<<
>>

ДОДАТКИ

Математичний додаток до розділу 5

МОДЕЛІ ОЦІНОК АКТИВІВ НА РИНКУ КАПІТАЛІВ

У розділі 5 було продемонстровано вигоди від диверсифікації. У цьому додатку ми дослідимо диверсифікацію і зв’язок між ризиком та доходами детальніше.

Як наслідок, зрозуміємо дві основні теорії оцінок активів: модель оцінок капітальних активів (САРМ — capital asset pricing model) і теорію арбітражної оцінки (APT — arbitrage pricing theory).

ДИВЕРСИФІКАЦІЯ І БЕТА

Ми починаємо аналіз з розгляду портфеля і активів, доход на які становить:

Rp = x?R2 + x2R2 + ... + xnRn              (MA5.1),

де:

R              —              доход              на портфель              п              активів;

Rt —              доход              на актив і;

x? — частка активу і у портфелі.

Сподіваний доход на цей портфель, E(Rp), дорівнює:

E(R ) = E(x1R1) + E(x2R2) + ... + E(xnRn) =

XjEiRj) + x2E(R2) + ... + xnE(Rn)              (MA5.2).

Придатним вимірником ризику для цього портфеля є середнє квадратичне відхилення доходу портфеля (стр) або його квадратне значення, дисперсія доходу портфеля (а2), що можна записати як:

а2 = E[Rp - E(Rp}?2 = E({xiR1 + ... + xnRJ - (x1E(R1) + ... + xnE(RJ}]2 = ElxjfR, - Е(і+)} + ... + xn{Rn - E(fiJ}]2

Цей вираз можна переписати таким чином:

а2 =              EfiarJRj -              E(R,)] + ... +              xn(Rn              -              E(Rn)}}              X              {R - E(Kp)}]

= x,E({R, - Е(пЦ}              X              {R              -              E(i?              )}]              +              ...

+ xnE[{Rn - E(Rn)} X {Rp - E(Rp)}}

Це дає нам такий вираз для дисперсії доходу портфеля:

ZSt-in

СТр = ЗДр + Х2С2р + - + ХпСпр              (МА5.3),

де стір — коваріація доходу на актив і з доходом портфеля = E[{nг - E(nt)} X {Rp - E(np)}].

Рівняння (MA5.3) свідчить, що вклад ризику активу і до ризику портфеля є хрір. Поділимо цей вклад ризику на сукупний ризик портфеля ст2 і отримаємо пропорційний вклад активу і до ризику портфеля:

Хгагр/°1-

Відношення Стф/ст2 показує чутливість доходу на г-тий актив до доходів портфеля. Що більше дане відношення, то більше вартість активу змінюється зі зміною вартості портфеля і тим більший робить вклад актив і до ризику портфеля. Наші алгебраїчні ходи, отже, привели нас до такого важливого висновку. Граничний вклад певного активу до ризику портфеля залежить не від ризику активу, що взятий окремо, а радше від чутливості доходу на цей актив до змін у вартості портфеля.

Якщо сукупність всіх ризикових активів на ринку включається до портфеля, то він називається ринковим портфелем. Якщо ми припустимо, ЩО Портфель р Є ринковим портфелем, 771, то відношення сіm/°m називається бетою і-тото активу, тобто:

Р і = lt;Wlt;4              (МА5.4),

де (3 ? — бета активу і.

Бета активу є, отже, вимірником граничного внеску даного активу до ризику ринкового портфеля. Вище значення бета означає, що доход на актив є чутливішим до змін вартості ринкового портфеля і що актив робить більший вклад до ризику портфеля.

Інший шлях до розуміння бета є усвідомлення того, що доход на актив і можна розглядати як такий, що складається з двох компонентів — одного, що змінюється з ринковим ДОХОДОМ (Rm), і іншого, випадкового чинника зі сподіваним значенням нуль, що є притаманним даному активу (є ?) і тому не перебуває у зв’язку з ринковим доходом:

R? = a? + ?5?Rm + є4              (МА5.5).

