Ситуации

«Синьор Помидор» — средних размеров компания, занимающаяся производством и реализацией различной продукции высшего качества из овощей и фруктов.

2 сентября 2002 г.

Как только все собрались на совещание, начальник производственного отдела компании Василий Пузиков заявил, что он захватил с собой последние результаты оценки качества поступающих

томатов. Согласно этим данным около 20% урожая имеет высшее качество А, а оставшаяся часть от всего урожая в 3 млн кг — качество В. Горский поинтересовался у Павла Лукина, отвечающего за сбыт, о спросе на продукцию из томатов на следующий год. Лукин заявил, что компания может продать столько томатов в собственном соку, сколько она сможет произвести. В то же время ожидается, что спрос на томатный сок и томатную пасту будет ограничен. Начальник отдела сбыта предоставил следующий прогноз спроса на продукцию фирмы:\r\nПродукт Цена за одну упаковку, руб. Величина спроса, количество упаковок\r\nТоматы в собственном соку 40 800000\r\nДжем из персиков 54 10 000\r\nПерсиковый сок 46 5000\r\nТоматный сок 45 50 000\r\nЯблйчный полуфабрикат 49 15 000\r\nТоматная паста 38 80000\r\nЛукин напомнил собравшимся, что цены на продукты, производимые компанией, были установлены исходя из долгосрочной рыночной стратегии и что прогноз будущих продаж основан на этих ценах.

Владимир Панкратов, начальник отдела технического контроля, ознакомился с оценками спроса, сделанными Павлом Лукиным, и отметил, что с продуктами из томатов у компании «Синьор Помидор» в следующем году проблем, видимо, не будет.

Ниже приведены полученные Лукиным результаты расчетов удельной прибыли (в руб.) для всех продуктов, производимых компанией: \r\n Томаты в собст-венном соку Джем

из перси-ков Перси-ковый сок Томат-ный сок Яблоч-ный по-луфаб-рикат Томат-ная паста\r\nЦена продажи 40 54 46 45 49 38\r\nПеременные издержки: \r\nпрямые трудозатраты 11,8 14,0 12,7 13,2 7,0 5,4\r\nнакладные расходы 2,4 3,2 2,3 3,6 2,2 2,6\r\nрасходы по реализации 4,0 3,0 4,0 8,5 2,8 3,8\r\nрасходы на упаковоч-ный материал 7,0 5,6 6,0 6,5 7,0 7,7\r\nзатраты на сырье 10,8

\\ 18,0 17,0 12,0 9,0 15,0\r\nИтого переменные издержки 36,0 43,8 42,0 43,8 28,0 34,5\r\nПрибыль 4,0 10,2 4,0 1,2 11,0 3,5\r\nПоследующие накладные расходы 2,8 7,0 5,2 2,1 7,5 2,3\r\nЧистая прибыль 1,2 3,2 -1,2 -0,9 3,5 1,2\r\nЭти расчеты были выполнены сразу после того, как компания подписала контракт на закупку урожая

томатов по цене в среднем 0,6 руб. за 1 кг. Данные о количестве сырья (свежих томатов), необходимого для производства одной упаковки продукции, приведены в следующей таблице:

\r\nПродукт Количество свежих томатов, необходимых для производства одной упаковки, кг\r\nТоматы в собственном соку 18\r\nДжем из персиков 18\r\nПерсиковый сок 17\r\nТоматный сок 20\r\nЯблочный полуфабрикат 27\r\nТоматная паста 25\r\nВасилий Пузиков обратил внимание вице-президента на то, что, несмотря на имеющиеся резервы мощностей, нельзя производить только томаты в собственном соку, так как лишь небольшая часть урожая имеет качество А. Компания использует шкалу количественных оценок качества как сырья, так и готовой продукции. Это шкала от 1 до 10, причем наибольший номер соответствует наивысшему качеству. По этой шкале каждый килограмм томатов качества А оценивается в 9 баллов, а томатов качества В — в 5 баллов.

