<<
>>

2.3.11 Форвардная цена акции

Рассмотрим вопрос определения форвардной цены актива, по которому не выплачиваются доходы, на примере акции. На акцию в течение периода действия контракта дивиденды не выплачиваются.

Инвестор хотел бы владеть через шесть месяцев акцией компа­нии А. Он может получить ее двумя способами: купить сегодня на спотовом рынке и держать полгода, или купить шестимесячный фор­вардный контракт. Тогда через полгода ему будет поставлена акция. Возникает вопрос, какой должна быть форвардная цена? Она долж­на быть такой, чтобы с финансовой точки зрения оба варианта дей­ствий для инвестора были одинаковыми, т.е.

он должен быть без­различен в выборе первого или второго варианта. Как создать такое безразличие? Если инвестор купит акцию по форвардному контракту, то сегодня он может разместить под ставку без риска на шестиме­сячном депозите сумму денег равную спотовой цене акции. Через полгода по депозиту он получит сумму денег равную спот-цене акции

плюс начисленные на нее проценты. Поэтому, если в качестве фор­вардной цены акции в контракте записать данную сумму, то инвестор будет безразличен в выборе первого или второго вариантов дейст­вий. С финансовой точки зрения они для него одинаковые, поскольку и в первом и во втором случае в начальный момент времени от него требуется сумма денег равная спотовой цене акции. На основе при­веденных рассуждений можно записать общий алгоритм определе­ния форвардной цены. Она равна цене спот базисного актива плюс безрисковый процент на цену спот за период действия контракта. Представим формулу определения форвардной цены в общем виде:

где F-форвардная цена акции;

S - спотовая цена акции; г-ставка без риска;

Т- период времени до истечения форвардного контракта; база - финансовый год.

Пример.

В момент заключения форвардного контракта цена спот акции равна 100 руб., ставка без риска 10%. Определить шестимесячную форвардную цену.

Решение.

Рассчитанная в примере цена называется теоретической форвардной ценой. Она должна быть именно такой, иначе откроет­ся возможность совершить арбитражную операцию и заработать прибыль без риска. Покажем это на цифрах.

Допустим, фактическая форвардная цена на рынке ниже теоре- іической и равна 103 руб. Тогда арбитражер сегодня покупает фор- ннрдный контракт по цене 103 руб., так как он стоит дешевле, чем должен стоить. Купив контракт, он обязуется купить акцию через шесть месяцев, поэтому сейчас акцию надо продать по спотовой і делке. В связи с этим он занимает акцию у брокера и продает ее на і потовом рынке за 100 руб., и размещает их на шестимесячном без­рисковом депозите под 10%.

Через полгода он получает от инвестирования 100 руб. сумму в 105 руб., уплачивает по контракту за акцию 103 руб. и возвращает ее брокеру. Прибыль арбитражера равна;

105-103 = 2руб.

Таким образом, если фактическая форвардная цена окажется ниже теоретической, то арбитражеры своими действиями сразу же вернут ее к 105 руб., так как начнут активно покупать форвардные контракты.

Выше мы упростили ситуацию, допустив возможность занять ак­цию без процентов.

Это условие можно опустить, если на рынке име­ется достаточное количество лиц, владеющих акциями данной ком­пании. В этом случае при возникновении на рынке шестимесячной форвардной цены в 103 руб. владелец акции сразу же: а) купит фор­вардный контракт; б) продаст акцию на спотовом рынке за 100 руб.; б) разместит полученные средства на безрисковом депозите на пол­года под 10%.

Через шесть месяцев он: а) получит по депозиту 105 руб.; б) уп­латит по контракту 103 руб. и вернет себе акцию.

Таким образом, он по-прежнему будет владеть акцией, но допол­нительно получит еще доход в размере 2 руб. за счет совершенной операции. В результате таких действий фактическая форвардная цена быстро вернется к ее теоретическому уровню.

