Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов относится к методам ап про ксима ции, или приближенного восстановления функции по известным се значениям в ряде точек. На практике часто возникает задача о най лучшем подборе эмпирических формул, позволяющих представить л аналитической форме данные статистических наблюдении, изменений и т.

некоторые величины и, и получены соответствующие значения

Нужно подобрать функцию определенного вида н=/(М), чтобы она по возможности наиболее точно отражала неизвестную зависимость измеряемой величины и от параметров (координат) точек измерения бЦ}-

Таким образом, зада га нахождения эмпирических формул состоит из двух этапов:

1) определения общего вида зависимости /(Л/) или вида функции/ с точностью до постоянных параметров; (коэффициентов), входящих

В нет;

2) подбора эгнх неизвестных коэффициентов таким образом, чтобы в точках наблюдении (8.19) подобранная функция наилучшим способом отвечала данным измерений (8.20)

Итак, пусть на первом этапе определено, что эмпирическая формула должна включать совокупность известных базовых функций

Рис. 8.5. Графическая интерпретация метода наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов состоит в миш шиза дни суммы квадратов погрешностей (отклонений) 6, (рис. 8.5) функции (8.22) в точках (8-19) как функции от т аргументов — неизвестных параметров

Для установления точки минимума функции (8.21) т переменных (8.23) нужно найти частные прпигшодные этой функции но всем т ар- гументам и приравнять их к нулю. Отсюда получается система т линейных алгебраических уравнений относительно т неизвестных параметров (8.23).

Коэффициенты и свободные члены уравнении этой системы определяются по формулам

Поскольку функция (8.21) является положительной, выпуклой МІІІ.І и неограниченной в евклидовом пространстве Ет, то решение системы уравнении (8.25) представляет собой координаты точки се локального минимума.

При обработке данных экономической статистики наиболее распространенным является приближение эмпирической формулой в виде линейной функции одной переменно!! (например. ЭТО широко используется в трендовом анализе). В этом случае совокупность точек изменения (8.19) представляет собой набор значений аргумента х,. х.,... х„. а совокупность функций (8.21) состоит из двух функций: .г и 1. Эмпи ричеткая формула (8.22) имеет вид

Неизвестные параметры я и Ь определяются из системы двух линейных уравнений

в которой коэффициенты и свооодные члены выражаются формулами

Упражнения

Найти области определения функций.

8.42.

8.43. В результате эксперимента для пяти значении аргумента л полу ■ чепы пять значений величины и:

Методом наименьших квадратов найти функциональную зависі і мость между х и и в виде линейной функции и = пл + Ь.