<<
>>

Дифференциальное уравнение Блэка-Шоулза

Сформируем портфель без риска из производного актива и ба­зисных акций: продадим производный актив и купим акции. Измене­ние цены акции за время dt определяется уравнением:[57]

где S - цена акции;

р - мгновенная ожидаемая доходность акции;

а - мгновенное стандартное отклонение доходности акции; є - стандартная нормально распределенная случайная пере­менная; t -время;

- винеровский процесс.[58]

Изменение цены производного актива на акцию, согласно лемме Ито, определяется формулой:[59]

где G - цена производного актива.

Оба уравнения содержат один и тот же стохастический элемент - винеровский процесс.
Чтобы сформировать портфель без риска, необходимо исключить его из динамики стоимости портфеля. В фор­

мы продаем один производный актив, то для исключения процесса Винера из динамики стоимости портфеля надо купить акции в про­

Поэтому стоимость портфеля без риска (П) равна:

За время dt стоимость портфеля изменяется на величину:

Подставим в уравнение (10.26) значения dS и dG соответственно из уоавнений (10.24) и (10.25):

или

Уравнение (10.27) не включает стохастический элемент и, следова­тельно, риск. Поэтому за (мгновенный) период dt портфель являет­ся безрисковым и должен приносить инвестору доходность на уровне ставки без риска.14 В результате можно записать:

[1] Если доходность портфеля будет выше или ниже ставки без риска, то откроется возможность совершить арбитражную операцию. В результате равновесие восстано­вится.

или

муле (10.24) винеровский процесс представлен величиной

. Таким образом, если

в формуле (10.25) - величиной

порции

Уравнение (10.28) - это дифференциальное уравнение Блэка- Шоулза. С его помощью можно определить стоимость любых произ­водных активов на акцию, по которой не выплачиваются дивиденды. Для разных типов производных инструментов уравнение имеет раз­ные решения в зависимости от граничных условий. В частности для европейского опциона колл к моменту истечения контракта это

Уравнение (10.28) не включает параметр р. Это означает, что при оценке стоимости производного инструмента не учитывается ожи­даемая доходность базисной акции. Таким образом, если два инве­стора имеют разные оценки ожидаемой доходности акции, но их мнения относительно дисперсии ее доходности совпадают, то они должны одинаковым образом оценить стоимость производного инст­румента на эту акцию.15 Уравнение не содержит параметр р, а значит и не учитывает предпочтения инвесторов в отношении риска.16 По­этому при оценке стоимости производного актива правомерно ис­пользовать модель, в которой инвесторы нейтральны к риску. Сле­довательно, для целей дисконтирования ожидаемой стоимости про­изводного инструмента можно использовать ставку без риска.

10.2.1.

<< | >>
Источник: Буренин А.Н.. Форварды, фьючерсы, опционы, экзотические и погодные производные М, Научно-техническое общество имени академика С.И. Вави­лова, 2005, - 534 + 6 с. 2005

Еще по теме Дифференциальное уравнение Блэка-Шоулза:

- Авторское право - Адвокатура - Административное право - Административный процесс - Антимонопольно-конкурентное право - Арбитражный (хозяйственный) процесс - Аудит - Банковская система - Банковское право - Бизнес - Бухгалтерский учет - Вещное право - Государственное право и управление - Гражданское право и процесс - Денежное обращение, финансы и кредит - Деньги - Дипломатическое и консульское право - Договорное право - Жилищное право - Земельное право - Избирательное право - Инвестиционное право - Информационное право - Исполнительное производство - История государства и права - История политических и правовых учений - Конкурсное право - Конституционное право - Корпоративное право - Криминалистика - Криминология - Маркетинг - Медицинское право - Международное право - Менеджмент - Муниципальное право - Налоговое право - Наследственное право - Нотариат - Обязательственное право - Оперативно-розыскная деятельность - Права человека - Право зарубежных стран - Право социального обеспечения - Правоведение - Правоохранительная деятельность - Предпринимательское право - Семейное право - Страховое право - Судопроизводство - Таможенное право - Теория государства и права - Трудовое право - Уголовно-исполнительное право - Уголовное право - Уголовный процесс - Философия - Финансовое право - Хозяйственное право - Хозяйственный процесс - Экологическое право - Экономика - Ювенальное право - Юридическая деятельность - Юридическая техника - Юридические лица -