Пусть владельцы акций не оказывают своими действиями влия­ния на формирование форвардной цены, и для совершения арбит­ражной операции арбитражеру необходимо уплатить брокеру за ак­цию проценты, В такой ситуации характер и последовательность действий арбитражера останутся прежними. Единственное, что мо­жет измениться, - это уровень форвардной цены. Она должна быть такой, чтобы за счет разницы между теоретической и фактической ценами арбитражер смог покрыть проценты за кредит и получить прибыль. Допустим, в нашем примере процент брокера за кредит по акции составляет 2 руб. Тогда арбитражная операция будет возмож­на, если фактическая форвардная цена окажется ниже 103 руб. Если же процент брокера за кредит меньше 2 руб., например, равен 1,5 руб., то инвестор совершит операцию, уплатив брокеру данную сум­му за кредит по акции. В этом случае его прибыль составит 0,5 руб.

Допустим теперь, что фактическая форвардная цена выше тео­ретической и равна 107 руб. Тогда арбитражер сегодня продает фор­вардный контракт по цене 107 руб., занимает 100 руб. под 10% на полгода, покупает на них акцию и хранит ее.

Через шесть месяцев он поставляет по контракту акцию за 107 руб., возвращает кредит в сумме 105 руб. Его прибыль равна:

107 -105 = 2руб.

Таким образом, если фактическая цена окажется выше теорети­ческой, то арбитражеры быстро восстановят их равенство своими операциями, активно продавая форвардные контракты.

В рассмотренном примере в первом случае арбитражер покупал контракт по 103 руб., осуществлял короткую продажу акции на спото­вом рынке и размещал 100 руб. на шестимесячном депозите, Финан- (овый результат он получал к моменту истечения контракта. Может ли арбитражер воспользоваться будущей прибылью сразу же, т.е. в момент начала осуществления арбитражной операции, и в каком объеме? Ответ на этот вопрос является утвердительным. Сумма донег, которую можно использовать сразу, равна дисконтированной (юимости будущей арбитражной прибыли. В примере арбитражная прибыль составила 2 руб. Поэтому в момент заключения контракта можно воспользоваться суммой:

Таким образом, из 100 руб., которые арбитражер получит от про­ложи акции на спотовом рынке, он может сразу израсходовать 1,9 руб. Оставшуюся сумму:

100-1,9 = 98,1 руб.

им разместит на депозите. К моменту окончания действия контракта иимучит по депозиту:

Купит акцию по контракту и вернет его брокеру.

Чтобы определить сумму арбитражной прибыли на момент нача­ло операции, можно рассуждать следующим образом.

К моменту окончания контракта арбитражер должен располагать суммой в 103 руб чтобы уплатить их по контракту. Следовательно, в начале опе­рации надо разместить на депозите сумму равную дисконтированной і юимости данной величины:

От короткой продажи акции арбитражер получает 100 руб. Поэтому из этой суммы он 98,1 руб. разместит на депозите, а:

100-98,1 = 1,9 дуб.

может использовать сразу в качестве арбитражной прибыли.

В рассмотренном примере во втором случае арбитражер прода­вал контракт по 107 руб., занимал 100 руб, на шесть месяцев и поку­пал акцию на спотовом рынке. Финансовый результат он получал к моменту истечения контракта. Может ли арбитражер воспользовать­ся будущей прибылью сразу же, т.е. в момент начала осуществления арбитражной операции, и в каком объеме? Ответ также является утвердительным. Сумма денег, которую можно использовать сразу, равна дисконтированной стоимости будущей арбитражной прибыли, т.е. вновь:

Чтобы получить данную сумму в момент заключения контракта, ар­битражер должен действовать следующим образом. Через полгода за акцию контрагент уплатит ему 107 руб. по контракту. Поэтому сегодня он может взять шестимесячный кредит в размере:

(107 руб. составят сумму долга с процентами.)

Из этой суммы за 100 руб, он покупает на спотовом рынке акцию. Ос­тавшиеся:

101,9-100 = 1,9/туб.

составляют его прибыль. Через полгода арбитражер поставляет по кон­тракту акцию за 107 руб. и возвращает данные средства в погашение кредита.

Формулу (2,1) можно использовать для определения форвардной цены бескупонных облигаций.