Пузиков напомнил, что минимально допустимый уровень качества готовой продукции — 8 баллов на 1 кг томатов в собственном соку и 6 баллов на 1 кг томатного сока.

Вице-президент заявил, что не считает это реальным ограничением. Недавно компания потерпела неудачу в попытке приобрести 80 тыс. кг томатов качества A по цене 0,85 руб. за 1 кг. Однако, по мнению вице-президента, эти томаты еще можно купить. Лукин, проделавший в это время некоторые расчеты, сказал: «Я согласен с тем, что компанию ожидает благополучие, однако достичь его удастся не за счет продажи консервированных помидоров в собственном соку. Мне представляется, что издержки на закупку должны быть распределены с учетом не только количества, но и качества томатов».

Результаты проведенных им расчетов предельной прибыли одной упаковки продукта (в руб.) приведены ниже:\r\n Томаты в собст-венном соку Томатный сок Томатная паста\r\nЦена продажи 40 45 38\r\nПеременные издержки (без учета стоимости сырья) 25,2 31,8 19,5\r\nПрибыль 14,8 13,2 18,5\r\nСтоимость сырья (томатов) 14,9 12,4 13,0\r\nПредельная прибыль -0,1 0,8 5,5\r\nИз этих результатов следует, что компания должна использовать 2 млн кг томатов качества B для производства томатной пасты. Оставшиеся 400 тыс. кг томатов качества В и все томаты качества А следует использовать для производства томатного сока. Если прогноз спроса на продукцию компании оправдается, то переработка урожая томатов принесет компании 480 тыс. руб.

Пояснения. Пусть z — стоимость закупки 1 кг томатов качества А, у — стоимость закупки 1 кг томатов качества В.

Решая систему двух линейных уравнений

Г 600 000г + 2 400 000у = 3 000 000 • 0,6,

\\z/9 = y/5,

получаем: z = 0,932 руб., у = 0,518 руб.

Задания

Структурируйте задачу. Постройте модель.

Определите наилучшую производственную стратегию компании.

Проанализируйте вариант, который предусматривает возможность приобретения фирмой дополнительно 80 тыс. кг томатов качества А.

Ответы и решения

Ответы на вопросы: 1 — 4, 2 — 4, 3 —2, 4—3.

Задача 1. Решение.

Пусть Xj — количество корма j (j = 1, 2, 3, 4) в еженедельном рационе коровы. Используя пакет POMWIN, исходную информацию для решения этой задачи можно представить в виде следующей таблицы:\r\n Л1 XI A3 A4 \r\nMinimize 180 200 250 100 \r\nConstraint 1 20 40 60 10 >= 5\r\nConstraint 2 30 10 0 20 >= 3\r\nConstraint 3 30 10 0 20 <= 4\r\nConstraint 4 50 90 40 60 >= 8\r\nConstraint 5 50 90 40 60 <= 10\r\nРешая эту задачу, получаем следующий результат:\r\n XI XI A3 ЛГ4 \r\nMinimize 180 200 250 100 \r\nConstraint 1 20 40 60 10 >= 5 -4,3\r\nConstraint 2 30 10 0 20 >= 3 -3,5\r\nConstraint 3 30 10 0 20 <= 4 0\r\nConstraint 4 50 90 40 60 >= 8 0\r\nConstraint 5 50 90. 40 60 <= 10 0,2\r\nSolution 0,031 0 0,055 0,104 29,87 \r\nВ следующей таблице содержится дополнительная информация о границах устойчивости решения по правым частям ограничении:

\r\nVariable Value Reduced Cost Original Val Lower Bound Upper Bound\r\nXI 3,07E-Q2 0 180 170,8 Infinity\r\nXI 0 11,9 200 188,1 Infinity\r\nXI 5,57E—02 0 250 -30 268,24\r\nX4 0,103 0 100 —Infinity 106,11\r\nОтветы: 1. 31 кг. 2. 104 кг. 3. 191 кг.

4. 29,87 руб. 5. На 4,3 руб. 6. До 106,11 руб. за 1 т. Задача 2. Решение.

