Свойства предсказаний, полученных с помощью МНК

В последующих рассуждениях мы сосредоточимся в основном на предсказаниях, а не на прогнозах и рассмотрим свойства коэффициентов уравнения регрессии и свойства случайного члена, а не переменной х в случае, когда ее значения неизвестны.

Первое свойство можно продемонстрировать довольно просто:

E(fr+P) = E(ST+p) - Е(ут+р) =

= ?(а + Ьхт+р) - ?(а + $хт+р + ит+р) =

= ? (а) + хт+р ? (А) - а - Р*г+/gt; - ? (ит+р) =

= а + $хт+р - а - $хт+р = 0,              (10.75)

поскольку Е (а) = а, Е (А) = р и Е (ыт+р) = 0. Мы не будем доказывать свойство минимума дисперсии (доказательство можно найти у Дж. Джонстона [Johnston,

1984. или Дж. Томаса [Thomas, 1983]). Оба эти свойства сохраняются и для общего случая множественного регрессионного анализа.

В случае уравнения парной регрессии выборочная дисперсия fT+p определяется как

, 1 1 1 (*г+,-*)2 n /iVar(jt)

1 х . 1              (*г+Р-*)2              _

1 +              +              у,              —              9              “ где х и Var (х) — выборочное среднее значение и дисперсия переменной х. Из формулы следует, и это неудивительно, что чем больше значениех отклоняется от выборочного среднего, тем больше дисперсия ошибки предсказания. Из формулы также следует, и это вновь неудивительно, что чем больше объем выборки, тем меньше дисперсия ошибки предсказания с нижним пределом,

равным о2 . С ростом объема выборки оценки а и А стремятся к истинным значениям соответствующих коэффициентов (в случае выполнения условий Гаусса-Маркова), и единственным источником ошибки при предсказании будет случайный член ит+р, а он по определению имеет дисперсию о2.