Еще один пример

Допустим, вы предполагаете, что совокупный расход на продовольствие (у) зависит от совокупного личного дохода (г), совокупного личного налога (tax) и относительной цены продовольствия (р).

Пользуясь данными по США за период 1959—1983 гг. из табл. Б. 1 и Б.2, а также из упражнения 6.17 и вычисляя налог (tax) как разность между личным доходом и располагаемым личным доходом, мы получим регрессию:

у = 116,7 + 0,113z-0,115/ax-0,741p; Л2 = 0,99.              (6.36)

(с.о.) (9,8) (0,009) (0,040) (0,120)

Заметив, что коэффициент при tax близок к коэффициенту при z по абсолютной величине, но противоположен по знаку, мы видим, что величина у в конечном счете может зависеть в большей степени не от z или tax по отдельности, а от располагаемого личного дохода, т. е. разности между ними, и поэтому мы имеем право ввести ограничение

р2 = -р„              (6.37)

для того чтобы повысить эффективность оценок. Последнее уравнение может быть переписано в виде:

у = а + Р|Х + Рзр + и,              (6.38)

где х — располагаемый личный доход, а соответствующая регрессия выглядит как

у = П6,7 + 0,112х-0,739р; Л2 = 0,99.              (5.3)

(с.о.) (9,6)              (0,003) (0,114)

Мы действительно видим улучшение эффективности, так как стандартная ошибка коэффициента при доходе сейчас составляет только 0,003 вместо 0,009.

Суммы квадратов отклонений в вариантах уравнений без ограничений и с ограничениями составляют 65,379 и 65,398 соответственно, и F-статистика для проверки ограничения равна:

г 0,019

f - бнйТїГ\'’•°06-              lt;«•»gt;

Критический уровень F с 1 и 21 степенью свободы при 5-процентном уровне значимости составляет 4,32, и мы, таким образом, не отвергаем ограничения. Фактически это было, в сущности, почти предрешенным выводом, поскольку коэффициенты регрессии в уравнении без ограничений (6.36) очень близки к значениям, полученным при выполнении ограничения.

Можно, конечно, использовать подход с /-тестом. В данном случае вариант 3 представляется в виде:

у = а + Р|Л- + Рз/gt; + (Р| + Р2) tax + и.              (6.40)

Соответствующей регрессией является (в скобках даны стандартные ошибки):

у = 116,7 + 0,113х-0,741р-0,002/ах; Л2 = 0,99;              (6.41)

(9,8)              (0,009)              (0,120)              (0,031)

и мы приходим к выводу, что оценка коэффициента ф, + р2) не отличается значимо от нуля, т. е. что |32 не отличается значимо от — р,.

14. В разделе 5.5 мы рассмотрели добавление временного тренда к производственной функции Кобба—Дугласа с целью учета технического прогресса. Мы обнаружили, что это вызвало мультиколлинеарность [уравнение (5.48)], и получили значительно лучшие результаты, когда ввели ограничение, определяющее постоянный эффект от масштаба [уравнение (5.49)]. Суммы квадратов отклонений в уравнениях без ограничений и с ограничениями были, соответственно, равны 0,056 и 0,068. Проведите проверку ограничения, предполагающего постоянный эффект от масштаба.
15. Построение регрессионной зависимости расходов на жилищные услуги от личного дохода, налога и относительной стоимости жилья дает следующие результаты (в скобках указаны стандартные ошибки):

*= -41,6 +0,177?-0,160/ах + 0,131р;              Л2 = 0,99.

0. (0,020) (0,094)              (0,432)

Сравните данное уравнение с регрессией между спросом, располагаемым личным доходом и относительной ценой, представленной в упражнении 5.2. Суммы квадратов отклонений в вариантах без ограничений и с ограничением были равны 382,4 и 383,3 соответственно. Проведите проверку ограничения, тщательно сформулировав нулевую гипотезу.

16. Регрессионная зависимость для «варианта 3» от располагаемого личного дохода, относительной цены и налогов дает следующий результат (стандартные ошибки указаны в скобках):

* = -41,6 +0,177х+0,131 + 0,017/ох;              Л2 = 0,99.

0. (0,020) (0,432) (0,075)

Проведите проверку ограничения и сравните это уравнение с уравнением из упражнения 6.15.

17. Постройте регрессионную зависимость расходов на выбранный вами вид благ от личного дохода, налогов и относительной цены и сравните результаты с результатами оценивания регрессии между расходами, располагаемым личным доходом и относительной ценой в упражнении 5.3. Укажите, какую из регрессий следует считать лучше специфицированной.

2. Регрессия в упражнении 5.3 может рассматриваться как модель новой регрессии с ограничением. Сформулируйте соответствующее ограничение и проведите его формальную проверку.

Новая регрессия соответствует той же модели, что и регрессия функции спроса на продовольствие в уравнении (6.35). При работе с программой регрессионного анализа вам нужно будет использовать данные о личном доходе, взятые из приведенной ниже таблицы (с. 193). Однако нет необходимости вводить отдельно данные по налогам: эти данные вы можете вычислить (или «поручить» это сделать за вас компьютеру) как разность между личным доходом и располагаемым личным доходом.

18. В своей классической статье М. Нерлов (Nerlove, 1963) вывел следующую формулу функции издержек для производства электроэнергии:

С = aY^P[P[P\'[v,

где С — полные издержки производства; Y — выпуск (измеренный в киловатт- часах); F, — стоимость затрат труда; Р2 — цена использования капитала, Ръ — стоимость топлива (все показатели измеряются в соответствующих единицах) и v — случайный член.

