Сопоставимость, случайность и уровень значимости

Теперь приступим к главному. Предположим, что мы взяли фактическую выборку из наблюдений общей инфляции и инфляции, вызванной ростом заработной платы, и построили оценку р, используя для этого регрессионный анализ.

Функция плотности вероятности для b

Рис. 3.5. Пример распределения величины b (модель связи общей инфляции и инфляции, вызванной ростом заработной платы)

стигнет трех стандартных отклонений в положительную или отрицательную сторону, составляет лишь 0,0027, т. е. очень низка. Исходя из этого вызывающего беспокойство результата, вы можете прийти к одному из двух выводов.

1. Вы можете продолжать считать, что нулевая гипотеза Р = 1,0 верна и что эксперимент дал случайный результат. Вы допускаете, что вероятность получения такого низкого значения для р является очень небольшой, но, тем не менее, она имеет место в 0,27% случаев, и вы допускаете, что это именно тот случай.
2. Вы можете сделать вывод о том, что гипотеза противоречит результату оценивания регрессии. Вы не удовлетворяетесь объяснением, данным в пункте 1, так как вероятность очень мала, и понимаете, что наиболее правдоподобным объяснением является то, что величина р вовсе не равняется 1,0. Другими словами, вы принимаете альтернативную гипотезу Я,: Р * Р0.

Каким образом вы определите, когда необходимо выбрать первый вывод, а когда — второй? Очевидно, что чем меньше вероятность построения регрессии, подобной той, которую вы получили при условии правильности гипотезы, тем больше вероятность отказа от гипотезы и выбор второго вывода.

На этот вопрос нет и не может быть определенного ответа. В большинстве работ по экономике за критический уровень берется 5 или 1%. Если выбирается уровень 5%, то переключение на второй вывод происходит в том случае, когда при истинности нулевой гипотезы вероятность получения столь экстремального значения b составляет менее 5%. В этом случае говорят, что нулевая гипотеза должна быть отвергнута при 5-процентном уровне значимости.

Это происходит в том случае, когда величина b отстоит от Р0 более чем на 1,96 стандартного отклонения. Если вы посмотрите на таблицу нормального распределения (табл. А.1 в конце книги), то увидите, что вероятность того, что величина b будет превосходить среднее значение на более чем 1,96 стандартного отклонения, составляет 2,5% и, аналогичным образом, вероятность того, что эта величина будет более чем на 1,96 стандартного отклонения ниже среднего значения, также будет 2,5%. Общая вероятность того, что данная величина отстоит от математического ожидания более чем на 1,96 стандартного отклонения, составляет, таким образом, 5%.

(3.36)

Можно обобщить это решающее правило в математической форме, сказав, что нулевая гипотеза отвергается, если

Zgt; 1,96 или Zlt; -1,96,

где Z — число стандартных отклонений между регрессионной оценкой и гипотетическим значением Р:

(3.37)

Разница между оценкой регрессии и гипотетическим значением              _              6~Ро

Стандартное отклонение величины Ъ

Нулевая гипотеза не будет отвергнута, если

Это условие можно записать с помощью величин b и Р0, подставив выражение для Z из уравнения (3.37):

¦‘¦96lt;fswlt;W6-              (3-39)

Умножив все части неравенства на стандартное отклонение величины Ь, можно получить:

—l,96s.d. (6) lt; 6 — р0lt; 1,96 s.d. (6),              (3.40)

а из этого уравнения можно получить следующее:

Р0 - 1,96 s.d. (6) lt; Ь lt; р0 + 1,96 s.d.

Уравнение (3.41) дает множество значений для величины Ь, которые не приводят к отказу от конкретной нулевой гипотезы О ТОМ, ЧТО Р = Р0. Это множество значений получило название области принятия гипотезы для Ь при

5. процентном уровне значимости.

В нашем примере, где s.d. (b) = 0,1, можно отвергнуть гипотезу при уровне значимости в 5%, если величина Ь находится выше или ниже гипотетического среднего значения на величину более 0,196, т. е. выше 1,196 или ниже 0,804. Таким образом, область принятия гипотезы включает значения величины b от 0,804 до 1,196. Это показано незаштрихованной областью на рис. 3.6.