Сподіваний доход активу і можна тоді записати:

Е(Д,.) = a? + Р ?E(nm).

Легко показати, що P? у вищенаведеному виразі є бета активу і, що ми визначили раніше через розрахунок коваріації доходу активу і з ринковим кошиком, застосовуючи два рівняння, що подані вище:

аіт = ?[{R? - Е(Щ} х {Rm - E(Rm)}\\

= ?[(Р i[Rm - E(RJ] + єг} X {Rm              - E(RJ}]-

Однак у зв’язку з тим, що є ? не пов’язана              з              Rm, то              Е[{е              і) X {[йт

- Е(Ят)}] = 0.

Отже,

®іт Р і®т\'

Поділимо цю рівність на с^, отримаємо такий вираз для P?:

Р і ~

що є тим же означенням бета, яке ми знайшли              у рівнянні              (МА5.4).

Причиною того, що p? у рівнянні (МА5.5)              є              такою              ж,              як ми її

визначили раніше, полягає в тому, що рівняння (МА5.5) забезпечує краще сприйняття того, як бета активу вимірює його чутливість до змін у ринковому доході. Рівняння (МА5.5) говорить нам, що коли бета певного активу є 1,0, то його доход в середньому збільшується на 1 процентний пункт, коли ринковий доход збільшується на 1 процентний пункт. Коли ж бета є 2,0, то доход на актив у середньому збільшується на 2 процентні пункти, коли ринковий доход зростає на 1 процентний пункт. І коли бета є 0,5, то доход на актив збільшується в середньому тільки на 0,5 процентного пункту, коли ринковий доход збільшується на 1 процентний пункт.

Рівняння (МА5.5) також свідчить, що ми можемо отримати оцінки бета, порівнюючи середній доход на актив з середнім ринковим доходом. Для тих із вас, хто знайомий з економетрикою, ця оцінка бета є звичайною найменшою квадратичною регресією доходу активу на ринковий доход. Справді, формула для звичайних найменших квадратичних оцінок (3 ?              є точно такою, як значення (3 ?, що по

дане вище.

СИСТЕМАТИЧНИЙ І НЕСИСТЕМАТИЧНИЙ РИЗИК

Ми можемо вивести інше важливе поняття про рівень ризику активу, використовуючи рівняння (МА5.5). Дисперсію доходу активу і можна розрахувати з рівняння (МА5.5) так:

а2 = Е[Д. _ Е(Я,.)]2 = E[p?{Rm - E(RJ} + єг]2,

а оскільки є ? не пов’язане з ринковим доходом, то

О? =              +              СТ2

Сукупну дисперсію доходу на актив можна розбити на компонент, що пов’язаний з ринковим ризиком,              і              компонент, що властивий

даному активу, а2. Про компонент Р2ф^, що пов’язаний з ринковим ризиком, говориться як про систематичний ризик, а про компонент lt;т2, що властивий тільки активу,— як про несистематичний ризик.

Ми можемо, отже, записати сукупний ризик на певний актив як такий, що складається з систематичного ризику і несистематичного ризику:

Сукупний ризик активу = Систематичний ризик + Несистематичний ризик (МА5.6)

Систематичний і несистематичний ризики мають різні риси, що робить відмінність між цими двома видами ризику важливою. Систематичний ризик є частиною ризику певного активу, який не можна усунути, володіючи цим активом як частиною диверсифікованого портфеля. Несистематичний ризик є частиною ризику активу, що можна усунути через диверсифікований портфель. Розуміння цих рис систематичного і несистематичного ризику веде до такого важливого висновку: ризик добре диверсифікованого портфеля залежить тільки від систематичного ризику активів у портфелі.

Ми можемо пересвідчитися, що цей висновок є правильним, розглядаючи портфель (п) активів, кожен з яких має однакову вагу у портфелі (1 /п). Використовуючи рівняння (МА5.5), доход на цей портфель дорівнює:

п              п              п

Rp = (1/п)Х аі +              $iRm              +              (1/гс)Х              гіgt;

і=1              і= 1              і= 1

яке можна записати так:

_ п а + PRm + (1/я)Х гі’

і = 1

п

де а— середня a?

