§ 2. Цена и доходность облигаций Цена облигаций

Облигация имеет номинал (или номинальную цену), эмиссионную цену, курсовую цену, цену погашения.

Номинальная цена — это та величина в денежных единицах, которая обозначена на облигации.

Эмиссионная цена облигации — это та цена, по которой происходит продажа облигаций их первым владельцам. Эмиссионная цена может быть равна, меньше или больше номинала. Это зависит от типа облигаций и условий эмиссии.

Цена погашения — это та цена, которая выплачивается владельцам облигаций по окончании срока займа. В большинстве выпусков цена погашения равна номинальной цене, однако она может и отличаться от номинала.

Курсовая цена — это цена, по которой облигации продаются на вторичном рынке. Если каждая облигация имеет строго определенную номинальную цену, цену погашения и эмиссионную цену, уровень которых зафиксирован при выпуске займа, то курсовая цена претерпевает значительные изменения в течение срока жизни облигации — она колеблется относительно теоретической стоимости облигации, которая, по существу, выступает как расчетная курсовая цена облигации.

Общий подход к определению теоретической стоимости любой ценной бумаги заключается в следующем: чтобы определить, сколько, по мнению данного инвестора, должна стоить ценная бумага в данный момент времени, необходимо продисконтировать все доходы, которые он рассчитывает получить за время владения ценной бумагой.

Рассмотрим, какова специфика применения этого общего подхода к определению стоимости конкретных видов ценных бумаг.

В зависимости от способа выплаты процентного дохода можно выделить два типа облигаций; (а) облигации с периодической выплатой процентного дохода или купонные облигации и (б) бескупон- ные (или дисконтные) облигации, доход по которым образуется за счет разницы между ценой погашения облигации и эмиссионной ценой и выплачивается при погашении облигации.

Рассмотрим сначала облигацию с периодической выплатой процентного дохода.

Пример 1.

Продается облигация номиналом 1000 руб. Процентная (купонная) ставка составляет 15% годовых. Выплата процентов производится один раз в год. До погашения облигации остается ровно 5 лег. Требуемая норма прибыли (доходность) на инвестиции с учетом риска, соответствующего данному типу облигаций, составляет 20%. Определить курсовую цену облигации.

Решение.

В конце каждого года держатель облигации получит процентный доход в размере 150 руб., а в конце пятого года —еще и сумму, равную номиналу облигации, т. е. 1000 руб. Определим дисконтированные (приведенные) стоимости доходов для каждого года и найдем их сумму.

Приведенная стоимость платежей составит (см. формулу 11.2):

первый год               =              125              руб.

1 + 02

третий год -—угту = 86,80 руб.

второй год " ¦ д — =104,17 руб.

150 (1 + 02)г 150 lt;1 + 02/

четвертый год —г = 7234 руб.

(1 + 02)

150 + 1000              ,

пятый год +              ~ 4б+1 о руб.

Таким образом, искомая цена облигации будет равна:

125 + 104,17 + 86,80 + 72,34 + 462,16 - 850,47 руб.

Часто цену облигации выражают в процентном отношении к ее номиналу. Применительно к приведенному примеру цена облигации составляет 85,05% от номинала.

Формула для определения стоимости облигации может быть представлена в виде:

D D              D              N

! + R (1 + Rf (1 + К)” (1 + К)"

-+...+ -

Р - Х-—- ¦+- N—,              (11.3)

?(1 + RY (1 + К)

где Р — цена облигации; D — процентный (купонный) доход в денежных единицах; R - требуемая норма прибыли (ставка дисконтирования).

Если обозначить:

D

1

1 + R "1+ R тогда выражение (11.3) примет вид:

Р - й, + а, х q + at х q1 + ... + а, х q“" +

N

(11.4)

(1 + К)"

Сумма: й] + Я] х q + щ х q- + ... + я, х q\'*\'1 представляет собой сумму первых п членов геометрической прогрессии и может быть определена по формуле:

^ о,-а, хд 1 -q

Подставляя в эту формулу вместо я, - ^ вместо q =

(11.5)

, имеем:

1+й

—ї „ 1 + й 1 + л U+ й J

¦j.

і--

1+л

После преобразований получаем:

1--

1

(11.6)

(1 + RY

Следовательно, формула для определения стоимости облигации принимает вид:

N

й=»

й

1

1--

(11.7)

(1+ й)"

(1 + RY

Для приведенного выше примера 1 цена облигации, вычисленная по формуле (11.7), составит:

„ 150

1

1000 О + 0,2)

1--

т = 850,47 руб.

(1 + 0,2) .

Мы получили тот же результат, что и ранее.

Заметим, что приведенные выше расчеты справедливы, если ставка дисконтирования (требуемая норма прибыли) остается неизменной в течение рассматриваемого периода (срока действия облигации). В действительности ставка может изменяться.