Функция плотности вероятности для Ь

Область принятия

Рис. 3.6. Область принятия гипотезы для величины Ь при 5-процентном

уровне значимости

Аналогичным образом считается, что нулевая гипотеза должна быть отвергнута при уровне значимости в 1%, если гипотеза подразумевает, что вероятность получения столь экстремального значения для величины Ь составляет менее 1%. Это происходит, когда величина Ь отстоит на более чем 2,58 стандартного отклонения вверх или вниз от гипотетического значения Р, т. е. когда

Zgt; 2,58 или Zlt; -2,58.              (3.42)

Возвращаясь к таблице нормального распределения, можно видеть, что вероятность того, что величина b более чем на 2,58 стандартного отклонения превысит свое математическое ожидание, составляет 0,5% и та же самая вероятность будет для варианта, что b окажется ниже своего математического ожидания на более чем 2,58 стандартного отклонения. Таким образом, общая вероятность получения столь экстремальных значений составляет 1%. В нашем примере вы отвергнете нулевую гипотезу о том, что р= 1,0, если оценка коэффициента регрессии будет находиться выше 1,258 или ниже 0,742.

Можно задаться вопросом: почему исследователи обычно представляют свои результаты при уровнях значимости в 5 и 1%? Почему недостаточно ограничиться только одним уровнем? Причина заключается в том, что обычно делается попытка найти баланс между риском допущения ошибок I и IIрода. Ошибка Iрода имеет место в том случае, когда вы отвергаете истинную нулевую гипотезу. Ошибка IIрода возникает, когда вы не отвергаете ложную гипотезу.

Ошибки / и II рода в повседневной жизни

Проблема, как избежать ошибок I и II рода, известна всем. Типичным примером этого является расследование уголовного преступления. Если за нулевую гипотезу принять вариант, что подсудимый невиновен, то ошибка I рода происходит, когда суд присяжных признает его виновным. Ошибка ІГ рода имеет место в том случае, когда суд присяжных ошибочно оправдывает виновного подсудимого.

Вполне очевидно, что чем ниже критическая вероятность, тем меньше риск получения ошибок I рода. Если вы используете уровень значимости, равный 5%, то вы отвергнете истинную гипотезу в 5% случаев. Если уровень значимости составляет 1%, вы совершите ошибку I рода в 1% случаев. Таким образом, в этом отношении однопроцентный уровень значимости более надежен. Если вы отвергли гипотезу на данном уровне, вы почти наверняка были вправе сделать это. Именно по этой причине однопроцентный уровень значимости описывается как «более высокий» в сравнении с 5-процентным уровнем.

В то же время если нулевая гипотеза ложна, то чем выше уровень значимости, тем шире область принятия гипотезы, тем выше вероятность того, что вы не отвергнете ее, и тем выше риск допущения ошибки II рода. Таким образом, вы оказываетесь перед дилеммой. Если вы будете настаивать на очень высоком уровне значимости, то столкнетесь с относительно высоким риском допущения ошибки II рода, когда гипотеза окажется ложной. Если вы выбираете низкий уровень значимости, то оказываетесь перед относительно высоким риском допущения ошибки I рода, если гипотеза истинна.

Большинство людей выбирают достаточно простую форму обеспечения гарантий и осуществляют проверку на обоих уровнях значимости, представляя результаты каждой такой проверки. На самом деле часто нет необходимости непосредственно ссылаться на оба результата. Так как величина Ь должна быть более «экстремальной» для гипотезы, отвергаемой при однопроцентном уровне значимости, но не при 5-процентном, и если вы отклоняете ее при однопроцентном уровне, то из этого автоматически следует, что вы отклоните ее и при уровне значимости в 5%, и нет необходимости упоминать об этом. Если же вы не отвергаете гипотезу при уровне значимости в 5%, то из этого автоматически следует, что вы не отвергнете ее и при однопроцентном уровне значимости, и вновь нет смысла об этом говорить. Только в одном случае вы должны представить оба результата: если гипотеза отвергается на 5-процентном, но не на однопроцентном уровне значимости.