Пусть Xj — количество поливитамина j, которое включено в курс лечения. Исходную информацию для решения этой задачи можно представить в виде следующей таблицы: \r\n XI XI A3 А4 A3 \r\nMinimize 3,4 4,3 2,4 2,2 3,7 \r\nA 1,1 1,2 1,8 1,1 1,3 >= 250\r\nВ 0,9 1,1 0,7 1 1,1 >= 128\r\nС 50 60 40 30 60 >= 7000\r\nЖелезо 24 45 18 12 37 >= 3700\r\nКальций 210 340 150 260 300 >= 32 000\r\nРешая эту задачу, получаем следующий результат:

\r\n Х\\ XI ХІ Х4 Х5 \r\nMinimize 3,4 4,3 2,4 2,2 3,7 \r\nА 1,2 1,8 1,1 1,3 >= 250 -0,5\r\nВ 0,9 1,1 0,7 1 1,1 >= 128 0\r\nС 50 60 40 30 60 >= 7000 0\r\nЖелезо 24 45 18 12 37 >= 3700 -0,05\r\nКальций 210 340 150 260 300 >= 32 000 -0,004\r\nSolution 0 0 97,04 9,87 49,59 438,1 \r\nВ следующей таблице содержится дополнительная информация о границах устойчивости решения по правым частям ограничений:

\r\nVariable Value Reduced Cost Original Val Lower Bound Upper Bound\r\nXI 0 0,8 3,4 2,6 Infinity\r\nXI 0 0,1 4,3 4,2 Infinity\r\nХІ 97,04 0 2,4 2,0 3,5\r\nХ4 9,87 0 2,2 1,6 3,2\r\nХ5 49,59 0 3,7 2,6 3,8\r\nОкончание таблицы\r\nConstraint Dual Val Slack/Surplus Original Val Lower Bound Upper Bound\r\nA -0,5 0 250 233,3 369,3\r\nВ 0 4,3 128 —Infinity 132,4\r\nС 0 153,1 7000 —Infinity 7153,2\r\nЖелезо -0,05 0 3700 3558,7 3898,3\r\nКальций -0,004 0 32 000 30 725,8 58 780,9\r\nОтветы: 1. 9,87 г.

Пусть Xj — количество удобрений вида j, которое производит завод в текущем месяце. Зная затраты на

производство ингредиентов и цену готового удобрения, определяем прибыль на 1 т удобрения 1: 400 - (0,05-360 + 0,1-240 + 0,05-200 + 0,8-100) = 268 руб.

Другие виды удобрении приносят прибыль соответственно 363, 250 и 312 руб. за тонну. Исходную информацию для решения этой задачи можно представить в виде следующей таблицы:\r\n XI XI X3 X4 \r\nMaximize 268 363 250 312 \r\nConstraint 1 0,05 0,05 0,1 0,1 <= 10\r\nConstraint 2 0,1 0,1 0,1 0,05 <= 15\r\nConstraint 3 0,05 0,1 0,1 0,05 <= 12\r\nConstraint 4 0 0 1 0 >= 10\r\nРешая эту задачу, получаем следующий результат:

\r\n XI XI Xi X4 \r\nMaximize 268 363 250 312 \r\nConstraint 1 0,05 0,05 0,1 0,1 <= 10 1746,7\r\nConstraint 2 0,1 0,1 0,1 0,05 <= 15 860\r\nConstraint 3 0,05 0,1 0,1 0,05 <= 12 1900\r\nConstraint 4 0 0 1 0 >= 10 -200\r\nSolution 60 66,7 10 26,7 51 100 \r\nВ следующей таблице содержится дополнительная информация о границах устойчивости решения по правым частям ограничений: \r\nVariable Value Reduced Cost Original Val Lower Bound Upper Bound\r\nXI 60 0 268 225 363\r\nXI 66,7 0 363 268 492\r\nXI 10 0 250 —Infinity 450\r\nX4 26,7 0 312 181,5 441\r\nConstraint Dual Val Slack/Surplus Original Val Lower Bound Upper Bound\r\nConstraint 1 1746,7 0 10 8 20\r\nConstraint 2 860 0 15 12 19\r\nConstraint 3 1900 0 12 8,7 15\r\nConstraint 4 -200 0 10 0 50\r\nОтветы: 1.60т. 2. 163,4т. 3. 51 100 руб. 4. Увеличилась бы на 2000 руб. Задача 4. Решение.