В этом случае для определения приведенной стоимости облигаций требуется найти продисконтированные потоки доходов для каждого года, используя следующую формулу:

jy               Л              (118)

(1 + й,)х(1+ Йг)х...х(1+ К,)’

где Dpi — приведенная стоимость дохода і-того года; Dj — доход і-того года; R\\, R.2, ... й; — ставка дисконтирования для 1-го, 2-го, і-того года.

Пример 2.

По облигации номиналом 1000 руб. выплачивается 15% годовых. Выплата процентов производится один раз в год. До погашения облигации остается 5 лет. Тре-

буемая норма прибыли в течение первых трех лет — 20%, четвертый год — 15%, пятый год—10%. Определить курсовую цену облигации.

Решение.

150 + 1000

Процентный доход каждого года и сумму погашения облигации необходимо продисконтировать по переменной ставке дисконтирования. Определим дисконтированные стоимости для платежей каждого года:

третий год -              -              8680              руб.

четвертый

526,09 руб.

Следовательно, цена облигации составит:

Р = 125 +104,17 + 86,80 + 75,48 + 526,09 - 917,54 руб.

Мы видим, что стоимость облигации выше, чем в примере 1, так как ставка дисконтирования в четвертом и пятом годах ниже, чем в первые три года.

D

Процентный доход по облигациям может выплачиваться не один, а несколько раз в год, тогда формулы (11.3) и (11.7) будут иметь следующий вид:

(11.9)

или

%

(11.10)

где т — число выплат процентного дохола в течение гола.

Пример 3.

Номинал облигации — 1000 руб. Процентная ставка—15% годовых. Выплата процентов производится два раза в год. До погашения облигации остается 5 лет. Определить курсовую цену облигации, если требуемая норма прибыли составляет 20% годовых.

Решение.

1000

2,59374246

! 1

259374246

= 750

- 750 (1 - 0,385543) + 385,5433 - - 460,8427 + 385,5433 = 846,386 руб.

Если мы сравним стоимость облигации со стоимостью, полученной в примере 1, то увидим, что в случае выплаты дохода два раза в год при одной и той же норме дисконтирования стоимость облигации ниже, чем при выплате дохода один раз в год.

До сих пор мы рассматривали случаи, когда до погашения облигации остается целое число лет или купонных периодов. Однако облигации продаются и покупаются в любой момент времени (в начале, середине и в конце купонного периода).

Dr=Dx^-,              (11.11)

365

где D — процентный доход за год или купонный период; Т — время, в течение которого облигация находилась в руках продавца или покупателя (в днях); DT— процентный доход за время Т.

В нашем примере процентный доход покупателя составит:

А» = 150 х|| - 123,29 руб.

Процентный доход продавца будет равен:

Da - 150              -              26,71 руб.

Поскольку процентный доход в размере 26,71 руб., принадлежащий продавцу, получит покупатель облигации при оплате очередного купона, то цена облигации должна быть увеличена таким образом, чтобы продавец не понес ущерба. В рассматриваемом нами случае цена (цена, вычисленная в примере 1) должна быть увеличена на 26,71 руб. и составить 877,18 руб. (850,47 + 26,71).

Однако это лишь приблизительный результат, так как цена в размере 850,47 руб. была получена нами при дисконтировании доходов ровно за 5 лет. Поэтому чтобы получить более точный результат, нужно продисконтировать ожидаемые доходы за тот период времени, который остается до погашения облигации с момента совершения сделки. Для нецелого числа лет формула приведенной стоимости имеет следующий вид:

? = Z  т +              Г’              lt;1112gt;

w (1 + R) х (1 + Д)“\'              (1 + Л)* хlt;1 + Л)"\'

Т

гДе ^ = 777; я — целое число лет, включая нецелый год; Т — число дней до выплаты зо5

первого купона.

Определим цену облигации для нашего примера: 150              150              150

Р—               +              1              L

1              300              т              |              300              Ї*              “

(1 + 0,2)345 (1 + 0,2) ^ (1 + 0f2)23til +              150 , і 150              878,52 руб.

365

(1 + 0,2/ (1 + 0,2)

Выше речь шла об облигациях с постоянным купоном. Однако купонные облигации могут быть как с постоянной, так и переменной купонной ставкой. Последние характеризуются тем, что величина процентного дохода изменяется в зависимости от изменения ситуации на финансовом рынке. Примерами таких облигаций являются облигации федерального займа с переменным купоном (ОФЗ-ПК) и облигации государственного сберегательного займа (ОГСЗ). Стоимость таких облигаций определяется но формуле:

Р - -О—+              ^              +...+              D»              +              N              (11.13)

1+ R, (1 + Л,)м(1+ Я,)              (1+              Я,)х(1              +              Д2)х...х(1              +              Д„)

где D], Гgt;2 ... D„ — процентный доход і-того периода (і = 1, 2, ..., н); R,              —

— требуемая норма прибыли (ставка дисконтирования) і-того периода.