(1/П)Х lt;+;

і = 1 п

р —середня p? = (1/п)Х Рі-

і = 1

Якщо портфель добре диверсифікований, через що є і не залежить від інших активів, тоді, використовуючи цей факт і те, що всі e? не пов’язані з ринковим доходом, дисперсія доходу портфеля обчислюється так:

СТ2 = (З2 с2, + (1/п)(середня дисперсія Є j).

Коли п отримує великий другий член рівняння, то (1 /п) (середня дисперсія є ?) стає дуже малим, через що добре диверсифікований

портфель має ризик (32о2п, який пов’язаний тільки з систематичним ризиком. Як показав попередній висновок, несистематичний ризик можна усунути добре диверсифікованим портфелем. Ця обставина також свідчить, що ризик добре диверсифікованого портфеля більший, ніж ризик ринкового портфеля, якщо середня бета активів у портфелі є більшою від одиниці.

Проте ризик портфеля є меншим від ринкового портфеля, якщо середня бета активів менша від одиниці.

МОДЕЛЬ ОЦІНКИ КАПІТАЛЬНИХ АКТИВІВ (САРМ)

Тепер можна застосувати поняття, які розвинули про систематичний і несистематичний ризик, і бета для виведення одної з найширше застосовуваних моделей — оцінки активів — моделі оцінки капітальних активів (САРМ), що була розвинута Вільямом Шарпом, Джоном Літ- нером і Джеком Трейнором.

Кожний хрестик на графіку МА5.1 показує середнє квадратичне відхилення і сподіваний доход для кожного ризикового активу. Виявивши різні пропорції цих активів до портфеля, ми можемо розрахувати середнє квадратичне відхилення і сподіваний доход для кожного портфеля, використовуючи рівняння (МА5.2) і (МА5.3). Затемнена площа на графіку показує комбінації середнього квадратичного відхилення і сподіваного доходу для цих портфелів. Оскільки несхильні до ризику інвестори завжди віддають перевагу вищому сподіваному доходу і нижчому середньому квадратичному відхиленню доходу, найприваб- ливішими комбінаціями середнього квадратичного відхилення та сподіваного доходу є ті комбінації, що лежать на жирній лінії, яку називають ефективною межею портфеля. Це комбінації середнього квадратичного відхилення та сподіваного доходу, яким неохочі до ризику інвестори завжди віддадуть перевагу.

Модель оцінок капітальних активів припускає, що інвестори можуть надавати і отримувати позички тією мірою, якою вони хочуть, за вільною від ризику ставкою процента, Ry. Надаючи позичку за вільною від ризику ставкою, інвестор заробляє сподіваний доход Ry, і його інвестиції мають нульове середнє квадратичне відхилення, бо вони

Середнє квадратичне відхилення доходів, а Графік МА5.1. Вибір ризикового сподіваного доходу.

Хрестики показують комбінацію середнього квадратичного відхилення і сподіваного доходу для кожного ризикового активу. Ефективна межа портфеля показує найкращу комбінацію середнього квадратичного відхилення та сподіваного доходу, якої можна досягнути, поклавши ризикові активи до портфеля.

Шляхом отримання і надання позичок за вільною від ризику ставкою та інвестуючи в портфель М, інвестор може отримати комбінації середнього квадратичного відхилення та сподіваного доходу, що лежать по лінії, яка пов’язує точки А, В, М та С. Ця лінія, можливе місце точок, містить найкращі комбінації середнього квадратичного відхилення та сподіваних доходів, що досяжні для інвестора. Тому можливе місце точок показує вибір між сподіваними доходами і ризиком для інвестора.