Пусть Xkj — количество орехов вида j (j = 1,2, 3), которое используется для приготовления продукта к (к = 1, 2).

Прибыль может быть определена как разность между доходом и издержками: 70 (хц + Х12 + Х1з) + 65 (Х21 + Х22 + Х2э) - 75 (хп + Х21) - 60 (Х12 + Х22) - 45 (хв + Х23).

зедставить в виде следующей таблицы:

Исходную информацию для решения этой задачи можно п\r\n X\\ 1 X\\2 XLI X21 X22 XLI \r\nMaximize -5 10 25 -10 5 20 \r\nConstraint 1 1 0 0 1 0 0 <= 33\r\nConstraint 2 0 1 0 0 1 0 <= 80\r\nConstraint 3 0 0 1 0 0 1 <= 60\r\nConstraint 4 -0,88 0,12 0,12 0 0 0 <= 0\r\nConstraint 5 -0,18 0,82 -0,18 0 0 0 <= 0\r\nConstraint 6 0 0 0 -0,75 0,25 0,25 <= 0\r\nРешая эту задачу, получаем следующий результат:\r\n ЛҐ11 X12 ЛПЗ X21 Л22 Xli \r\nMaximize -5 10 25 -10 5 20 \r\nConstraint 1 1 0 0 1 0 0 <= 33 0\r\nConstraint 2 0 1 0 0 1 0 <= 80 1,7\r\nConstraint 3 0 0 1 0 0 1 <= 60 26,3\r\nConstraint 4 -0,88 0,12 0,12 0 0 0 <= 0 3,7\r\nConstraint 5 -0,18 0,82 -0,18 0 0 0 <= 0 9,6\r\nConstraint 6 0 0 0 -0,75 0,25 0,25 <= 0 13,3\r\nSolution 10,3 15,4 60 21,5 64,6 0 1710,5 \r\n

Ответы: 1.

Пусть Xkj —количество j-го ингредиента (j = 1, 2, 3), входящего в k-ю смесь (k = 1, 2, 3). Например, X32 — количество розового вина, ежедневно используемого для приготовления вина «Белые ночи». Тогда модель оптимального смешения имеет следующий вид. Критерий максимизации прибыли:

(68 - 70)х,, + (68 - 50)х12 + (68 - 40)х13 + (57 - 70)х21 + (57 - Щхп +

+ (57 - 40)х23 + (60 - 70)х31 + (60 - 50)х32 + (60 - 40)х33 -> шах. Ограничения на поставки интелиентов- *п +х2і+ *зі s 2000. х12 +XJ2 + х32 < 2500, x,3 + хи + хм < 1200.

Ограничения на содержание ингредиентов в смеси: х„ > 0,6(х„ + х12 + х13), х13<0,2(хи +х12 + х13), Ху й 0,6(Х2] +

* 0,15(х21 + х22 + Хц), х>і + х-»-» ? 0.9(х,. + +

Последняя группа ограничений может быть преобразована следующим образом: —0,4х,, + 0,6х12 + 0,6х13 < 0, —0,2хп - 0,2х12 + 0,8х13 * 0, —0,6х21 - 0,6*22 + 0,4х23 < 0, -0,85x2, + 0,15x22 + 0,15x23 * °> —0,9х31 + 0,1х32 + 0,1х33 S 0.

Кроме того, следует учесть ограничения на неотрицательность переменных.