Пример.

Цена спот краткосрочной облигации равна 85%, ставка баз риска - 10%. Определить форвардную цену облигации с поставкой через месяц. Она равна:

Форвардную цену бескупонной облигации можно также опреде­лить дисконтированием номинала под форвардную процентную ставку[13], а именно:

і де гф - форвардная ставка для периода Т.

Пример.

Государственная краткосрочная облигация погашается через 90 дней. 30-дневная форвардная ставка без риска через 60 дней равна 10% годовых, финансовый год составляет 365 дней. Определить 60- дневную форвардную цену бескупонной облигации. Она равна;

На рынке производных инструментов в формулах активно ис­пользуется непрерывно начисляемый процент.[14] Это в первую оче­редь связано с определением вероятностной модели доходности актива. Оказывается, что более приближенной к реальности вероят­ностной моделью доходности актива является модель, использую­щая в качестве случайной переменной не простую доходность, а непрерывно начисляемую доходность.[15] Запишем формулу (2.1) с использованием непрерывно начисляемого процента:

где г - непрерывно начисляемая ставка без риска;

Т - время действия контракта в годах.

На практике доходность обычно задается как простой процент в расчете на год. Для пересчета его в эквивалентный непрерывно на­числяемый процент служит следующая формула:

где rH - непрерывно начисляемый процент; г - простой процент;

т - частота начисления простого процента в рамках года. Соответственно, определить простой процент на основе непре- пывно начисляемого можно по (Ьопмуле:

Приведем пример на использование формулы (2,2),

Пример.

Цена спот акции 100 руб,, трехмесячная ставка без риска на ос­нове простого процента равна 10% годовых. Определить трехмесяч­ную форвардную цену с помощью формулы (2,2).

Решение,

Трехмесячный период, представленный в годах, составляет:

Форвардная цена равна:

Определяем эквивалентный непрерывно начисляемый процент:

Докажем формулы (2.1) и (2.2) на основе подхода, не допускаю­щего получения арбитражной прибыли. Доказательство проведем для случая непрерывно начисляемого процента.

Имеется два портфеля А и В, Портфель А состоит из одного длинного форвардного контракта на акцию, который стоит / , и сум­мы денег равной приведенной стоимости цены поставки Ke~rl, где К - цена поставки акции, г непрерывно начисляемая ставка без риска, Т время действия контракта. Сумма денег Ке~гТ инвестиру­ется под процент г на время Т . В портфель В входит одна акция, цена спот которой равна S .

По прошествии времени Т портфель В состоит из одной акции. II портфель А также входит одна акция, поскольку величина Ке~гТ ы время Т выросла до суммы К . Она была уплачена за акцию по форвардному контракту. Таким образом, стоимости портфелей А и В равны в конце периода Т, Следовательно, в начале периода Т их стоимости также должны быть равны, чтобы исключить возможность совершения арбитражной операции. Поэтому можно записать:

Поскольку в момент заключения контракта его стоимость (/) равна нулю, а цена поставки равна форвардной цене (К = F), то

2.3.1.2. Цена форвардного контракта

Когда заключается форвардный контракт, его цена равна нулю, так как форвардная цена равна цене поставки. Однако по прошест­вии времени контракт получит некоторую цену. Прошло время, воз­можно изменилась и процентная ставка, поэтому на рынке возникла новая форвардная цена. Однако наш форвардный контракт дает инвестору возможность получить базисный актив по цене поставки, которая отличается от цены поставки контрактов, заключаемых в данный момент времени. Рассмотрим вопрос определения цены форвардного контракта на примере.

Пример 1.

В момент заключения шестимесячного форвардного контракта цена спот акции была равна 100 руб., ставка без риска 10%. Как мы определили выше, цена поставки по данному контракту составила 105 руб. Прошло три месяца. Цена спот акции к этому моменту вы­росла до 120 руб. Необходимо определить цену контракта.

