Произведение матриц

2. Умножение матриц - это специфическая операция, составляющая оі нову а пторы матриц. С троки и столбцы матриц можно рассматрт, па і ь как вс кт< >ры -г трок и 11 ве ктор ы -стол б ц ьг т оо таете г ву ю щн х раа-

мгрнпстгЛ; иными словами.

11 ус гіі да и ы дне >іаі рі ты: Л - размера т * и и й - размера п х к Пулем рассматривать млЧрпцу А как совокупность т векторов строк « размер 111 кл и м к л ж,ты іі, а матрицу В — ка к со по ку н 11 ость к це к і престол бцпь Ь,. содержащих по п квордшйТі каждым:

Определение 13. Произведением матриц Л п В называется матрица С, элементы которой г„ раины скаЛрііьіЛі про из целениям векторов- строт и: .матрицы I на век торы-с соде ты b матрицы В:

Таким образом. Дії я вычисления элементов мерили строки матрицы С необходимо поедет-шаттлы и) получи п. скалярные пронзисдсіМІя пер- іюґі строки матрицы I на все столбцы матрицы В; вторая строка матрицы С і юлу чается как скалярные л рпмз велев 11 и второй вектор-1 т роки матрицы 1 на все векторы-столбцы матрицы В пт. д. Для удобства омределенин размера произведения машин нежно поделить дрег на

друга произведения размеров мафиц-соМішжіГг^лсй;

размер матрицы С равен пропзве тению осгаишикея в отношении чисел: гаМ к

Заметим, что если Я и В - прямоугольные матрицы, то произведение ВЛ уже может не иметь е мысли (т.

Если матрицы Ли В квадратные порядка н. имеет смысл как произведение матриц А В, так п произведение матриц ВЛ. причем размер тих матриц такой же. как и у исходных ебм ножнУ еден. При этом и общем с луща с перемножения матриц правило перестановочности не со- блкинется, т. е. АВ*ИА.

Пример 5.

Решение. Поскольку число столбцов матрицы 1 рацио числу строк матрицы И, то п рою гудение матриц В имеет смысл. По формуле (1.2Я) получаем в лроизпедепип матрицу размера 3 * 2:

Произведшие В А нс имеет смысла так как число столбцов матрицы В не совпадает с числом строк матрицы 1

Пример 6.

Решение. Здесь мы найдем произволения Дипных матриц АВ и В 1

Как видно на результату л, матрица произведения давней г от порядка расположения матриц в произведении В обоих случаях произведения матриц имеют гот же размер, что и у исходных сомножителей: 2-2.

Пример 7. Дани матрица

МАЙ ш матрицу Л

3.

Свойства произведения матриц. Пусть Л. В и С — матрицы соответствующих размеров (чтобы произведения матриц были определены), а а — действительное число. Тосда имеют место следующие свопст ка произведения матриц:

1) (ЛВ)С = А(ВС)-,

2) (Л + Д)С=ЛОЙС;

3) А(В+ С) = ЛВ + АС:

1) а (4Й) = (аЛ) В = Л (оБ).

В первом пункте этого раздела введено понятие едини1 тон матрицы Е. Нетрудно убедиться, что в алгебре матриц она играет роль единицы, т. е. можно отметить еше два свойства, связанных с умножением на эту матрицу слепа и справа:

5) ЛЕ=А

6) ЕА=А.

Иными словами, произведение любой матрицы на единичную матрицу, если оно имеет смысл, не меняет исходную матрицу.

1.2.3.