2.3.4. ПРИМЕРЫ

y = Xl¦X2,

которую подвергнем анализу при разбиении структуры на две составляющие.

Тогда, исходя из того, что рассматриваются два периода времени (два

различных вида продукции), получим исходные факторные системы для

первого и второго периода (вида продукции) соответственно:

111 2 2 2 y = X1 ¦ X2 и y = X1 ¦ X2 .

Пусть приращения факторов и результирующих показателей равны:

1 1 2 2 1 2 Dx1 , Ax? , Ax? , Ax? , Ay1, Ay2.

Применяя метод Лагранжа, основанный на теореме о промежуточном значении из математического анализа, можно получить следующие факторные разложения для каждого элемента структуры

Ay1 = (x1 + Ax1) ¦ (xi + Axi) - x1 ¦ xi = xi ¦ Ax.1 + x1 ¦ Axi = A 1 + A 1 ,

1 12 212 2 cp 1 1cp 2 X1 x2

Ay2 = (x? + Ax?)¦ (xi2 + Ax?)-x? ¦ xi2 = x? ¦Ax12 + x2 ¦Axi2 = A 2 + A 2.

\' v 1 1J v 2 2) 1 2 2cp 1 1cp 2 X? x?

Рассмотрим некоторую функцию

y = X1¦X2,

где y - обобщающий показатель, характеризующий поведение результирующей функции на всей анализируемой структуре (за два периода или по двум видам продукции);

1 2

x1 - обобщающий фактор, агрегирующий в себе значения x1 и x1 , а X? - соответственно X? и X 22.

Предположим, что в данной двухфакторной мультипликативной модели один из факторов является количественным, а другой - качественным.

Приняв x2 в качестве количественного фактора, получаем, в силу свойства аддитивности, что

1 2 1 2 x? = x? + x?, Ax? = Ax? + Ax? ,

_ 1 ? _ 1 ? y = y1 + y2, Ay = Ay1 + Ay2.

Используя вышеизложенные подходы динамического экономического факторного анализа, можно получить два варианта разложения приращения полученной двухфакторной модели

- _ _ 1 1 2 2 — — xi * х2 — xi * х2 + xi * х2

во времени или пространстве.

Так, применение метода простой группировки величин факторного влияния даёт следующий результат:

і 9 1 11 1 2 2 2 2

A- _ А- + А- _ х2 ¦ AxJ + xj ¦ Dx2 + х^ ¦ Ах^ + х^ ¦ AxJ _

lcp

\'cp

\'cp

Lcp

+

x_ * A^i + x_ * Ax,

2 cp 1 2 cp

x1 * Ax0 x1 * Ax0

1cp 2 1cp

*Ax;

* Ax;

¦ +

x ry + x ry

cp 0

x

0

cp

v 2 cp •ч x« * Ax1 x«

2 cp 1 2 cp

хл * Ax0 + x1

1cp 2 1cp

1 2 Ax2 + Ax2

1 2 Ax2 + Ax2

_ x2cp * Ax1(1) + x1cp (1) * Ax2 _ Ax1(1) + Ax2(1) .

Таким образом, итоговые величины факторного влияния получены путём обычной алгебраической группировки соответствующих слагаемых из факторного разложения для каждого из результирующих показателей, участвующих в формировании структуры, и их последующего приведения к виду, соответствующему стандартному представлению приращения двухфакторной мультипликативной модели с использованием метода Лагранжа.

Для применения второго метода необходимо усреднить неаддитивный (качественный) фактор модели по аддитивному (количественному).

При этом, для рассматриваемой модели получаем:

- _ х1 * х2 В этом случае

х;.

*(х2 + х2 ).

