Проверка ограничения с помощью критерия t[XIII]

При проверке ограничения с помощью критерия t используется факт, что модель с ограничением может быть сведена к модели без ограничений путем добавления в уравнение соответствующего члена.

В случае функции Кобба—Дугласа добавление члена (р + а — 1) log L в уравнение преобразует модель с ограничением в модель без ограничений. Если расширить уравнение (5.29) для перехода к варианту 3, то

log Y/L = log А + a log K/L + (|i + а - 1) log L + log v.              (6.31)

Отсюда

log Y— log L = \\ogA + a[log K— log L] + (Mog L + alog L - log L + log v.              (6.32)

Путем упрощения можно вернуться вновь к модели без ограничений:

log Y = log А + alog К + piog L + log v.              (6.33)

Таким образом, формула (6.31) является новым способом записи модели без ограничений. Если ограничение верно, то коэффициент при log L не должен значимо отличаться от нуля (если мы не совершим, к несчастью, ошибку I рода), и тогда мы имеем право исключить этот член, т. е. использовать модель с ограничением.

В рассматриваемом случае, оценивая регрессию для варианта 3, мы получим (в скобках даны стандартные ошибки):

log Y/L= —0,18 -ь 0,23 logAT/Z. -1-0,04 log Z.; Л2 = 0,64.              (6.34)

(0,43) (0,06)              (0,09)

Коэффициент при log L не отличается значимо от нуля. Это подразумевает, что (a + Р) не отличается значимо от единицы. Поэтому ограничение мы не отбрасываем.

Каким образом найти дополнительный член, который преобразует модель с ограничением обратно в модель без ограничений? Попрактиковавшись немного, вы сможете делать это путем изучения и проверки. Если вы предпочитаете формально строгий, но более механический путь его определения, то напишите сначала вариант модели без ограничений, а затем — с ограничением со всеми членами в левой стороне уравнения и проведите вычитание. Разность и будет тем выражением, которое вы ищете.

Почему этот способ эквивалентен использованию F-теста? Напомним, что F-тест проверяет улучшение качества регрессии при переходе от модели с ограничением к модели без ограничений. Это осуществляется путем включения в уравнение дополнительного члена, но, как нам известно, F-тест для проверки улучшения качества регрессии путем включения в уравнение дополнительного члена эквивалентен /-тесту для проверки значимости коэффициента этого члена (см. раздел 5.6).