он решил ограничить среднее время ожидания обслуживания пятью минутами. Можно попытаться достигнуть этого, реализовав одну из следующих альтернатив:

Нанять продавца, который бы выполнял заказ, в то время как кассир рассчитывается с покупателем (часовая оплата каждого — 3 долл.). Это позволит увеличить среднюю скорость обслуживания до 30 покупателей в час.

Нанять второго кассира (часовая оплата — 3 долл.), тем самым создав в магазине двухканальную очередь (средняя скорость обслуживания — 20 клиентов в час для каждого работника).

Вопрос: Какую альтернативу следует выбрать?

Задача 4. В верхнем течении Волги построена новая станция по обслуживанию речных судов. Суда прибывают по закону Пуассона со средней скоростью 5 судов в час. Время обслуживания распределено экспоненциально со средней скоростью обслуживания 10 судов в час. В среднем издержки по простою речного судна составляют 100 долл./ч, а издержки по обслуживанию дока — 75 долл./ч. Вопросы:

1. Какова вероятность того, что док будет пуст?

Каково среднее число судов в очереди?

Каково среднее время ожидания обслуживания?

Каково среднее время пребывания в доке?

Администрация станции рассматривает возможность введения в строй еще одного дока с той же скоростью обслуживания.

Задача 5. «Гибкий путь» — небольшой супермаркет в одном из районов города. Покупатели прибывают в магазин по закону Пуассона со средней скоростью 15 человек в час. На выходе из супермаркета стоит один кассовый аппарат, и обслуживает его один кассир. Время, затраченное на расчеты с клиентом, распределено экспоненциально и в среднем равно 3 мин. Владелец магазина решил приобрести второй кассовый аппарат в целях сокращения времени, проводимого клиентами в очереди, для чего необходимо нанять второго кассира. Часовая оплата кассира — 2 долл. Затраты, связанные с ожиданием в очереди, приводят к снижению потребительского спроса и оцениваются в среднем в 3 долл. за час. Вопросы:

Есть ли необходимость в приобретении второго кассового аппарата с точки зрения экономического эффекта? (Амортизационные отчисления от приобретенного кассового аппарата и затраты на его обслуживание пренебрежимо малы, поэтому в расчетах их можно не учитывать.)

Приобретение третьего кассового аппарата приведет к дальнейшему сокращению очереди, но есть ли в этом необходимость с точки зрения экономического эффекта?

Задача 6. Предприятие быстрого питания обслуживает клиентов, прибывающих на автомашинах по закону Пуассона со средней скоростью 24 машины в час. Время обслуживания распределено экспоненциально. Клиенты делают свой заказ, а затем отъезжают, чтобы оплатить и получить заказанное. Каждый час, который клиент проводит в очереди, оценивается в 25 долл. Оплата служащим равна 6,5 долл. в час. Помимо зарплаты для обеспечения работы каждого из каналов надо тратить 20 долл. в час. Рассматриваются следующие возможные конфигурации системы:

Одноканальная система с одним служащим, выполняющим заказы и принимающим оплату. Среднее время обслуживания клиента — 2 мин.

Одноканальная система с одним служащим, выполняющим заказ, и другим служащим, принимающим оплату. Среднее время обслуживания — 1,25 мин.

Двухканальная система с двумя служащими, каждый из которых выполняет заказы и принимает оплату.

Для каждой конфигурации системы определите: вероятность того, что в системе нет машин; среднее число машин в очереди; среднее время ожидания обслуживания; среднее время пребывания в системе; среднее число машин в системе;

вероятность того, что вновь прибывшей машине придется ждать. Вопрос: Какой из вариантов требует меньших затрат?

Задача 7. Механики компании «Автосервис» прибывают на главный склад за запчастями со средней скоростью 4 механика в минуту. Сейчас на складе один работник. Каждый механик в среднем находится на складе 4 мин. Найдите: среднее число клиентов в системе;

среднее время обслуживания одного клиента в системе; среднее число клиентов в очереди.

Опыт использования двух работников на складе показал, что время ожидания механиком своей очереди

снизилось. Определите для двухканальной системы: среднее число клиентов в системе;

среднее время обслуживания одного клиента в системе; среднее число клиентов в очереди.

Механик получает 1200 руб. в час, а работник отдела запчастей — 720 руб. в час. Вопрос: Какая из двух систем (одноканальная или двухканальная) более экономична?

Задача 8. Автоматическая мойка машин может обслужить 10 машин в час. Машины прибывают по закону Пуассона со средней скоростью 24 автомашины за 8-часовой рабочий день. Система одноканальная. Вопросы:

Чему равно среднее число автомобилей в очереди?

Чему равно среднее время ожидания?

Какую часть рабочего времени система занята?

Задача 9. Компания «Жалюзи на дом» решила довести число своих машин до 8. Президент компании интересуется, стоит ли в этом случае нанимать на работу второго механика в помощь к одному имеющемуся. Средняя скорость прибытия на ремонт равна 0,05 раза в час для каждой машины, средняя скорость обслуживания — 0,5 машины в час. Каждый механик получает 20 долл. в час, а стоимость простоя машины составляет 80 долл. в час. Рассчитайте следующие операционные характеристики, если компания оставляет единственного механика:

вероятность того, что все машины работают и механик простаивает; среднее число ожидающих ремонта машин;

среднее число машин в системе (машины в очереди и на обслуживании);

среднее время ожидания начала ремонта;

среднее время нахождения в системе (ожидание и ремонт).

Используя компьютерную программу, рассчитайте те же характеристики для случая с двумя механиками.

Вопрос: Сколько механиков следует нанять с экономической точки зрения?

Задача 10.

среднее число грузовиков у магазина (грузовики в очереди и на погрузке-разгрузке); среднее время ожидания в очереди.

Вопрос: Каковы часовые издержки по функционированию системы, если в час издержки на кажцый грузовик равны 50 долл., а на работы с грузовиками — 30 долл.?