х,1 * х2 + х,2 * х2

-4+хГ"

(х1 + Ax11* (xi + Ax

) x1 * x\\

22 хл * xn, + хл * xn,

x-T+xf-

1

Ax

2)+ (х2 + Ax2 I* (x2 + Ax2

1(2)

(x2 + Ax2)+ (x22 + Ax2)

l l 2 2 x} • x2 + x} • x2

x 2 + x22

+

xlcp (2)

(xj + Dx} )• (x2 + Dx2 )+ (x + Dx2 )• (x| + Dx|) : (x2 +Dx2 )+(x2 + AX|)

2

Применяя теорему о промежуточном значении, приращение результирующего показателя можно записать в виде

/

v

•Dx 1(2) + x1cp (2) •

Ау =

A l 2 Л +

V 2 cP 2 cP 0

С \\

l2 Ax2 + Dx2

= x2cp • Dx1(2) + x1cp (2) • Dx2 = Ax}(2) + Ax2(2) •

Из полученных выражений следует вывод, что метод простой группировки и метод усреднения в случае двухфакторной мультипликативной модели предлагают различные подходы для определения величины отклонения и среднего значения качественного (неаддитивного) фактора, то есть в общем случае

АD =Ax1(1) — Ax1 (2) * 0,

А cp = x1cp (1) — x1cp (2) * 0.

Соответствующие разности равны

А

+

(x2 Ax| — x2 AX2 )• (xj — x2 )

D

(2.30)

(x2 + x| )• (x2 + Dx2 )+ (x2 + Dx|)] (x2 Dx! — x2 Dx2 )• (AX} — Dx2 )

+

2 • (AX2 + AX2 )• [(x2 + AX2 )+ (x2 + AX| )

Покажем на некоторых числовых примерах (табл. 2.6) различия в результатах динамического факторного анализа, получаемых при использовании методов группировки и усреднения. 90

(2 x2+Dx2)+ (2 x2+ax2 )]• [(x2+Dx2)+ (x2+ax2 )

Приведенные примеры подтверждаются расчётами с применением формул (2.30)-(2.31). При этом, верным остаётся равенство

= АхЩ) + Ax2(1) = х2ф • Ax1 (1) + х1ф (1) • Ax2 =

= х2cp • Ax1 (2) + х1с^ (2) • Ax2 = АхЦ2) + Ах2(2) = ¦

Таблица 2.6

Сравнительный анализ методов динамического экономического

факторного анализа\r\n№ Исходные данные Ax1(1) Ax1 (2) х1ф (1) x1cp (2) A D A cp\r\n х} = 3; Ax} = 12; \r\n1. x2 = 2; Ax2 = 4; х2 = 15; Ax12 = 9;

x22 = 6; Ax22 = 3 10,04 8,40 13,50 16,20 1,64 -2,70\r\n х1 = 3; Ax1 = 12; \r\n2. x2 = 2; Ax2 = 4;

x12 = 5; Ax12 = 7;

22 x2 = 6; Ax2 = 12 8,25 8,25 8,63 8,63 0,00 0,00\r\n х1 = 3; Ax1 = 12; \r\n3. x2 = 2; Ax2 = 4;

х2 = 15; Ax12 = 45;

х 2 = 6; Ax2 = 18 38,05 39,00 32,32 31,50 -0,95 0,82\r\n х1 = 3; Ax1 = -2; \r\n4. х 2 2; Ax2 1; х2 = 10; Ax12 = -1; х 2 = 3; Ax2 = 12 -1,22 0,47 8,92 7,43 -1,69 1,49\r\n

Кроме того, как следует из расчётов с использованием конкретных числовых исходных данных (табл. 2.7), метод простой группировки и метод усреднения действительно, в общем случае, дают различные результаты оценки величин факторного влияния.

Так, из формул (2.30)-(2.31) получаем, что равенство

A D = A cp = 0

верно в двух случаях.

12

1. Если совпадают величины относительного прироста факторов x^ и x2 :

Хл п. Хл Ax0 Ax0

2- 2 2-1 = I 1 -1 = 5 1 =5 2 = I 2 -1 = 2 , 2 -1 = 2

11

x2 x 2 2 2 2 2 x 2 x 2

12

2. Если совпадают начальные значения и приращения факторов Х1 и Х1 :

х1 = x-j2 и Ax1 = Ax2.

