Финансовые ренты Финансовая рейта или

а) Общая постоянная рента.

• Я \'

Три годовой сумме платежа Я отдельные платежи — следуют в конце

Р

:аждого периода длительности —. На эти поступления наращиваются

ожные проценты по ставке \\/т столько раз, сколько периодов длины укладывается в течение оставшегося срока ренты. Очевидно, что к-й

Р1

Платеж отстоит от даты завершения п на расстоянии I п-—1 лет. Поэто-

р; \r\n

( ч

му на него будет произведено процентных начислении и его

частичный вклад в наращенную сумму потока Б составит величину:

(пр-к)ш

р I т 1

С учетом того, что общее число платежей за весь срок п павно ппоиз-

ведению пр, будем иметь

Vi\'P- Min

i . i \\ Р

"й? mj

Очевидно, что слагаемые этой суммы, записанные в обратном порядке, следуют в возрастающей геометрической прогрессии с первым членом R/p; знаменателем (1 + i/m)m/P и числом членов пр. Пользуясь формулой суммы геометрической прогрессии, получим выражение для обобщенной характеристики:

/ i

iii \r\nS = Р

i+—Ip -1

m

\r\n

\r\nФормулу современной величины потока можно получить аналогичным путем, но уже дисконтируя отдельные платежи с последующим сум-мированием или, что даст тот же результат, дисконтируя обобщенную характеристику Б на начало ренты:

. . .-щи

А-*|1 + ±) . (\'3)

Рассматривая в (12), (13) возможные комбинации значений т и р по признаку их совпадения или несовпадения с единицей, придем к совре-менной и наращенной величинам потока для различных частных рент: годовой и р-срочной (р > 1), с однократным или т-кратным (т > 1) на-числением процентов.

По мнению автора, для овладения методами финансовой арифметики первостепенное значение приобретает не запоминание отдельных формул, а знание общих принципов, посредством которых эти формулы выводятся. В связи с этим вам рекомендуется найти обобщенные характе \r\nристики перечисленных выше потоков непосредственно и проверить ответы на соответствие формулам (12), (13)

; Простая годовая рента. Под этой рентой имеется в виду последовательность одинаковых погодовых выплат Я в течение всего срока п (число лет) и с одноразовым ежегодным начислением процентов по одной и

той же ставке] П>иь момен1 оценивания современной величины совпа-

гтаат л I 1<>мо паи 1Т1 > Ц и л пш п мюпашю ^тли и\'11Л>11/тогмюти1/и липа по

ди V. I Ч/ !КП1иН\'|У| | ! ! 14 | П ! V. ! I I I _» I 1 СД V.\' I I Г1 ^ V I иГ| ЛИрИМ I Г|1\\Г|

ляется суммой дисконтированных членов ренты, что дает формулу:

А = Яу + Яу" + + Я-,\'" = Яу - ,

I — V I

цли, с учетом определения у шш-!—, - равносильное равенство:

, А - - - о + Л"]/

Величина [1 - (1 + .Л"11]/) обозначается а(п, и называется коэффициентом приведения ренты. С учетом этого обозначения имеем: А = Яа(п,}).

Последняя запись сошииыс» с частым выражением обиден форм>лы (13) при р = 1Т1 = ! Начисляя приведенную стоимость А на срок оконча- ния п, найдем, что наращенная сумма простой годовой ренты Б = А(1 +])»= Я[(1 +])"- \\]/у

Величина [(1 + ])" - \\\\/) обозначается х(п, ]) и называется коэффициентом наращения ренты. С учетом этого обозначения имеем: 8 = Мп,)).

Величины а(п, ,0 и 5(п, связаны очевидным соотношением: ^(п, .о = а(п, .0(1 + .о», или 8(п, .0 = а(п, .0М(п, .0.

Коэффициент наращения 5(п,.0 показывает, во сколько раз наращенная величина ренты больше ее годового платежа. Аналогичный смысл Имеет и коэффициент приведения ренты.

Пример На счет в банке вносится сумма 100 тыс. руб, однако не сра- <л зу, а в течение 10 лет равными долями в конце каждого года. Какой будет ^ сумма на счете после 10 лет, если годовая ставка \\ ~ 0,04 (4%).