вільні від ризику. Комбінація середнього квадратичного відхилення і сподіваного доходу для цих вільних від ризику інвестицій позначається як точка А на графіку МА5.1. Припустімо, інвестор вирішує вкласти половину свого майна у безризикове надання позички, а іншу половину — в портфель по ефективній межі портфеля з комбінацією середнього квадратичного відхилення та сподіваного доходу, що позначена як точка М на графіку МА5.1. Використовуючи рівняння (МА5.2), ви можете перевірити, що сподіваний доход на цей портфель є на половині шляху між Rf і E(Rm), тобто [Rj + E(Rm)]/2. Так само коваріація між безризиковим доходом і доходом на портфель М повинна обов’язково бути нуль, бо немає невизначеності щодо доходу по безризиковій позичці. Нам слід також перевірити, застосовуючи рівняння (МА5.3), що середнє квадратичне відхилення доходу на новий портфель є половина шляху між 0 і ат, тобто (1/2)стт. Комбінація середнього квадратичного відхилення та сподіваного доходу для цього нового портфеля позначається як точка

В на графіку. Як видно з графіка, вона лежить на лінії між точкою А і точкою М. Так само, якщо інвестор візьме у позичку таку ж суму, як його майно, за безризиковою ставкою Rf та інвестує отриману позичку плюс своє майно (тобто подвоєне його майно) у портфель М, тоді середнє квадратичне відхилення цього нового портфеля буде подвоєне середнє квадратичне відхилення доходу на портфель М, 2стт. З іншого боку, використовуючи рівняння (МА5.2), сподіваний доход на цей новий портфель є E(Rm) плюс E(Rm) - Rp що дорівнює 2E{Rm) - Rp Ця комбінація середнього квадратичного відхилення та сподіваного доходу зображається як точка С на графіку.

Тепер ми можемо подивитися, що і точка В, і точка С містяться на лінії, яка з’єднує точки А і М. Справді, вибираючи різні суми надання і отримання позички, інвестор може сформувати портфель з такою комбінацією середнього квадратичного відхилення та сподіваного доходу, що лежить десь на лінії, яка з’єднує точки А і М. Ви, можливо, зауважили, що точка М вибрана так, що лінія, що з’єднує точки А і М, є дотичною до ефективної межі портфеля. Підставою для вибору точки М у цей спосіб є те, що вона веде до комбінації середнього квадратичного відхилення та сподіваного доходу, яка най- бажаніша для неохочого до ризику інвестора. Про цю лінію можна думати як про можливе місце точок, яке показує найкращі комбінації середнього квадратичного відхилення і сподіваного доходу, досяжного для інвестора.

Модель оцінок капітальних активів робить інше припущення: всі інвестори мають однакову оцінку сподіваних доходів і середніх квадратичних відхилень всіх активів. У цьому випадку портфель М є однаковим для всіх інвесторів. Отже, коли всіх інвесторів, що володіють портфелем М, підсумувати, то вони повинні дорівнювати всім ризи- ковим активам ринку, які є саме ринковим портфелем. Припущення, ніби всі інвестори мають однакову оцінку ризику і доходу для всіх активів, отже, означає, що портфель М є ринковим портфелем. Таким чином, Rm і стт на графіку МА5.1 є однаковими до ринкового доходу, Rm, а середнє квадратичне відхилення цього доходу, о згадувалося раніше в цьому додатку.

Висновок про те, що ринковий портфель і портфель М є один і той самий, означає, що про можливе місце точок М на графіку можна думати як про місце, що показує вибір між сподіваними доходами і зрослим ризиком для інвестора. Цей вибір подається нахилом лінії можливого місця точок E(Rm) - Rp що свідчить: коли інвестор готовий збільшити ризик свого портфеля до стт, то він може заробити додатковий сподіваний доход у розмірі E(Rm) - Rp Ринкова ціна одиниці ринкового ризику, ст, є E(Rm) - Rp E(Rm) - Rp отже, виступає як ринкова ціна ризику.

Бета, Р

Графік МА5.2. Лінія надійпості ринку.

Безпечна ринкова лінія, що виводиться з моделі оцінок капітальних активів, описує взаємозв’язок між бета активу і його сподіваним доходом.

