Дифференциальное уравнение Блэка-Шоулза
Сформируем портфель без риска из производного актива и базисных акций: продадим производный актив и купим акции. Изменение цены акции за время dt определяется уравнением:[57]
 |
где S - цена акции;
р - мгновенная ожидаемая доходность акции;
а - мгновенное стандартное отклонение доходности акции; є - стандартная нормально распределенная случайная переменная; t -время;
 |
- винеровский процесс.[58]
Изменение цены производного актива на акцию, согласно лемме Ито, определяется формулой:[59]
 |
где G - цена производного актива.
| Оба уравнения содержат один и тот же стохастический элемент - винеровский процесс. Чтобы сформировать портфель без риска, необходимо исключить его из динамики стоимости портфеля. В фор |
| мы продаем один производный актив, то для исключения процесса Винера из динамики стоимости портфеля надо купить акции в про |
| Поэтому стоимость портфеля без риска (П) равна: |
 |
| За время dt стоимость портфеля изменяется на величину:
|
 |
| Подставим в уравнение (10.26) значения dS и dG соответственно из уоавнений (10.24) и (10.25): |
| или |
 |
| Уравнение (10.27) не включает стохастический элемент и, следовательно, риск. Поэтому за (мгновенный) период dt портфель является безрисковым и должен приносить инвестору доходность на уровне ставки без риска.14 В результате можно записать: |
| [1] Если доходность портфеля будет выше или ниже ставки без риска, то откроется возможность совершить арбитражную операцию. В результате равновесие восстановится. |
| или |
 |
 |
| муле (10.24) винеровский процесс представлен величиной |
 |
| . Таким образом, если |
| в формуле (10.25) - величиной |
 |
| порции |
 |
Уравнение (10.28) - это дифференциальное уравнение Блэка- Шоулза. С его помощью можно определить стоимость любых производных активов на акцию, по которой не выплачиваются дивиденды.
Для разных типов производных инструментов уравнение имеет разные решения в зависимости от граничных условий. В частности для европейского опциона колл к моменту истечения контракта это |
Уравнение (10.28) не включает параметр р. Это означает, что при оценке стоимости производного инструмента не учитывается ожидаемая доходность базисной акции. Таким образом, если два инвестора имеют разные оценки ожидаемой доходности акции, но их мнения относительно дисперсии ее доходности совпадают, то они должны одинаковым образом оценить стоимость производного инструмента на эту акцию.15 Уравнение не содержит параметр р, а значит и не учитывает предпочтения инвесторов в отношении риска.16 Поэтому при оценке стоимости производного актива правомерно использовать модель, в которой инвесторы нейтральны к риску. Следовательно, для целей дисконтирования ожидаемой стоимости производного инструмента можно использовать ставку без риска.
10.2.1.