Условиям данного примера соответствует рассмотренный выше наиболее простой случай - годовая рента: каждый год - один взнос и одно начисление. Итоговая величина на счете определяется числовым значением суммы Б, полученной сложением накоплений по каждому взносу:

Б - 10(1 + 0,04)" + 10(1 + 0,04)" + ... + 10 - "1} " 120 (тыс. руб.).

Вечная (бессрочная рента). Вечная рента представляется последовательностью платежей, число членов которой не ограничено, - она выплачивается в течение бесконечного числа лет. Вечная рента не является чистой абстракцией и может использоваться для приближенного описания долгосрочных потоков, когда либо период всех выплат достаточно велик, либо не оговариваются какими-либо конкретными сроками прибыль от эксплуатируемого оборудования, выплаты по обязательствам пенсионных фондов, периодические купонные поступления для долго-

п 1Л/М1 и |.| V n^iumiiunuukiv тайилли м т п

"С" UV..lllHmlVllllUl.l VJUIIKIUU >1 1. W

Современную величину вечной ренты можно определить, суммируя

бесконечное число платежей R, дисконтированных на ее начало, или непосредственно из формулы для простой ренты, устремляя число ее

МЛ СНОВ К ovCKOHSMHOCTH Г! СЗйВйСИ MIO ОТ СПОСО&а пОЛх\'МСНИЯ ппмия при иоа

стоимость такой ренты равна:

Л.-*;

J

при этом, как легко доказывается формально и что следует по существу, ее наращенная сумма будет равна бесконечно большой величине.

Пример. Ставка процента выросла с .8 до 10%. Как это повлияло на Kail питал держателя бессрочной ценной бумаги, которая приносит ему ежегодно

ГОДОВОЙ ДОХОД Б 100 долл.

ГТ„ии„„ „„„„..„ „„„„„„,_..„ „„....„к —„

^uiiuuji uvJiiii wvviiv-irluuvi vuvvi "w u.i^uwiuLvu uv\'Hiiuri j/viiiv/n С iiO"

следовательными выплатами в 100 долл. Для него это равносильно обладанию капиталом в размере:

.. 100

К. -1250 долл.

1 0,08

при 8%-й ставке и соответственно -

1 АЛ

К, = — = 1000 долл. 0,01

при увеличении ставки до 10%.

Сравнивая, видим, что подъем процентной ставки приводит к снижению "равносильного" капитала:

Л = 1250 - 1000 = 250 долл.

Замечание. Выше показатели S, А получались сложением наращенных \\ или дисконтированных значений по каждому индивидуальному платежу на "концевую" дату (либо на начало, либо на конец рассматриваемого периода). Как следует из содержания этих показателей, их можно вычислить также последовательным присоединением промежуточных результатов наращивания (соответственно дисконтирования) на дату очередного платежа и т. д. Для пояснения рассмотрим годовую ренту с членом R и ставкой начисления i. Тогда > второму способу отвечает следующий ход рассуждений. \r\n

В конце первого года имеем поступление S, = R. В конце второго го- аа на него начислятся проценты и добавится очередной платеж: §2 = R(1 + i) + R. В конце третьего года начисление по первым трем йпатежам даст результат S3 = [R х (I + П + RK1 + П + R и т. д. вплоть ло

$-Sn=Sn_,(l +i)+R.

б) Переменная рента. К этому типу относятся финансовые ренты, элементы которых изменяются в соответствии с каким-либо заданным правилом. Ограничимся рассмотрением двух типов переменной годовой ренты (выплаты в конце года): с постоянным абсолютным а и с постоянным относительным q приростами платежей.

! ~ - У. ..Г.

J ¦ siCpBO^O sssUflU :::I: г ::J.;::: uuuaovt: v.I,:.-.".::-

(ческую прогрессию и n-й платеж R„ = R| + (n - l)a. Дисконтируя на на- |ало срока ренты, найдем современную величину:

А = R,y + (R, + А)у2 + ... + [(R, + (П - 1)А]у", (14)

\'где п - срок ренты, а дисконтный множитель у = —.

