Ситуации

В рамках подготовки старта космического корабля по программе совместных исследований с Национальным бюро аэронавтики (НБА) США российская компания «Космо» готовит к подписанию проект модернизации ракетного стартового комплекса на космодроме Байконур.

Первоначальный граф проекта строительства ЦЗТ приведен на рис. 3 (на схеме работы, лежащие на критическом пути, отмечены полужирной стрелкой).

Рис.3

Руководитель проекта менеджер компании «Космо» Владимир Алексеев определил время выполнения и сметные затраты для каждой работы проекта:

\r\nРабота Нормальное время выполнения, недели Затраты при нормальном времени выполнения, тыс. долл.\r\nА 3 5\r\nВ 6 14\r\nС 2 2,5\r\nD 5 10\r\nЕ 2 8\r\nF 7 11,5\r\nG 4 10\r\nИтого 61\r\nОказалось, что критический путь для данного проекта составляют работы A, D и G. При нормальном времени выполнения всех работ проект может быть реализован за 12 недель. Сметная стоимость проекта в этом случае составляет 61 тыс. долл.

Заказчика работ предлагаемый компанией «Космо» срок не устраивает. Все работы необходимо завершить за 9 недель. При этом бюджет проекта не должен превысить 80 тыс. долл. Проведя дополнительные расчеты, Владимир Алексеев оценил минимальное время на выполнение каждой работы (в неделях) и затраты при минимальном времени выполнения (в тыс. долл.):\r\nРабота Время выполнения Затраты при времени выполнения\r\n нормальное минимальное нормальном минимальном\r\nА 3 2 5 10\r\nВ 6 4 14 26\r\nС 2 1 2,5 5\r\nD 5 3 10 18\r\nЕ 2 2 8 8\r\nF 7 5 11,5 17,5\r\nG 4 2 10 24\r\nИтого 61 108,5\r\nИспользуйте метод PERT/COST для анализа продолжительности проекта и затрат на его реализацию.

Задания

Определите, можно ли выполнить проект за 9 недель.

Определите, можно ли выполнить проект за 7 недель. Если да, то с какими минимальными затратами?

Ситуация 2. Строительная компания Хоупа.

Строительная компания Хоупа активно занимается подготовкой нового проекта строительства фабрики для корпорации SBPA. Пару лет назад президенту корпорации SBPA Эрику Кляйну понравился предварительный план проектирования и строительства фабрики, подготовленный Хоупом, и он решил отдать предпочтение его строительной компании.

Хоуп поручил начальнику проектного отдела Деврону Вильямсу провести сетевой анализ работ в рамках проекта с учетом предполагаемых издержек. Вильяме дал указание своим сотрудникам разделить проект строительства фабрики на отдельные работы и установить их взаимосвязь. Для каждой работы следовало определить нормальное время ее выполнения и соответствующие затраты. Требовалось также оценить минимальное время выполнения работы и соответствующие этому времени затраты.

Результаты, представленные сотрудниками отдела, приведены в таблице (время выполнения работ указано в неделях, затраты — в тыс. долл.):\r\nРабота Содержание работы Нормаль-ное время Нормальные за-траты Мини-мальное время Макси-мальные затраты\r\nА Проектирование фабрики 12 125 10 141\r\nВ Подготовка спецификации машин и обору-дования для строительных работ 8 56 8 56\r\nС Организация бригады строителей 5 12 2 15\r\nОкончание таблицы

\r\nРабота Содержание работы Нормальное время Нормальные за-траты Мини-мальное время Макси-мальные затраты\r\nD Закупка стандартных блоков заводских конструкций 13 180 10 210\r\nЕ Подготовка места для строительства здания фабрики 4 37 4 37\r\nF Закупка фабричного оборудования 10 62 8 70\r\nG Строительство фундамента фабрики 6 18 4 19\r\nН Подготовка зоны парковки 10 80 6 180\r\nI Возведение здания фабрики 18 450 13 585\r\nJ Проведение испытания всех систем 3 20 2 35\r\nК Уборка и передача фабрики корпорации SBPA 4 8 4 8\r\nРезультаты анализа взаимосвязи работ представлены Вильямсу в следующем докладе:

Начальная работа А — спроектировать фабрику.

