Правая и левая производные

По аналої ни с понятиям и односторонних пределов функции вводятся понятия правой и левой производных функции в точке.

Определение Т Прагой (лети) производной функции tj=f (д) в точке д,, называется правый (левый) предел отношения (5.1) при Ar -у О, ес ли этот предел существует.

Для обозначения идногггротшх производных используется следующая с нм во тика:

Если функция /(л) имеет в точке .гл производную, то она имеет левую и правую производные в этой точке, которые совпадают

Приведем пример функции, у которой существуют односторонние производные в точке, не равные друг другу. Это /(.г) = | .г |. Действительно, в точке .г = 0 имеем /„\'(0) = 1, /:(Л) = -1 (рис. 5.2) и /ДО) * /_\'(0),1. е. функция не имеет производной при .г = 0.

Рис. 5.2. Пример функции, имеющей односторонние производные в точке, не равные друг другу: а — график функции I (к) = | к |,

6 — правая и девая производные функции в точке * = 0

Операцию нахождения производной функции называют ее дифференцированием-, функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой.

Связь между шфференцнругмоетью п непрерывностью функции в точке устанавливает следующая теорема.

Теорема 5.1. Если функция дифференцируема в точке д(], то она и непрерывна к этой точке.

Обратное утверждение неверно: функция [(д). непрерывная я точке, может не иметь производную в эти точке Такой является функция у = | х |; она непрерывна в точке д = 0, но не имеет производной в этой точке.

Таким образ.>м, требование дифференцируемости функции является более сильным, чем требование непрерывности, поскольку из первого следует второ*\'.

5.1.5.