(1 + 1)

; Разделим равенство (14) на у и запишем результат в виде следующего выражения:

А 0 + i) = R,(l + Y + - \' 7,vl) + ay Ь 2ау- + ... + (n - Day"1. Вычитал из обеих его частей соответствующие части формулы (14), :ИМеем:

Ai = R.(l - у") + - nay"

1-у

\'или, несколько преобразовав это выражение, найдем:

Нетрудно понять, что здесь уменьшаемое A\'=(R1+YJ(Y\'+Y2+- + YN),

и а

па і

Sfo есть дает современную величину постоянной ренты с членом К,+ у

Очевидно, что S - А(1 + і)" - { R, + у

Таким образом, для ренты, у которой размеры платежей образуют \'арифметическую прогрессию, эта характеристика совпадает с наращени- \r\nп 11

ем для постоянной ренты с платежом, равным К,+ —, за вычетом по-правки, пропорциональной разности прогрессии.

Покажем, что те же формулы можно подучить, основываясь на финансовых рассуждениях и применяя понятие бессрочной ренты Для этого составим портфель из п. таких рент с одинаковыми платежами а и последовательно сдвинутыми началами, считая ск = 2идок = п+ I. Соответствующий этому портфелю финансовый поток имеет вид последовательности платежей

Каждую входящую в портфель ренту с номером к можно заменить приведенной на предшествующий ее началу момент стоимостью

А - , к = 2, ... її + 1. В результате придем к рис. 4, на котором пред- і

ставлена эквивалентная финансовому потоку (рис. 3) последовательность платежей \r\n

совпадает с поправочным членом ПЛЧ доказываемой формулы, а ее сла-

і

я С1 _ _ . „ ,

гаемое и \'• < \' равно приведенной стоимости финансовой ренты рис. 4.

і і

Пример. Приведем задачу, основанную на реніе рассмотренного типа и имеющую "глубокий" деловой смысл. Когда-то эта задача предлагалось читателям "Экспресс-газеты" и никого не оставила равнодушным.

Однажды босс, будучи в хорошем расположении духа, сказал своей секретарше.

\' - Учитывая, что вы никогда не берете отпусков, я решил каждый год увеличивает» вашу зарплату на 100 долл. С сегодняшнего дня в течение ближайшего го- Ч да вы будете получать зарплату из расчета 600 долл. в год; в следующем году ваша зарплата составит 700 долл.; в следующем - 800 и т. д., то есть через каждый год она будет возрастать на 100 долл.

*

- Мое слабое сердце, - ответила секретарша, - не выдержит столь резких 4 изменений. Пусть начиная с этого дня, зарплата мне, как вы и сказали, вы- ¦ плачивается из расчета 600 долл. в год, но пусть в конце шестого месяца моя годовая зарплата увеличится на 25 долл. и продолжает возрастать на 25

доля мер«", гпждие шосп> мостов, до тех р.ср пока мия робою будиі вис удовлетворять.

"І Босс милостиво улыбнулся своей преданной секретарше и согласился на

ее вариант, но блеск его глаз побудил одного из сотрудников подсчитать, мудро ли он поступил, приняв предложение своей служащей.

А как считаете вы?

2) Пусть платежи характеризуются постоянным относительным приростом, то есть

=к;1 = 2, 3, ...,„.

К.

Тогда их дисконтированные значения образуют геометрическую прогрессию с первым членом знаменателем ч = (1 + к)ч и числом членов п. Сумма этих величин, очевидно, равна приведенной стоимости потока:

1 _. 1 + к

К|Тд+цу-і н І1+•

(1 + к)у -1 і - к Отсюда найдем характеристику Б = А(1 + і)" = ^[(1 + і)" -(1 + к)"]/(і-к).

Пример. Предположим, что темп прироста совпадает со ставкой дис-контирования, то есть »(1 + , > = 1,п. В этом случае приведенные стоимости всех разновременных платежей будут равны одной и той же вели-

К

чине ? _—!_, которой отвечает современная величина всего потока: 1 + 1

А.З.

1 + 1

Это же значение получится и из приведенной выше общей формулы с

и п

помощью раскрытия неопределенности вида _ по правилу лопиталя:

о

1_а+мв

Пт К, + - -А_ Пт П(1 + к)- = ^

к-, 1 1 _ к (1 + \\)" 1 + 1