После выполнения проектных изысканий следуют работы В — подготовить спецификацию машин и оборудования для строительных работ, С — организовать бригаду строителей и D — закупить стандартные блоки заводских конструкций.

После завершения работ В и С строительной бригаде необходимо выполнить работу Е — подготовить место для строительства здания фабрики.

После подготовки места для строительства необходимо выполнить работу H — подготовить зону парковки.

Работу I — возведение здания фабрики — можно выполнить после того, как будут закуплены стандартные блоки заводских конструкций, подготовлено место для строительства, закуплено фабричное оборудование и построен фундамент фабрики.

После завершения строительства здания фабрики и подготовки зоны парковки компания Хоупа может приступить к работе J — проведению испытания всех систем. Затем проводится уборка (работа К) и фабрика передается корпорации SBPA.

Корпорация SBPA крайне заинтересована в том, чтобы строительство фабрики было завершено как можно быстрее. По предложению Эрика Кляйна в контракт включен пункт, предусматривающий премию в 25 тыс. долл. за каждую неделю сокращения срока выполнения проекта по сравнению с годом. В то же время контрактом предусмотрен штраф в 25 тыс. долл. за каждую неделю превышения срока выполнения проекта по сравнению с годом.

После подписания контракта Хоуп озабочен тем, чтобы завершить проект как можно раньше. По его указанию расчетный отдел провел калькуляцию накладных расходов. Первый тип накладных расходов — обычные накладные расходы в размере 22,5% от прямых затрат на выполнение работ. Накладные расходы второго типа зависят от продолжительности проекта в целом. Эти накладные расходы увеличиваются на 1500 долл. каждую неделю. Например, сокращение продолжительности проекта на 10 недель означает сокращение накладных расходов второго типа на 15 тыс. долл.

Прибыль строительной компании оценивается в размере 10% от стоимости контракта. В стоимость контракта включаются прямые затраты на выполнение работ, премиальные и штрафные санкции и накладные расходы двух типов.

Задания

1. Нарисуйте сетевой график проекта, найдите критический путь и общую стоимость контракта при нормальной продолжительности работ.

Определите продолжительность выполнения проекта, при которой прибыль строительной компании оказывается максимальной.

Ответьте на вопросы предыдущего пункта, если при определении стоимости контракта не учитываются накладные расходы второго типа.

Определите, за какое минимальное время можно выполнить проект.

Ответы и решения

Ответы на вопросы: 1—3, 2 — 3, 3 — 1, 4 — 2, 5 — 5.

Задача 1. Решение.

Найдем критический путь при нормальном времени выполнения работ. Используем для этого метод СРМ.

Введем в программу POMWIN исходную информацию, описывающую проект в виде последовательности работ: \r\nРабота Время выпол-нения, недели Предшеству-ющие работы\r\nА 3 \r\nВ 2 \r\nС 5 А\r\nD 5 В\r\nЕ 6 С, D\r\nF 2 C,D\r\nG 2 F\r\nВыполнив расчеты, получаем следующие результаты:\r\nProject 14 \r\nРабота Время ВЫ- і полнения, недели ES EF LS LF R\r\nА 3 0 3 0 3 0\r\nВ 2 0 2 1 3 1\r\nС 5 3 8 3 8 0\r\nD 5 2 7 3 8 1\r\nЕ 6 8 14 8 14 0\r\nF 2 8 10 10 12 2\r\nG 2 10 12 12 14 2\r\nОтсюда видно, что при нормальной продолжительности работ длина критического пути составляет 14 недель. На критическом пути находятся работы А, С,Е.

Для того чтобы определить затраты на выполнение проекта при нормальной продолжительности работ, достаточно просуммировать затраты, указанные в пятом столбце таблицы исходных данных, — в результате получаем 8400 тыс. руб.