Используя пакет POMWIN, исходную информацию для решения этой задачи можно представить в виде следующей таблицы: \r\n XII *12 X13 Л21 X12 Я23 Л31 Л32 ЛЗЗ \r\nMaxi-mize -2 18 28 -13 7 17 -10 10 20 \r\nCtrl 1 0 0 1 0 0 1 0 0 <= 2000\r\nCtr 2 0 1 0 0 1 0 0 1 0 <= 2500\r\nCtr 3 0 0 1 0 0 1 0 0 1 <= 1200\r\nCtr 4 -0,4 0,6 0,6 0 0 0 0 0 0 <= 0\r\nCtr 5 -0,2 -0,2 0,8 0 0 0 0 0 0 <= 0\r\nCtr 6 0 0 0 -0,6 -0,6 0,4 0 0 0 <= 0\r\nCtr 7 0 0 0 -0,85 0,15 0,15 0 0 0 <= 0\r\nCtr 8 0 0 0 0 0 0 -0,9 0,1 0,1 <= 0\r\nРешая эту задачу, получаем следующий результат:\r\n X\\ 1 X\\2 X13 X2\\ X22 Л23 A31 X}2 JD3 \r\nMaximize -2 18 28 -13 7 17 -10 10 20 \r\nCtr 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 <= 2000 4,4\r\nCtr 2 0 1 0 0 1 0 0 1 0 <= 2500 8,4\r\nCtr 3 0 0 1 0 0 1 0 0 1 <= 1200 18,4\r\nCtr 4 -0,4 0,6 0,6 0 0 0 0 0 0 <= 0 16\r\nCtr 5 -0,2 -0,2 0,8 0 0 0 0 0 0 <= 0 0\r\nCtr 6 0 0 0 -0,6 -0,6 0,4 0 0 0 <= 0 0\r\nCtr 7 0 0 0 -0,85 0,15 0,15 0 0 0 <= 0 0\r\nCtr 8 0 0 0 0 0 0 -0,9 0,1 0,1 <= 0 16\r\nSolution 1716 1144 0 0 0 0 284 1356 1200 51880 \r\nВ следующей таблице содержится дополнительная информация о границах устойчивости решения по правым частям ограничений:

\r\nConstraint Dual Val Slack/Surplus Original Val Lower Bound Upper Bound\r\nConstraint 1 4,4 0 2000 411,1 3883,3\r\nConstraint 2 8,4 0 2500 1244,4 16 800\r\nConstraint 3 18,4 0 1200 0 15 500\r\nConstraint 4 16 0 0 -635,6 753,3\r\nConstraint 5 0 572 \' 0 -572 Infinity\r\nConstraint 6 0 0 0 0 Infinity\r\nConstraint 7 0 0 0 0 Infinity\r\nConstraint 8 16 0 0 -1430 236,7\r\nТаким образом, максимальная ежедневная прибыль винзавода достигает 51 880 руб. При этом производится 1716 + 1144 = 2860 л вина «Черный лекарь» и 284 + 1356 + 1200 = 2840 л «Белые ночи». Вино «Букет роз» производить не следует. Поставляемые ингредиенты используются полностью.

Содержание белого вина в вине «Черный лекарь» составляет 1716/2860 = 0,6 (60%). Содержание розового вина в вине «Белые ночи» составляет 1356/2840 = 0,477 (47,7%).

Если поставки красного вина удастся увеличить до 1300 л в день, то с учетом значения двойственной оценки 18,4 ограничения на объем поставок красного вина определяем, что прибыль увеличится на 18,4 • 100 = 1840 руб. Заметим, что объем поставок остается в границах устойчивости решения.

Если поставки белого вина сократятся до 1800 л в день, то с учетом значения двойственной оценки 4,4 ограничения на объем поставок белого вина определяем, что прибыль уменьшится на 4,4 • 200 = 880 руб. Заметим, что объем поставок белого вина остается в границах устойчивости решения.

Ответы: 1. 51 880 руб. 2. 2860 л. 3. 60%. 4. Вино «Букет роз» производить не следует.

5. 2840 л. 6. 47,7%. 7. На 1840 руб. 8. На 880 руб.