Задача заключается в том, чтобы оценить величину процентных выплат и требуемую норму прибыли в разные периоды.

Пример 4.

Номинал облигации — 1000 руб. До погашения остается 3 года. Процентный доход выплачивается два раза в год. По первому купону выплачивается 20% годовых. Определить курсовую цену облигации.

Изучая ситуацию на финансовом рынке, инвестор пришел к выводу, что купонная ставка по облигации будет снижаться: первый год — 20% годовых, второй год — 18%, третий год — 15%. Будет снижаться и требуемая норма прибыли по данному типу облигаций: первый год — 20%, второй год — 19%, третий год — 16%. Исходя из этих условий, имеем:

„              100              100              90              90

Р= :——+ ~

1 + 0,1              (1              +              ОД)2              (1              +              ОД/              х(1              +              0,095)              (1              + ОД)2 х(1 + 0,095/

75              1075

(1 + ОД)2 х(1 + 0,095/ х(1 + 0,08) (1 + ОД/ х(1 + 0,095/ х(1 + 0,08)2‘

- 986,63 руб.

Бескулонную облигацию можно представить как купонную облигацию с нулевым размером купонных платежей. Поскольку процентные платежи при этом равны нулю, то формулы (11.3) и (11.7) принимают следующий вид:

lt;1М4gt;

\'Пример 5.

Бескупонная облигация номиналом 1000 руб. погашается по номиналу через 4 года. Определить курсовую цену облигации, если ставка дисконтирования составляет 14% годовых.

Р - 1000              -              592,10              руб.

(1 + 0Д4/

Если данная облигация погашается через 3 года 180 дней, то ее курсовая стоимость составит:

Р - 1Ш „ - 632,91 руб,

(1 + O.U)’365

Формула (11.14) может быть использована и при определении курсовой стоимости краткосрочных ценных бумаг (со сроком действия менее 1 года) — ГКО, депозити ых и сберегательных сертификатов.

Пример 6.

Определить цену краткосрочной облигации номиналом 1000 руб., погашение через 180 дней. Требуемая норма прибыли по данному типу облигаций составляет 20% годовых.

Используя формулу (11.14), имеем:

? ~ 1(ХЮМ - 914,01 руб.

(1 + 0,2)ж

Однако для определения цены краткосрочных облигаций обычно используется другая формула:

+ 365

Применяя эту формулу, получаем:

1000

Р ~              0,2x180              ”              910,22              Руб\'

+              365

Чтобы установить величину различий результатов вычислений при использовании формул (11.14) и (11.15), рассмотрим несколько примеров.

Пример 7.

Номинал облигации — 1000 руб. Требуемая норма прибыли — 10% годовых, погашение — через 180 дней.

Цена облигации, вычисленная по формуле (11.14):

Р= 10°°« - 954,08 руб.;

(1 + ОД)365

по формуле (11.15):

Р = —I!0” ео " 953,00 руб.

0,1 х!80

365

Пример 8.

Номинал облигации — 1000 руб. Требуемая норма прибыли — 20% годовых, погашение облигации — через 300 дней.

Цена облигации при использовании формулы (11.14):

Р - —= 860,84 руб.

(1 + 0,2)ж По формуле (11.15) имеем:

Р= 02x300 " 858183 Рgt;\'6- 365

Пример 9.

Номинал облигации — 1000 руб. Требуемая норма прибыли — 15% годовых, погашение облигации — через 365 дней.

Цена облигации, рассчитанная по формуле (11.14):

по формуле (11.15):

р-- оТ°:«а- №56 ^

1 +

365

Приведенные выше примеры показывают следующее.

1. Расхождение в оценке курсовой стоимости облигации при использовании разных формул тем меньше, чем ниже ставка дисконтирования. Так, для полугодовой облигации при ставке дисконтирования 20% расхождение составляет около 0,4% цены, а при ставке дисконтирования 10% — около 0,1% цены.
2. При одной и той же ставке дисконтирования расхождение в цене тем меньше, чем больше срок до погашения облигации.
3. При сроке до погашения, равном 1 году (365 дней), обе формулы дают один и тот же результат расчетной цены облигации.

Поскольку величины расхождений расчетной цены, полученной с использованием разных формул, являются весьма незначительными, то при вычислениях с краткосрочными инструментами обычно используется формула (11.15).

Доходность облигаций

Облигации приобретаются инвесторами с целью получения дохода. Процентный (или купонный) доход измеряется в денежных единицах. Чтобы иметь возможность сравнивать выгодность вложений в разные виды облигаций (и других ценных бумаг), следует сопоставить величину получаемого дохода с величиной инвестиций (ценой приобретения ценной бумаги).