В соответствии с условием контракта его владелец через три ме­сяца должен будет заплатить 105 руб, за акцию. Дисконтированная стоимость данной суммы сейчас равна:

Инвестор может разместить данную сумму на безрисковый депо­зит на три месяца и купить по некоторой цене форвардный контракт. Тогда через три месяца он получит акцию. В то же время, он может купить сегодня акцию за 120 руб. на спотовом рынке. Тогда через три месяца он также будет располагать акцией. На акцию не выплачива­ются дивиденды, поэтому сегодня оба варианта действий должны быть одинаковыми для него с финансовой точки зрения, поскольку в конце периода они приносят ему одинаковый результат. Поэтому можно записать равенство:

Отсюда:

Таким образом, цена форвардного контакта равна разности меж­ду ценой акции в момент продажи форвардного контракта и приве­денной стоимостью цены поставки к моменту его перепродажи. За­пишем сказанное в виде формулы:

или для непрерывно начисляемого процента:

где Т - время, остающееся до истечения контракта.

В формуле (2.8) величина

является новой форвард­

ной ценой акции для момента перепродажи контракта. Поэтому:

или

(лким образом, формулы (2.9) и (2,10) показывают, что цену фор­вардного контракта можно найти дисконтированием разности между новой форвардной ценой, т.е. форвардной ценой в момент продажи контракта, и ценой поставки контракта.

Дня непрерывно начисляемого процента эквивалентом формулы W 9) является формула:

Мы рассмотрели цену форвардного контракта для участника, за­нимающего длинную позицию. Чтобы получить стоимость контракта для участника с короткой позицией, необходимо формулы (2.6), (2,7) и (2,9), (2.10) умножить на минус один. В частности для случая не­прерывно начисляемого процента получим:

где -/ - цена контракта для лица с короткой позицией.

Поскольку цена спот акции в последующем может как вырасти, так и упасть, то цена форвардного контракта может иметь как поло­жительную, так и отрицательную цену. Причем, если для участника с длинной позицией цена положительная, то для участника с короткой позицией она отрицательная, и наоборот. Отрицательная цена для участника контракта означает: для того, чтобы освободиться от обя­зательств по форварду, ему необходимо уплатить данную сумму новому лицу, которое займет его позицию в контракте. Так в рас­смотренном примере, если контракт перепродает лицо с короткой позицией, то ему придется уплатить покупателю, который возьмет на себя его обязательства, 17,56 руб. Этого требует принцип получения одинакового результата при разных вариантах действий. В нашем случае лицо, желающее открыть короткую позицию по акции с по­ставкой через три месяца, может не покупать уже действующий кон­тракт, а продать новый форвардный контракт. Тогда в нем будет записана цена поставки:

Купив старый контракт, оно сможет продать акцию только по 105 руб. Естественно, такой вариант является для него не выгодным. Однако, если продавец контракта уплатит ему 17,56, то, разместив их на трехмесячном депозите, новый владелец контракта получит:

В сумме с поставкой акции по контракту за 105 руб. данный вариант действий также обеспечит ему получение через три месяца 123 руб.

Если в примере 1 цена форвардного контракта будет отлична от 17,56 руб, то можно совершить арбитражную операцию. Проиллюст­рируем это на цифрах.

Пример 2. (Сохраняются условия примера 1).

Алгоритм действий арбитражера можно получить на основе фор­мулы (2.6).

Пусть форвардный контракт для участника с длинной позицией стоит 17 руб. Тогда равенство (2.6), не допускающее арбитражной ситуации, превращается в неравенство:

Представим левую часть неравенства как портфель А правую - как портфель В. Поскольку портфель А стоит дешевле, его необходимо купить. Портфель В стоит дороже, его следует продать. Покупка актива обозначается знаком плюс. Знак плюс стоит перед знаком /.

Продажа актива обозначается знаком минус. Поэтому для определе­ния действий, которые означают продажу портфеля В, умножим пра­вую часть неравенства (2,11) на минус один и раскроем скобки:

или

Знак минус перед S говорит о том, что акцию надо продать. По­скольку арбитражер акцией не располагает, ее следует занять. Знак плюс перед вторым слагаемым выражения (2.12) означает: деньги, полученные от короткой продажи акции, надо разместить на депози-

зо

те. В целом в рамках арбитражной стратегии инвестор осуществляет короткую продажу акции, покупает на часть полученных средств форвардный контракт, оставшуюся часть денег размещает на депо­зите до момента истечения контракта.

