Доверительные интервалы для предсказаний
Мы можем получить значение стандартной ошибки предсказания, если заменим о2 в уравнении (10.76) на s2 и извлечем квадратный корень. Тогда отношение величины (уТ+р — ут+р) к стандартной ошибке при оценивании уравнения для периода выборки будет подчиняться /-распределению с соответствующим числом степеней свободы.
Отсюда можно получить доверительный интервал для действительного значения ут+р:$Т+р ~ Крит х С- О. lt; уТ+р lt; fgt;T+p + tKpum * С. О, (10.77)
В уравнении множественной регрессии выражение, соответствующее (10.76), имеет гораздо более сложный вид, и оно лучше может быть представлено с
где tKpum — критическое значение / при заданных уровне значимости и числе степеней свободы; с. о. — стандартная ошибка предсказания. На рис. 10.5 в общем виде показано соотношение между доверительным интервалом для предсказания и значением объясняющей переменной.
Рис. 10.5. Доверительный интервал для предсказания
помощью аппарата матричной алгебры. Однако имеется простой прием, который можно использовать для расчета значений стандартных ошибок с помощью компьютера. Вы оцениваете уравнение регрессии на выборке, совмещающей выборочный и прогнозный периоды, добавив (различные) фиктивные переменные для каждого из наблюдений периода предсказания. Это означает включение в модель набора фиктивных переменных DT+i, DT+2, ..., DT+m, где значение DT+p = 0 для всех наблюдений, кроме наблюдения Т+р, для которого оно равно единице. Как может быть показано, оценки коэффициентов при нефиктивных переменных и их стандартные отклонения будут в точности такими же, как и в уравнении регрессии, оцененном только на периоде выборки (см. работы Д. Салкевера [Salkever, 1976] и Ж.-М. Дюфора [Dufour, 1980]).
Компьютер использует фиктивные переменные для получения точного значения каждого наблюдения в период предсказания и делает это, приравнивая коэффициент при фиктивной переменной к значению ошибки предсказания, как она была определена выше. Стандартная ошибка этого коэффициента равна стандартной ошибке предсказания.Пример
Стандартная ошибка предсказания в уравнении функции спроса на продукты питания для 1980 г. равна 0,019. При числе степеней свободы, равном 18, и уровне значимости в 5% критический уровень /-статистики равен 2,10, откуда можно получить следующий 95-процентный доверительный интервал для предсказания в этом году:
4,995 - 2,10 х 0,019 lt; log* lt; 4,995 + 2,10 х 0,019, (10.78)
т. е.
4,955 lt; log* lt; 5,035. (10.79)
Как мы видим, действительное значение переменной попадает в этот доверительный интервал, поэтому предсказание, по крайней мере в данном году, можно считать удовлетворительным. Это верно и для оставшихся лет периода предсказания.
Упражнение
- Используйте косвенный метод Салкевера для расчета прогнозов и их стандартных ошибок для логарифмической функции спроса на выбранный вами товар. Добавьте фиктивные переменные для последних четырех наблюдений и рассчитайте ошибки предсказания для этих лет, базируясь на уравнении регрессии, полученном на первых 21 наблюдении. Добавьте это к реальным значениям для получения прогноза. Рассчитайте доверительный интервал для прогноза по крайней мере на год вперед.