Rotatie

De rotatie op zich kan men ook op twee manieren uitvoeren: met of zonder homogene coordinaten. Steunend op onze vorige keuze in paragraaf 4.3.2 om niet met homogene coordinaten te werken, bekomen we de rotatiematrices R_x , Ry en R_z , gedefinieerd in de vergelijkingen 4.6,4.7 en 4.8.

Rx

Ry

Rz

cosy 0 -sinY 0 1 0 sinY 0 cosy

cosd sind 0 —sind cosd 0 0 0 1

B\' = R(B + To) - To

(4.6)

(4.7)

(4.8)

(4.9)

Na een rotatie bekomen we meestal niet gehele 3D-coordinaten voor het oppervlaktebeeld en zul- len we de beeldpunten interpoleren om het resultaat voor te stellen als een 2D-beeld met hoogte- informatie. Dit is nodig om deze efficient te kunnen vergelijken met een ander oppervlaktebeeld, zoals verdere beschreven wordt in paragraaf 4.3.4. Om deze interpolatie uit te voeren hebben we twee interpolatiemethoden met elkaar vergeleken: een achterwaartse en een voorwaartse interpolatiemetho- de. We leggen beiden uit voor het resultaatbeeld B bekomen na een rotatie van een oppervlaktebeeld A rond de Z-as.

²De term globale fout verwijst naar het resultaat van de kostfunctie die in paragraaf 4.3.4 besproken wordt.

³De term bilineaire interpolatie wordt in paragraaf 4.3.3 besproken.

Bij voorwaartse interpolatie voeren we de transformatie van het oppervlaktebeeld A uit en bekomen we punten met niet gehele 3D-coordinaten. We interpoleren dan deze punten om de coordinaten met gehele x- en y-waarden — de roosterpunten van het resultaatbeeld — te bekomen. Wij illustreren deze methode met k-buren interpolatie. Bij achterwaartse interpolatie schatten we het resultaatbeeld B in van grootte en passen we de inverse transformatie toe op de roosterpunten (x- en y-coordinaat gekend) van het resultaatbeeld. We bekomen dan punten met niet gehele 3D-coordinaten in het oorspronkelijk oppervlaktebeeld A waarvan de z-waarde niet gekend is in het geval van een rotatie rond de Z-as. We interpoleren deze punten dan met de roosterpunten van A om de z-waarde te kennen. Deze z-waarde blijft na transformatie gelijk voor het resultaatbeeld, dus kennen we op die manier ook de uiteindelijke z-waarde voor de roosterpunten. Wij illustreren deze methode met bilineaire interpolatie.

Bilineaire interpolatie

Als achterwaartse interpolatiemethode hebben we dus gekozen voor bilineaire interpolatie [16] die gelmplementeerd is in de functie of in de matlabfunctie . We beschou- wen de roosterpunten bi,j van het resultaatbeeld B. We passen daarop de inverse transformatie toe en bekomen de punten Ьа in het rooster van het oorspronkelijke oppervlaktebeeld A. Voor de punten Ьа berekenen we de z-coordinaten via bilineaire interpolatie van de z-waarden van de naburige roosterpunten ai,j van A. De berekening gebeurt via de formule 4.10.

Ьа(х, y) = (1 - k)( 1 - 1)ai-i,j-i + (1 - k)lai-i,j + k( 1 - l)a_itj-1 + klai,j,

met (4.10)

k = ха - xi-i en l = уа - yi-i

K-buren interpolatie

Als voorwaartse interpolatiemethode hebben we gekozen voor een vorm van k-buren interpolatie met een vast venster (zie de functie ). We zullen kijken of deze beter presteert dan de in vorige sectie beschreven bilineaire interpolatie. De kern van de k-buren interpolatie is dat men niet gehele 3D-coordinaten heeft en men deze wil interpoleren naar de roosterpunten, zodat we terug een 2D-voorstelling kunnen krijgen die we nodig hebben om de globale registratiefout telkens te kunnen bepalen.

We voeren de transformatie uit van de roosterpunten a_i,j van A, het oorspronkelijke beeld, naar het rooster van B, het getransformeerde beeld.

-d²

G(d) = e ²⁽⁰’⁷⁵У²

d(as fbk,i) = \\J(ав,х - bk)² + (ав,у - bi)²

Na het berekenen van alle gewichten berekenen we voor elk roosterpunt b_k,_l de z-waarde. Hiertoe nemen we het gewogen gemiddelde van de z-waarden van de omliggende punten a_B, waarvan b_k,_l zich in het bijhorende venster bevindt. Het kan voorkomen dat er zich geen punten a_B in de omgeving van een punt bk,i bevinden. In dit geval nemen we na het overlopen van alle b_i%j het gemiddelde van de z-waarden van de 8 naburige roosterpunten van b_{k l}.

bi,j =

8 Yk,l=-l ^bi+k,j+l ^aB ^(xi, ^yj ⁾,

wi а в (xii,yji )+w₂aB (xj2,yj2)+- W1+W2+.. ^,

indien geen punten a_B in zone van b_i%j.

indien I punt a_B in omgeving van b_i%j.

indien meerdere punten a_B in omgeving van b_i%j.

met Wk = G(d(aB (xik ,Vjk), bi,j))

en i = l..m, j = l..n (indien de grootte van B gelijk is aan m x n).

(4.12a)

(4.12b)

(4.12c)

Bij het vergelijken^[14] van beide interpolatiemethoden blijkt de bilineare interpolatie minder tijd nodig te hebben om te interpoleren, zoals te zien in Tabel 4.3.

We merken bij een beeld van 1400 x 1400 waarden op dat de tijdsduur een grote sprong maakt voor k-buren interpolatie. De reden daarvoor is dat de gewichten voor elke a_B vooraf berekend worden voor de omliggende roosterpunten. Deze waarden worden ook opgeslagen. Bij een beperkt beschikbaar geheugen kan deze uitgebreide coordinatenlijst tot problemen leiden. Bij de geheugenallocatie brengt dit door het swappen een extra verlies aan performantie met zich mee.

Tabel 4.3: De performantie in tijdsduur (s) wordt voor terugwaartse en voorwaartse interpolatie weergegeven bij rotatie over een hoek over 45° rondom Z-as van een m x n beeld. De bekomen waarden zijn een gemiddelde over 10 testen.

4.3.4