Чтобы определить минимальные дополнительные издержки на сокращение продолжительности проекта до 10 недель, построим модель линейного программирования.

Для этого на основании данных о непосредственно предшествующих работах построим графическое представление проекта (рис. 4).

Рис. 4

Используя исходные данные, определяем удельные затраты К на сокращение продолжительности работ.

х2?х, + 3-у12, х3 г х, + 2 - уп,

х4 > х2 + 5 - >>24, x4Zx} +5- уи,

х6 г х4 + 6 - Яи, х5 і х4 + 2 - у45,

x6>xs + 2-УН,

уі2йІ, Уп<1, у24<2, у34й2,

Уа6<2, у45й1, уя&1, х6 ?10, Х;>0, уиг о, (i,j)eP.\r\n XX X2 A3 A4 X5 A6 У12 m Ш У34 Y46 У45 У56 •\r\nMin 0 0 0 0 0 0 600 700 400 400 500 400 500 \r\nCtr 1 -1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 >= 3\r\nCtr 2 -1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 >= 2\r\nCtr3 0 -1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 >= 5\r\nCtr 4 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 >= 5\r\nCtr 5 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 >= 6\r\nCtr 6 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 >= 2\r\nCtr 7 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 1 >= 2\r\nCtr 8 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 <= 1\r\nCtr 9 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 <= 1\r\nCtr 10 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 <= 2\r\nCtr 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 <= 2\r\nCtr 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 <= 2\r\nCtr 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 <= 1\r\nCtr 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 <= 1\r\nCtr 15 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 <= 10\r\nВыполнив расчеты, получаем следующие результаты:

\r\nVariable Value Reduced Cost Original Val Lower Bound Upper Bound\r\nXI 0 800 0 -800 Infinity\r\nХ2 3 0 0 -400 200\r\nA3 2 0 0 -400 300\r\nХ4 6 0 0 —Infinity 300\r\nХ5 8 0 0 0 800\r\nХ6 10 0 0 —Infinity 800\r\nУ12 0 200 600 400 Infinity\r\nУ13 0 300 700 400 Infinity\r\n124 2 0 400 100 600\r\nУ34 1 0 400 100 700\r\nY46 2 0 500 —Infinity 800\r\nY45 0 400 400 0 Infinity\r\nJ56 0 500 500 0 Infinity\r\nИтак, минимальные затраты на сокращение продолжительности проекта с 14 до 10 недель составляют 2200 тыс.

Ответы: 1. 14 недель. 2. 8400 тыс. руб. 3. 6200 тыс. руб. 4. Для трех работ.

Задача 2. Решение.

Найдем критический путь при нормальном времени выполнения работ. Используем для этого метод СРМ.

Окончание таблицы\r\nРабота Время выпол-нения, месяцы Предшествующие работы\r\nЕ 3 С, В\r\nF 3 С, В\r\nG , 5 D.E\r\nВыполнив расчеты, получаем следующие результаты:\r\nProject 15 \r\nРабота Время вы-полнения, месяцы ES EF LS LF R\r\nА 4 0 4 0 4 0\r\nВ 6 0 6 1 7 1\r\nС \' 2 4 6 5 7 1\r\nD 6 4 10 4 10 0\r\nЕ 3 6 9 7 10 1\r\nF 3 6 9 12 15 6\r\nG 5 10 15 10 15 0\r\nВведем в программу POMWIN исходную информацию, описывающую проект в виде последовательности работ:\r\nРабота Время выпол-нения, месяцы Предшествующие работы\r\nA 4 \r\nВ 6 \r\nС 2 А\r\nD 6 А\r\n

Отсюда видно, что при нормальной продолжительности работ длина критического пути составляет 15 месяцев. На критическом пути находятся работы А, D, С. Для того чтобы определить затраты на выполнение проекта при нормальной продолжительности работ, достаточно просуммировать затраты, указанные в пятом столбце таблицы исходных данных, — в результате получаем 345 тыс. руб.