Таким образом, арбитражер занимает акцию у брокера и продает ее на спотовом рынке за 120 руб. За 17 руб. покупает форвардный контракт. Сумму денег:

размещает на депозите и получает через три месяца:

Из них уплачивает по контракту 105 руб, за акцию и возвращает ее брокеру. Арбитражная прибыль равна:

Прибыль можно получить и непосредственно в начале операции. К моменту истечения контракта арбитражер должен располагать 105 руб. для покупки акции. Поэтому он разместит на трехмесячном депозите:

которые и принесут ему 105 руб. В результате, из полученных от корот­кой продажи акции 120 руб. он может сразу использовать прибыль в размере:

align=center> Она равна дисконтированной стоимости прибыли, рассчитанной на мо­мент истечения контракта:

Рассмотрим другой вариант арбитража. Предположим, инвестор не имеет возможности занять акцию для короткой продажи. Тогда он зай­мет 17 руб,, купит старый контракт и продаст новый форвардный кон­тракт по цене 123 руб., истекающий одновременно со старым.

Через три месяца по старому контракту он покупает акцию за 105 руб. и продает ее по новому за 123 руб., выиграв на разнице цен:

По кредиту возвращает сумму:

Арбитражная прибыль равна:

Если инвестор желает использовать прибыль в момент заключения контрактов, то ему следует занять сумму:

т.е. дисконтированную стоимость дохода, который будет получен через три месяца. Из них за 17 руб. он покупает контракт. Арбитраж­ная прибыль, как и раньше, равна:

Если форвардный контракт стоит больше 17,56 руб., например, 18 руб., то можно совершить следующую арбитражную операцию. Для вла­дельца короткой позиции контракт стоит минус 18 руб. Арбитражер поку­пает контракт с короткой позицией, т.е. его прежний владелец уплачива­ет ему 18 руб. Арбитражер занимает:

и покупает акцию на спотовом рынке за 120 руб.

Через три месяца он поставляет акцию по контракту за 105 руб., и отдает по кредиту:

Прибыль равна:

Пусть инвестор желает использовать арбитражную прибыль сразу. Через три месяца по контракту он получит за акцию 105 руб. Поэтому сегодня он занимает:

и покупает акцию. Сумма:

составляет его прибыль. Она равна дисконтированной стоимости вели­чины прибыли на момент истечения контракта:

Рассмотрим другой вариант арбитража. Инвестор покупает контракт с короткой позицией, т.е. прежний владелец уплачивает ему 18 руб., и заключает новый длинный форвардный контракт по цене 123 руб., исте­кающий одновременно со старым, чтобы к моменту истечения первого контракта (с короткой позицией) располагать акцией. Тогда полученные 18 руб. от владельца короткой позиции по первому контракту он инве­стирует на три месяца. В конце периода получает сумму:

По старому контракту арбитражер продает акцию за 105 руб., а по ново­му должен купить ее за 123 руб. Чтобы купить акцию по этой цене, к 105 руб. он прибавляет 18 руб. от средств, полученных по депозиту. Арбитражная прибыль равна:

Пусть инвестор желает использовать прибыль в начале периода. Тогда на трехмесячном депозите он разместит:

Разница между суммой, полученной от владельца короткой позиции и размещаемой на депозите суммой составит его прибыль. Она равна:

Мы рассмотрели случаи, когда контракт имел положительную це­ну для владельца длинной позиции. Остановимся теперь на дейст­виях арбитражера, если цена для него отрицательная, т.е. курс спот акции меньше 102,44 руб.4

Пример 3.

В момент заключения шестимесячного форвардного контракта цена спот акции была равна 100 руб., ставка без риска 10%. Как мы определили выше, цена поставки по данному контракту составила 105 руб. Прошло три месяца. Цена спот акции к этому моменту упала до 95 руб. В соответствии с формулой (2.6) цена контракта для лица с длинной позицией должна быть равна:

Соответственно для лица с короткой позицией она составляет 7,439 руб.