Нам тепер відомо, що ринкова ціна ризику є E(Rm) - Rp і ми також дізналися, що бета активу говорить нам про систематичний ризик, бо він є граничним вкладом цього активу до ризику портфеля. Отже, величина сподіваного доходу на актив перевищує безризикову ставку, E(R) - Rf повинна дорівнювати ринковій ціні ризику помноженій на граничний вклад цього активу до ризику портфеля, [E(Rm) - Ry]P?. Таке міркування дає рівняння оцінок активів САРМ:

Е(Щ) = Rf + (3?[E(RJ - Rf]              (MA5.7).

Це рівняння оцінок активів САРМ представлене лінією, що підноситься вгору на графіку МА5.2, яку називають лінією надійності ринку. Вона показує нам той сподіваний доход, який ринок встановлює для цінного паперу за певного його бета. Наприклад, ця лінія показує, що коли цінний папір має бета 1,0, через що його граничний вклад до ризику портфеля є таким же, як і ринкового портфеля, тоді цей папір мав би такий самий сподіваний доход, як і ринковий портфель, E(Rm).

Щоб зрозуміти, що цінні папери мають оцінюватися так, аби їхня комбінація доход—бета лежала на лінії надійності ринку, розглянемо такий цінний папір, як S на графіку МА5.2, котрий міститься нижче лінії надійності ринку. Якщо інвестор робить інвестиції, за яких половина вкладається у ринковий портфель, а половина у безризикову позичку, тоді бета цих інвестицій буде 0,5, такою, як цінного паперу

S.              Проте ці інвестиції матимуть сподіваний доход на лінії надійності ринку, який є більшим за доход цінного паперу S. Тому інвестори не хотітимуть тримати цінний папір S, і його поточна ціна падатиме. Отже, збільшення його сподіваного доходу відбуватиметься доти, доки він не дорівнюватиме сумі, що вказана на лінії надійності ринку. З іншого боку, припустімо, що існує певний цінний папір, як Т, що має бета 0,5, але сподіваний доход якого міститься над лінією надійності ринку. Включаючи цей цінний папір у добре диверсифікований портфель з іншими активами з бета 0,5, жоден з яких не може мати сподіваного доходу меншого за той, що позначений лінією надійності (як ми показали), інвестори можуть отримати портфель з вищим сподіваним доходом за доход, отриманий від вкладання половини майна у безризикову позичку, а іншої половини — у ринковий портфель. Це означало б, що всі інвестори хотіли б володіти більшою кількістю цінного паперу Т, і тому його ціна зростала б. Це знижувало б його сподіваний доход доти, доки він не дорівнював би сумі, вказаній на лінії надійності ринку.

Модель оцінок капітальних активів формалізує важливу ідею. Актив має оцінюватися так: він має вищий сподіваний доход не тоді, коли має більший ризик окремо, а тоді, коли його систематичний ризик є більшим.

ТЕОРІЯ АРБІТРАЖНИХ ОЦІНОК

Хоча модель оцінок капітальних активів є дуже корисним знаряддям на практиці, але її виведення вимагає прийняття ряду нереалістичних припущень, наприклад, припущення, що інвестори можуть брати і надавати в позичку вільно за безризиковою ставкою, або припущення, що всі інвестори мають однакову оцінку сподіваних доходів або середнього квадратичного відхилення доходів для всіх активів. Важливою альтернативою до моделі оцінок капітальних активів є теорія арбітражних оцінок (APT), що розвинута Стефаном Росом з Єльсь- кого університету.

На противагу моделі оцінок САРМ, яка має тільки одне джерело систематичного ризику — ринковий доход, теорія APT поділяє погляд, нібито може існувати декілька джерел систематичного ризику в економіці, які не можна усунути шляхом диверсифікації. Про ці джерела ризику можна думати як про фактори, що стосуються таких обставин, як інфляція, сукупний обсяг виробництва, страхова премія у зв’язку з ризиком невиконання зобов’язань і/або структура процентних ставок за строком. Доход на актив (г) можна, отже, записати: складається з

багатьох компонентів, що змінюються з цими факторами, і випадкового компонента, що притаманний даному активу (є ?):

R? = (3 {(фактор 1) + Р?(фактор 2) + ...