Чтобы определить минимальные дополнительные издержки на сокращение продолжительности проекта до 12 месяцев, построим модель линейного программирования.

Для этого на основании данных о непосредственно предшествующих работах построим графическое представление проекта (рис. 5).

Используя исходные данные, определяем удельные затраты К на сокращение продолжительности работ. Получаем следующие результаты:

\r\nРабота Время выполнения, месяцы Затраты, тыс. руб., при времени выполнения Удельные затраты, тыс. руб. в месяц\r\n нормальное минимальное нормальном минимальном \r\nА 4 2 50 70 10\r\nВ 6 3 40 55 5\r\nС 2 1 20 24 4\r\nD 6 4 100 130 15\r\nЕ 3 2 50 60 10\r\nF 3 3 25 25 —\r\nG 5 3 60 76 8\r\nИспользуя обозначения xi — время наступления события i; у у — величина сокращения времени работы (i,j), получаем следующую модель линейного программирования для определения минимальных издержек на сокращение продолжительности проекта с 15 до 12 месяцев: Щг + 5^,3 + Ьп + 15у24 + 10уз4 + 8у45 -> min при условиях

х2 > JC, + 4 - у12, х3 И X, + 6 - у13, х3 2> Х2 + 2 - У23, х4їх2 + 6 -у24, х4>х3 + 3-Уз4, х5?х4 + 5 — у45, х5*х3 + г, у12 < 2, у13<, 3, у23< 1,

^24^2, Умй1, у45 s 2, Х5й12,

X; Ї 0, УЦЪ О, (iJ)eP.

Для решения этой задачи используем программу POMWIN:\r\n XI XI A3 X4 *5 У12 У13 яз У24 >34 У45 \r\nMin 0 0 0 0 0 10 5 4 15 10 8 \r\nCtrl -1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 >= 4\r\nCtr 2 -1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 >= 6\r\nCtr3 0 -1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 >= 2\r\nCtr 4 0 -1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 >= 6

-I\r\nCtr 5 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 1 0 >= 3\r\nCtr 6 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 1 >= 5\r\nCtr 7 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 >= 3\r\nОкончание таблицы\r\n XI XI A3 A4 X5 У12 У13 У23 Y24 Ї34 У45 \r\nCtr 8 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 <= 2\r\nCtr 9 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 <= 3\r\nCtr 10 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 <= 1\r\nCtr 11 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 <= 2\r\nCtr 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 <= 1\r\nCtr 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 <= 2\r\nCtr 14 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 <= 12\r\nВыполнив расчеты, получаем следующие результаты:

\r\nVariable Value Reduced Cost Original Val Lower Bound Upper Bound\r\nX\\ 0 \' 10 0 -10 Infinity\r\nXI 3 0 0 -5 2\r\nA3 6 0 0 -10 0\r\nA4 9 0 0 —Infinity 2\r\nX5 12 0 0 —Infinity 10\r\nY\\2 1 0 10 8 15\r\nУ13 0 5 5 0 Infinity\r\nУ23 0 4 4 0 Infinity\r\nУ24 0 5 15 10 Infinity\r\n?3 4 о 10 10 0 Infinity\r\nГ45 2 0 8 —Infinity 10\r\n

Итак, минимальные затраты, необходимые для того, чтобы сократить продолжительность проекта с 15

до 12 месяцев, составляют 26 тыс. руб.

Продолжительность работы (1,2) сокращается на месяц.

Продолжительность работы (4, 5) сокращается на 2 месяца.

Определим, за какое минимальное время может быть выполнен проект

Для этого используем следующую модель линейного программирования: х5 -> min

*3 > X, + 6 - _у,з,

х4 ? х2 + 6 - у24, х52х4 + 5-у45,

Уа * 3,

^24^2, >-45 * 2, Ъ* 0.

при условиях x2ixl+4-у12,

*3 г х2 + 2 - y2J,

х4 і х3 + 3 - Уз4, х5 > хъ + 3, Уп * 2,

^23 * 1.

(\