Описание результатов проверок по t-критерию

Предположим, что вы имеете теоретическую зависимость

у = а + р* + и,

и нулевая и альтернативная гипотезы заданы в виде #0 :()=(}„,

8. : р * Р0.
   Если для р по выборочным данным получена оценка Ь, то области принятия и отклонения гипотез для 5-процентного и однопроцентного уровней значимости могут быть в общем представлены левой частью рис. 3.7.

Правая часть рис. 3.7 показывает те же самые области для конкретного примера модели регрессии между общей инфляцией и инфляцией, вызванной ростом заработной платы; при этом нулевая гипотеза будет иметь вид р = 0. Нулевая гипотеза не будет отклонена при уровне значимости в 5%, если величина b находится в пределах 2,101 стандартной ошибки от единицы, т. е. в диапазоне от 0,79 до 1,21, и она не будет отклонена при уровне значимости в 1%, если величина b находится в пределах 2,878 стандартного отклонения от единицы, т. е. в диапазоне от 0,71 до 1,29.

Из рис. 3.7 можно видеть, что существует три типа зон принятия решений.

1. Зона, где величина Ъ настолько далека от гипотетического значения р, что нулевая гипотеза отклоняется как при 5-пропен- тном, так и при однопроцентном уровнях значимости.
2. Зона, где величина b достаточно далека от гипотетического значения р, чтобы нулевая гипотеза была отклонена при 5-про- центном, но не при однопроцентном уровне значимости.
3. Зона, где величина b достаточно близка к гипотетическому значению р, чтобы нулевая гипотеза не была отклонена ни при одном из двух рассматриваемых уровнях значимости.

На основании схемы можно проверить, что если нулевая гипотеза отклоняется при однопроцентном уровне значимости, то она автоматически отклоняется и при 5-процентном уровне. Следовательно, в случае 1 необходимо заявить лишь об отклонении гипотезы при однопроцентном уровне значимости.

9. 5 м.

Аналогичным образом для случая 3 вам необходимо сделать только заявление о том, что в этом конкретном случае гипотеза не будет отклонена при 5-процентном уровне значимости. Отсюда автоматически следует, что она не будет отклонена и при однопроцентном уровне. А дополнение к этому заявлению имело бы тот же эффект, как если бы к заявлению о том, что прыгун в высоту не может взять высоты в 1 и 1,5 м, было добавлено утверждение о его неспособности взять высоту в 2 м.

Лишь в случае 2 необходимо (и желательно) представить результаты обеих проверок.

Пример зависимости общей инфляции и инфляции, вызванной ростом зарплаты

Отклонение На при уровне значимости 1%, а также и при 5%

1,29

Po + Wlt;1%)xc-°-

Отклонение На при уровне значимости 5%, но не при уровне значимости 1%

1.21

Po + W(5%)xc.o.

При уровне значимости 5% (или при 1%) гипотеза На не отвергается

Отклонение На при уровне значимости 5%, но не при уровне значимости 1%

1,00

Po-Wlt;5%gt;Xc-°-

0,79

0,71

Po-Vr(1%)XC°-

Отклонение Н0 при уровне значимости 1%, а также и при 5%

Рис. 3.7. Представление результатов проверки гипотез по /-критерию (выводы, заключенные в скобках, представлять не требуется)

Заключительное замечание относительно представления результатов оценивания регрессии состоит в том, что в некоторых работах в скобках под коэффициентом вместо стандартной ошибки приводится /-статистика. Вы должны внимательно следить за этим, и, когда представляете результаты, это должно быть сделано предельно понятно.

Упражнения

Ъ.1. Приведите еще несколько примеров для повседневно встречающихся случаев, когда при принятии решений могут возникнуть ошибки I и II рода.

8. Перед началом курса обучения 36 студентов были подвергнуты тесту на проверку способностей. Результаты теста и курса обучения (по типу «прошел»/ «не прошел») представлены в таблице на с. 101.

Как вы думаете, полезен ли тест на проверку способностей для принятия на курс, и если это так, то как бы вы определили проходной балл? (Рассмотрите вариант компромисса между ошибками I и II рода, связанными с выбором проходного балла.)

9. Стандартная ошибка коэффициента при / в упражнении 2.1 составила 0,08. Проверьте нулевую гипотезу о том, что истинное значение коэффициента равно нулю:

1. при 5-процентном уровне значимости;
2. при однопроцентном уровне значимости.

10. В упражнении 3.9 следует представить только результат проверки при однопроцентном уровне значимости. Почему?

11. Предположим, что вы проверили нулевую гипотезу при обоих уровнях значимости в 5% и в 1%.
    При каких условиях вы представите:

1. только результат проверки при однопроцентном уровне;
2. только результат проверки при 5-процентном уровне;
3. результаты при обоих уровнях значимости?
12. Уравнения регрессии между расходами на коммунальные услуги и (1) располагаемым личным доходом и (2) временем в упражнении 2.2 имеют вид (стандартные ошибки указаны в скобках):

Р = -27,6 + 0,178х; р = 48,9 + 4,84х.

4. (0,004)              (1,5)              (0,10)

Выполните /-тест для проверки значимости коэффициентов там, где это необходимо. Четко сформулируйте проверяемые нулевые гипотезы и их альтернативы. Кроме того, объясните, почему вы формулируете сначала нулевые гипотезы.

13. Выполните аналогичные /-тесты для проверки коэффициентов регрессий, оцененных вами в упражнениях 2.4 и 2.5, четко формулируя нулевые и альтернативные гипотезы.
14. Предположим, что по принятой гипотезе 10% предельного дохода расходуется на питание. Проверьте эту гипотезу, используя результат оценивания регрессии, представленной в уравнении (3.45).