+ Р ^(фактор к) +              (МА5.8)

Оскільки існує к факторів, то цю модель називають /с-факторною моделлю. р{,.-,рamp; описують чутливість доходу на актив і до кожного з цих факторів.

Як і модель оцінок капітальних активів, ці систематичні джерела ризику мають оцінюватися. Про ринкову ціну для кожного фактора j можна думати як E(R^jaKmop ¦) - R?. Звідси, сподіваний доход на цінний папір можна записати як:

E{R?) = Rf + (3{[Е(Пфактор і) - Rf] + - + Р{с[Е(Пфактор к) - Rf] (МА5.9)

Це рівняння оцінок активів показує, що всі цінні папери повинні мати однакову ринкову ціну для ризику, викликаного кожним фактором. Якщо сподіваний доход для цінного паперу був би понад суму, що показана рівнянням ціноутворення APT, тоді це забезпечувало б вищий сподіваний доход, ніж портфель інших цінних паперів з цією ж середньою чутливістю до кожного фактора. Тому інвестори хотіли б володіти більшою кількістю цього цінного паперу, і його ціна зростала б доти, доки сподіваний доход не впав би до значення, показаного рівнянням оцінок APT. З іншого боку, якби сподіваний доход на цінний папір був би меншим за суму, показану рівнянням оцінок APT, тоді ніхто не хотів би володіти цим цінним папером, бо вищий сподіваний доход можна було б отримати з портфеля цінних паперів з такою ж середньою чутливістю до кожного фактора. Як результат, ціна цінного паперу падала б доти, доки його сподіваний доход не впав би до значення, показаного рівнянням оцінок APT.

Як показує цей короткий огляд теорії арбітражних оцінок, ця теорія підтримує базовий висновок з моделі оцінок капітальних активів: певний актив має оцінюватися так: він має вищий доход не тоді, коли має вищий ризик окремо, а тоді, коли його систематичний ризик є більшим. Продовжується полеміка навколо питання, що є кращим описом реальної дійсності: чи варіант моделі оцінок капітальних активів, чи теорія арбітражних оцінок. В наш час обидві теоретичні системи розглядаються як знаряддя для розуміння того, як ризик впливає на ціни на активи.

Математичний додаток до розділу 23

<< | >>
Источник: Фредерік С. Мишкін. ЕКОНОМІКА ГРОШЕЙ, БАНКІВСЬКОЇ СПРАВИ І ФІНАНСОВИХ РИНКІВ 1992. 1992

Еще по теме ДОДАТКИ:

- Авторское право - Аграрное право - Адвокатура - Административное право - Административный процесс - Антимонопольно-конкурентное право - Арбитражный (хозяйственный) процесс - Аудит - Банковская система - Банковское право - Бизнес - Бухгалтерский учет - Вещное право - Государственное право и управление - Гражданское право и процесс - Денежное обращение, финансы и кредит - Деньги - Дипломатическое и консульское право - Договорное право - Жилищное право - Земельное право - Избирательное право - Инвестиционное право - Информационное право - Исполнительное производство - История - История государства и права - История политических и правовых учений - Конкурсное право - Конституционное право - Корпоративное право - Криминалистика - Криминология - Маркетинг - Медицинское право - Международное право - Менеджмент - Муниципальное право - Налоговое право - Наследственное право - Нотариат - Обязательственное право - Оперативно-розыскная деятельность - Права человека - Право зарубежных стран - Право социального обеспечения - Правоведение - Правоохранительная деятельность - Предпринимательское право - Семейное право - Страховое право - Судопроизводство - Таможенное право - Теория государства и права - Трудовое право - Уголовно-исполнительное право - Уголовное право - Уголовный процесс - Философия - Финансовое право - Хозяйственное право - Хозяйственный процесс - Экологическое право - Экономика - Ювенальное право - Юридическая деятельность - Юридическая техника - Юридические лица -