Косвенный метод наименьших квадратов

Тот же самый результат мы получим с помощью КМНК. Предположим, что мы применили МНК для оценивания параметров приведенной формы уравнений и имеем:

р = а\' + Ь\'х; y = d\' + e\'x.

(11.29)

(11.30)

Предположим, что получены следующие оценки:

(11.31)

(11.32)

Р = 2,0 + 0,02*; у = 8,0 + 0,06х.

Используя (11.27), выведем следующие соотношения между оценками параметров уравнений в приведенной форме и оценками параметров уравнений в структурной форме:

яі а — d ді с j. ае ~ bd і се              ,              о              \\

а= -; А =              -; d =              —; е =              -.              (11.33)

е-Ь              е-b              е-Ь              е-b              \'

В численном примере для расчета структурных коэффициентов мы располагаем следующими уравнениями:

а - d              с              ae-bd              оп              се              п              „              .ч

г = 2,0;                 =              0,02;              —              =              8,0;              -              =              0,06.              (11.34)

е-b              е-Ь              е-b              е-Ь              \'

Настораживает то, что имеется пять неизвестных, а уравнений — всего лишь четыре. Однако мы можем достичь некоторых результатов.

Во-первых, мы можем получить оценку е из второго и четвертого соотношений (11.34):

се

е -е-Ь -

Ь’~_с_~              (11.35)

е-Ь

Следовательно, в нашем численном примере е = 0,06/0,02 = 3.

Во-вторых, хотя это и менее очевидно, первое и третье соотношения (11.33), а также оценка е дают возможность получить оценку d:

.,              , ae-bd ae-de de -bd ,

d\'-ed =                                          — =              7~ = d.              (11.36)

e-b e-b e-b

Следовательно, в нашем численном примере d = 8,0 — (3 к 2,0) = 2,0.

9, = 2,0 + 3,0р.              (11.37)

Однако получить однозначные оценки а, А и с оказывается невозможным. У нас осталось два уравнения и три неизвестных. Можно, например, задать произвольное значение с, а затем найти значения а и А, но полученное решение будет, очевидно, непригодным. Проблема заключается в том, что связь между параметрами уравнений в структурной и приведенной формах слишком гибка.

Через оценки параметров уравнений в приведенной форме мы можем получить однозначные решения для d и е, но не для а, А или с. Это позволяет сделать вывод, что уравнение предложения определено, а уравнение спроса — недооп- ределено.

Что будет в случае, если спрос не зависит значимо от дохода? Это означает пренебрежимо малую величину параметра у в уравнении (11.21) и как следствие параметров Р\'и е\'в (11.25) и (11.26) [см. определение А (11.27)]. Поэтому в уравнении (11.35) при расчете е мы будем делить оценку 0 на другую оценку 0, и полученный результат окажется бессмысленным. Следовательно, и оценка d, полученная из (11.36), будет бессмысленной. В итоге ни одно из уравнений не определено.

6. Предположим, что в долгосрочном периоде компании финансируют инвестиции /преимущественно из прибыли П, а объем получаемой прибыли зависит от инвестиций. На этой основе исследователь построил следующую модель корпоративного сектора экономики:

/, = а + рП, + и,;

П, = 5 + е/, + A/^| + v(,

где индекс 1 обозначает текущий год, (/ — 1) — предыдущий год, а и, и v, — случайные члены, не подверженные автокорреляции.

1. Определено ли какое-либо из уравнений? Объясните ваш ответ.
2. Что вы можете сказать о коэффициентах при переменных на основе приведенных ниже значений ковариации и дисперсии, рассчитанных на базе данных о промышленном секторе экономики за 25-летний период?

Cov (П,, /,) = 57,0; Уаг(П,) = 113,0;

Cov (1„ /,_,) = 20,0; Var (/,) = 30,0;

Cov (П„ Iм) = 45,0; Var(/^,) = 29,0.

(Величины П,, /, и /,_, измерены в миллиардах долларов в ценах 1985 г.)

7. Предположим, что в модели спроса и предложения товара как кривая спроса, так и кривая предложения сдвигаются со временем: первая — из-за изменения вкусов покупателей, вторая — из-за технического прогресса, делающего производство более дешевым. В этом случае структурные уравнения можно переписать в следующем виде:

yd,= а + рр, + yt + иЛ;

уя = 5 + ер, + X/ + usl\\

У dr Уя"

Предположим, что уравнения в приведенной форме имеют вид:

р,= 1,2 + 0,04/;

?,= 7,6-0,38/.

Покажите, что уравнениям в приведенной форме соответствуют обе следующие модели:

(А)              У* = 10 “ 2р, ~ 0,3/; у„ = 4 + 3р, - 0,5/;

и

(Б) ydl = 8,8 -р,~ 0,34/; уя = 5,2 + 2р, - 0,46/.

Комментарий: Только ли эти две модели в структурной форме соответствуют уравнениям в приведенной форме?

Рассмотрим теперь модель, в которой спрос имеет временной тренд, скажем, потому что привычки медленно меняются со временем. Предположим, что спрос зависит также от дохода, и мы имеем:

Ул = а + РPi + 7*г + Р\' + Udfi              О 1 -38)

уя = 5 + гр, + ия,              (11.39)

где t — переменная времени; р — коэффициент при ней. Исследуем, как и прежде, эффективность метода ИП и КМНК.