Распределение Койка

В распределении Койка (Коуск, 1954) делается простое предположение, что коэффициенты (известные также как «веса») при лаговых значениях объясняющей переменной убывают в геометрической прогрессии.

у, = а + Рх, + Р8х,_, + Р82х,_2 + P6V3 +-+ Up

где значение б находится в границах от —1 до 1. Во многих приложениях предполагается, что оно лежит между 0 и 1.

В данной зависимости имеются всего три параметра: а, Р и б. Для их оценки вам не нужно оценивать уравнение регрессионной зависимости у, от х,, х,_,, х^_2 и т. д. В этом случае, во-первых, наверняка возникла бы серьезная проблема мультиколлинеарности. Во-вторых, из полученных оценок не удалось бы вывести значения р и б. Здесь можно получить одно значение р с помощью коэффициента при х, и другое, совершенно иное, возведя в квадрат коэффициент при хм и разделив его на коэффициент при х,_2 или возведя в квадрат коэффициент прих,_2 и разделив его на коэффициент прих,^. Точно так же существует много различных и противоречивых способов получения оценки б.

Однако можно довольно легко избежать как этой проблемы, так и проблемы мультиколлинеарности. Один эффективный способ заключается в применении нелинейного метода наименьших квадратов. Вы начинаете с задания границ возможных значений б и рассматриваете все возможные значения внутри этих пределов с достаточно малым шагом. Например, пределы изменения могут быть от 0 до 1, и вы рассматриваете все значения 0,00, 0,01, 0,02 и т. д., увеличивая их каждый раз на 0,01. Чем меньше шаг, тем более точными будут полученные результаты, но тем больше времени займут расчеты. Теперь, когда компьютеры стали такими мощными и дешевыми, вы, как правило, сможете достичь любой желаемой точности. Для каждого значения б рассчитывается

Z, = х, + 5х,_, + 52х,_2 + 83х,_3 +...+ amp;х,_р,              (10.7)

с таким значением р, при котором дальнейшие лаговые значения х не оказывают существенного воздействия на z• Затем оценивается уравнение регрессии

y, = a + $z, + и,.              (10.8)

Вы проделываете эти расчеты для всех значений б и выбираете такое значение б, которое обеспечивает наибольший коэффициент R2 при оценке уравнения (10.8).

Другой метод использует так называемое преобразование Койка. Если выражение (10.6) выполняется для периода t, то оно также выполняется для периода / — 1:

у^х = а + Рхм + Рбх^2 + Р82х,_з +...+ и^,.              (10.9)

Умножив обе части этого уравнения на б и вычтя их из уравнения (10.6), вы получите:

У, ~ Sjv, = а (1 - S) + рх, + и, - би^„              (10.10)

где уже отсутствуют лаговые значения х. Как следствие имеем:

у,= а(1 -S) + Рх, + 8jv, + и, - би^,.              (10.11)

Эта форма позволяет анализировать кратко- и долгосрочные динамические свойства модели. В краткосрочном аспекте (в текущем периоде) значение ум нужно рассматривать как фиксированное, и воздействие х на у отражается коэффициентом р. В долгосрочном периоде (не учитывая случайный член), если х, стремится к некоторому своему равновесному значению х, *, и *,_, также

(10.12)

(10.13)

будут стремиться к равновесному уровню *, определяемому как

* = а(1 - 6) + Рх + 6*,

из которого следует:

Итак, долгосрочное воздействие х на * отражается коэффициентом р/(1 —8). Если 8 находится в границах от 0 до 1, то этот коэффициент превысит Р, т. е. долгосрочное воздействие оказывается сильнее краткосрочного.

Модель с преобразованием Койка привлекательна с практической точки зрения, поскольку оценивание парной регрессии с помощью МНК позволяет получить оценки а, р и 8 (оценка а получается делением свободного члена на разность единицы и коэффициента при *,_,). Разумеется, это требует гораздо меньших усилий, чем описанный ранее поиск с помощью перебора, но здесь, к сожалению, возникает серьезная эконометрическая проблема, которая делает этот метод менее привлекательным, — нарушение четвертого условия Гаусса-Маркова. Одна из объясняющих переменных *,_, в уравнении (10.11) частично зависит от Поэтому она коррелирует с одной из составляющих случайного члена — amp;и1_1 в уравнении (10.11). В итоге оценки, полученные с помощью МНК, оказываются смещенными и несостоятельными. В таком случае не остается иного выбора, кроме использования первого из подходов — нелинейного метода на базе уравнения (10.7) и (10.8). Теперь мы рассмотрим две хорошо известные динамические модели, обе относящиеся к семейству моделей Койка, хотя на первый взгляд это может показаться неочевидным.