Yi +Y2 + їз= U

и, следовательно, формула функции издержек может быть переписана:

Р

И

Эти два варианта формулы функции издержек оценены для 29 фирм среднего размера, в выборке Нерлова, со следующими результатами (стандартные ошибки даны в скобках; RSS — сумма квадратов отклонений):

log С= -4,93 + 0,94 logK+ 0,31 logP, - 0,26 logP2 + 0,44 log/gt;3; RSS= 0,336;

(1,62) (0,11)              (0,23)              (0,29)              (0,07)

log C/P3 = -6,55 + 0,91 logT+ 0,51 logPJP3 + 0,09 logP2/P3, RSS= 0,364.

(0,16) (0,11)              (0,19)              (0,16)

Сравните результаты оценивания регрессии по указанным двум уравнениям и проведите формальную проверку выполнения ограничения.

6. Как извлечь максимум информации из анализа остатков

Существует два пути рассмотрения остатков, полученных в результате оценивания уравнения регрессии по какому-то набору данных. Если вы по натуре пессимист или проявляете пассивность, то будете смотреть на них как на сви-

детельство своей неудачи. Чем больше остатки, тем хуже регрессия и тем меньше коэффициент Л2. Общей целью является такая оценка уравнения регрессии, чтобы свести до минимума сумму квадратов остатков. Однако при некоторой предприимчивости вы будете видеть в этих остатках потенциально неограниченный источник для зарождения новых идей, а возможно, и новых теорий. Они дают одновременно основу для постановки задач и конструктивной критики. Формулируемые задачи создают стимул для научных исследований: необходимость найти лучшее объяснение для наблюдаемых событий. А конструктивная критика вызывается тем, что остатки, взятые по отдельности, указывают, когда, где и в какой степени существующая модель не смогла объяснить наблюдаемые события. Извлечение пользы из такой конструктивной критики требует от исследователя большого терпения.

Предположим, что вы исследуете связь между продажей каких-то предметов длительного пользования и располагаемым личным доходом, пользуясь данными погодового временного ряда. Если вы находите, что отрицательный остаток в каком-то году может быть отнесен к длительной забастовке у ведущего поставщика, то этим вы сделаете вклад в историю, но не в теорию.

Другие факторы, однако, могут оказаться связанными с отклонениями, появляющимися в нескольких наблюдениях. Как только вы обнаруживаете закономерность такого характера, вы делаете шаг вперед. Следующим шагом должно быть нахождение разумного способа для количественного описания данного фактора и включения его в модель. Например, в своих исследованиях продажи предметов длительного пользования вы можете обнаружить, что имели место большие положительные остатки в годы большей инфляции. Тут было бы естественным выдвинуть гипотезу, что покупатели пытаются защитить себя от инфляции путем приобретения товаров вместо сбережения денег, и вы, разумеется, должны включить темп этой инфляции в уравнение в качестве объясняющей переменной.

Заметим, что данным примером иллюстрируется исходный момент. Определение величины остатков является только частью решения задачи. Вам необходимо также иметь базовые знания и воображение, чтобы оценить факторы, способные объяснить их. Уже по одной только этой причине эконометрическое моделирование представляет собой вид искусства.

Иллюстрация

Для более подробной иллюстрации рассмотренных моментов вернемся к эксперименту по методу Монте-Карло, описанному в разделе 6.2, где исследователь изучает соотношение между доходом (у) и продолжительностью обучения (5) в некоторой стране.

однако исследователь не учитывает влияния фактора способностей и оценивает уравнение регрессии в следующем виде:

9= -6418 + 19855.              (6.11)

(с.о.) (3349) (248)

Фактические значения величину, их расчетные значения и остатки показаны в табл. 6.8.

Здесь, как вы видите, имеются большие положительные остатки у индивидов 6, 12 и 18, а также большие отрицательные остатки у индивидов /7 и 14. Если бы исследователь побеседовал с ними, то он выяснил бы, что индивид 6 происходит из рабочей семьи и что он рано оставил школу, как и все его товарищи, и, тем не менее, достиг положения руководителя в сфере мелкого бизнеса, где продвижение основывается на результатах работы. Индивиды 12 и 18, которые имеют более высокое образование, также исключительно хорошо продвигались по службе, что не было удивительным для тех, кто знал о том, что они всегда были среди лучших в учебе. Если посмотреть на отрицательные остатки, то при опросе индивидов 77 и 14 исследователь установил бы, что оба они были весьма неспособны к учебе и с радостью оставили школу, когда это им позволили сделать их родители.

Если бы эти опросы были сделаны, то исследователь, пусть даже смутно, понял бы, что природные способности являются важным фактором в определении уровня дохода и это привело бы его к регрессии с правильной спецификацией, с предположением, что может быть измерен показатель IQ каждого индивида. (Согласимся, что это является упрощением: IQ отражает только один

вид способностей, не самый важный для успеха в бизнесе или деятельности такого же рода.)

Анализ остатков имеет также важное значение при выборе наиболее подходящей формулы уравнения регрессии. Как мы увидим ниже, в разделе 7.9, поведение остатков может указывать на математически неправильную спецификацию модели. И наконец, анализ остатков может быть полезным при проверке того, удовлетворены ли второе и третье условия Гаусса—Маркова. Условия Гаусса-Маркова относятся к случайному члену и. Измерение величины и в каждом отдельном наблюдении невозможно, но остаток в этом наблюдении может быть взят в качестве замещающей переменной для и. Отсюда если остатки подчиняются второму и третьему условиям Гаусса—Маркова, то будет разумным считать, что им подчиняется и случайный член. К этому вопросу мы вернемся в главе 7.