Примеры динамического экономического факторного анализа

Таблица 2.7\r\n№ Исходные данные A

Ax1(1) A

Ax 2(1) A

\'X1(2) A

Ax2(2) Ay\r\n1. x1 = 3; x 2 = 2; x1 = 15; x 2 = 6; Ax1 = 12; AX2= 4; Ax2= 9; Ax^ = 3 115,5 94,5 96,6 113,4 210\r\n2. x1 = 3; x 2 = 2; x1 = 5; x 2 = 6; Ax1 = 12; AX2 = 4; Ax^ = 7; Ax^= 12 132 138 132 138 270\r\n3. x1 = 3; x 2 = 2; x1 = 15; x 2 = 6; Ax1 = 12; Ax2 = 4; Ax^ = 45; Ax^ = 18 723 711 741 693 1434\r\n4. x1 = 3; x 2 = 2; x1 = 10; x 2 = 3; Ax! = -2; Ax2 = 1; Ax^ = -1; Ax^ = 12 -14 116 5,37 96,63 102\r\nПример № 2 из табл. 2.7 соответствует первому из указанных случаев совпадения результатов анализа.

Как было указано выше, использование метода усреднения для динамического факторного анализа моделей более сложной структуры затруд-нено из-за неоднозначности выбора набора факторов при взвешивании неаддитивного (качественного) показателя. Для иллюстрации сказанного рассмотрим трёхфакторную мультипликативную модель вида

_ _ 111222 y — х1 • х2 • х3 — х1 • х2 • х3 + х1 • х2 • х3 ,

где y - выручка в рублях от реализации продукции;

х1 - цена в евро за единицу продукции;

х2 - валютный курс в рублях за один евро;

х3 - объём реализуемой продукции.

В этом случае допустимы два различных варианта усреднения каждого из неаддитивных факторов по аддитивному и другому неаддитивному. Таким образом, исходная модель может быть представлена в виде 111 22211 2 2 / У_xi-V х + Vх1+ хр ,(х3 + хз2)— хх-x^,

х2 х3 ^h х2 х3 х3 ^h х3

или, при усреднении вторым способом,

11 22111 2 2 2, v

У _ •хГх2-3 + , (х 3 + х2

х3 + х3 х1 х3 + х1 х3

В первом случае значение средневзвешенной цены в евро вычисляется делением суммарной рублёвой выручки на условную величину стоимости реализованной продукции в рублях в пересчёте на один евро по его курсу к национальной российской валюте.

При использовании второго способа усреднения получаем, что значение средней цены в евро рассчитывается путём деления общей выручки от реализации в евро на совокупный объём продаж, а средний курс евро вычисляется делением суммарной выручки в рублях на аналогичный показатель в евро.

В силу того, что фактор объёма реализации является аддитивным, величина совокупного объёма продаж в обоих случаях рассчитывается как простая сумма объёмов реализации по всем элементам структуры.

Несмотря на то, что второй вариант усреднения является более естественным, оба способа допускают содержательную прикладную интерпретацию и могут быть использованы в зависимости от постановки конкрет-

ной задачи. Но данный пример приводит к выводу о неоднозначности результата динамического экономического факторного анализа в случае, если применяется способ усреднения неаддитивного показателя по аддитив-ному. Кроме того, ещё один недостаток данного метода наглядно проявился в примере № 4 (табл. 2.7). Он заключается в том, что при формальном усреднении происходит как бы игнорирование промежуточных данных о поведении факторов в динамике и в результате величина влияния первого фактора получилась положительной несмотря на то, что значение данного фактора на обоих элементах динамической структуры снижалось.

В отличие от метода усреднения метод простой группировки может использоваться для факторных систем любого типа без ограничений на число факторов в модели и, как показывает практика, является более предпочтительным в решении конкретных прикладных задач.