Через три месяца по второму контракту он покупает акцию за 97,375 руб., по первому - продает за 105 руб. По кредиту уплачивает:

Арбитражная прибыль равна:

Пусть фактическая цена равна 7 руб. (для лица с короткой пози­цией). Контракт стоит дешевле чем должен стоить. Поэтому арбит­ражер покупает короткий контракт, заняв для этого 7 руб. Одновре­менно он заключает новый длинный форвардный контракт с ценой поставки:

Ее дисконтированная стоимость равна:

Арбитражной прибылью можно воспользоваться и в начале опе­рации. Чтобы определить ее величину будем рассуждать следующим образом. К моменту истечения контрактов на разности цен акций будет получена сумма:

Из этой суммы на 7 руб. арбитражер покупает контракт. Соответст­венно сумму:

7,439 - 7 = 0,439 руб.

можно использовать в качестве арбитражной прибыли.

Пусть для лица с длинной позицией контракт стоит минус 8 руб. Тогда арбитражер покупает контракт с длинной позицией, т.е. быв­ший владелец уплачивает ему 8 руб. Он размещает их на депозит и заключает трехмесячный контракт с короткой позицией по цене

97,375 руб.

Через три месяца по первому контракту арбитражер покупает ак­цию за 105 руб. и поставляет ее по второму за 97,375 руб., по депо­зиту получает сумму:

Арбитражная прибыль равна:

97,375+ 8,2-105 = 0,575 дуб.

Арбитражной прибылью можно воспользоваться и в начале опе­рации. Чтобы определить ее величину будем рассуждать следующим образом. К моменту истечения контрактов по первому контракту ин­вестор должен уплатить 105 руб., а по второму получит 97,375 руб. Отрицательное сальдо на разности цен составит:

97,375 -105 = -7,625дуб.

Следовательно, к моменту окончания срока действия контрактов он должен располагать дополнительной суммой в 7,625 руб. Ее дисконтированная стоимость равна:

Поэтому из полученной по первому контракту суммы 8 руб. он раз­мещает на депозите 7,439 руб., чтобы через три месяца получить 7,625 руб. Вместе с 97,375 руб. они дадут 105 руб. для покупки акции по первому контракту. Соответственно прибыль равна:

8 - 7,439 = 0,561дуб.

2.3.2.

<< | >>
Источник: Буренин А.Н.. Форварды, фьючерсы, опционы, экзотические и погодные производные М, Научно-техническое общество имени академика С.И. Вави­лова, 2005, - 534 + 6 с. 2005

Еще по теме 2.3.11 Форвардная цена акции:

- Авторское право - Адвокатура - Административное право - Административный процесс - Антимонопольно-конкурентное право - Арбитражный (хозяйственный) процесс - Аудит - Банковская система - Банковское право - Бизнес - Бухгалтерский учет - Вещное право - Государственное право и управление - Гражданское право и процесс - Денежное обращение, финансы и кредит - Деньги - Дипломатическое и консульское право - Договорное право - Жилищное право - Земельное право - Избирательное право - Инвестиционное право - Информационное право - Исполнительное производство - История государства и права - История политических и правовых учений - Конкурсное право - Конституционное право - Корпоративное право - Криминалистика - Криминология - Маркетинг - Медицинское право - Международное право - Менеджмент - Муниципальное право - Налоговое право - Наследственное право - Нотариат - Обязательственное право - Оперативно-розыскная деятельность - Права человека - Право зарубежных стран - Право социального обеспечения - Правоведение - Правоохранительная деятельность - Предпринимательское право - Семейное право - Страховое право - Судопроизводство - Таможенное право - Теория государства и права - Трудовое право - Уголовно-исполнительное право - Уголовное право - Уголовный процесс - Философия - Финансовое право - Хозяйственное право - Хозяйственный процесс - Экологическое право - Экономика - Ювенальное право - Юридическая деятельность - Юридическая техника - Юридические лица -