Текущая доходность

Если известна курсовая цена облигации и величина процентного дохода, то можно определить так называемую текущую доходность облигации по формуле:

R - —,              (11.16)

г Р

где RT — текущая доходность; D — процентный доход в денежных единицах; Р — цена облигации.

Пример 10.

Облигация номиналом 1000 руб. продается по цене 800 руб. процентный доход

в размере 30% годовых выплачивается один раз в год.

Текущая доходность будет равна:

03x1000

Rr -              =              0,375              или              37,5%              годовых.

Доходность к погашению

Если инвестор собирается держать облигацию до погашения, то он может сопоставить все полученные по облигации доходы (прсг центные платежи и сумму погашения) с ценой приобретения облигации. Полученная таким способом величина называется доходностью к погашению или внутренней нормой прибыли.

Если известна цена облигации, то доходность к погашению можно определить методом последовательных приближений, используя формулы (11.1) или (11.7).

При этом в указанные формулы следует подставлять различные значения R, и для каждого значения R определять соответствующее значение цены. Если для выбранного значения R мы получаем цену выше заданного значения цены (Р), то следует увеличить значение R и найти новое значение Р. Если получено значение Р ниже заданной цены, то необходимо уменьшить значение Я Такие действия необходимо продолжать до тех пор, пока расчетная цена не совпадет с заданной ценой. Полученное таким образом значение R и будет являться доходностью облигации к погашению или внутренней нормой прибыли облигации.

Пример 11.

Номинал облигации — 1000 руб. Срок погашения облигации — через 5 лет. По облигации выплачивается 20% годовых, выплата производится один раз в год. Курсовая цена облигации — 930 руб. Определить доходность облигации к погашению.

Предположим, что ставка дисконтирования составляет 22%. Тогда, используя формулу (11.7), получаем:

10-°° , = 942,73 руб.

(1 + 0,22) ¦

(1 + 0,22) _

1- 1

Р = Ш 022

Мы получим цену, которая выше курсовой цены облигации. Следовательно, норма прибыли (ставка дисконтирования) должна быть увеличена. Увеличим ставку дисконтирования до 23% и найдем новое значение цены облигации:

Р =              200

0,23

1- 1

(1+0,23/

10-° 5 = 915,89 руб.

(1 + 023);

Мы получили значение цены, которое ниже курсовой цены облигации. Следовательно, чтобы получить значение цены, равное курсовой стоимости облигации, ставка дисконтирования должна быть ниже 23%. Искомое значение находится между 22% и 23%.

Перенесем полученные результаты на график. По горизонтальной оси отложим значения доходности, а по вертикальной оси —цену облигации (рис. 11.4).

Цена А

(руб.) 950--

942,73

ЧЧЧЧЧЧЧЧч\\ч Цена облигации

940 --

930

920 "915,89

910 --

Доходность (%)

1 I I I [ I I И [ I I I | I I gt;

22,5

23

22

Рис. 11.4. График доходности и цены облигации

Соединим полученные точки цены облигации при доходности 22% и 23% и найдем точку пересечения этой прямой с горизонтальной прямой, соответствующей цене облигации (930 руб.). Эта точка, как следует из графика, соотьетствует величине доходности примерно 22,5%.

Однако графическое решение не обеспечивает точных результатов, поэтому проверим найденную величину, а именно найдем значения цены облигации при ставке дисконтирования, равной 22,5%:

Г-200Гі              1

С?25|_              (1              +              0,225)"

Таким образом, полученное расчетное значение цены (929,97 руб.) фактически совпадает с курсовой ценой облигаций (930 руб.). Значит, данная облигация обеспечивает доходность к погашению в размере 22,47% годовых.

Доходность к погашению — это ставка дисконтирования, при которой приведен- ная стоимость процентных платежей и суммы погашения облигации равна покупной цене облигации (затратам инвестора). На основе вычисленной доходности к погашению можно решать вопрос о приемлемости тех или иных инвестиций. Если инвестор определил для себя требуемую норму прибыли для данного вида вложений (с учетом риска), и если полученная норма прибыли по облигации равна или выше требуемой нормы, то покупка облигаций является выгодным вложением средств. Если же доходность по облигации ниже требуемой нормы прибыли, то та-

При ставке дисконтирования, равной 22,5%, цена облигации несколько ниже курсовой цены, следовательно, ставка дисконтирования должна быть несколько уменьшена. Определим цену облигации при ставке дисконтирования, равной 22,47%:

Р 02247 Р (1 + 02247)"

+

кое вложение средств (покупка облигаций) является неприемлемым. Так, если в приведенном выше примере инвестор считает, что требуемая норма прибыли для данного типа облигации составляет 22%, то покупка облигации по цене 930 руб. будет являться выгодным вложением средств, так как эти инвестиции обеспечивают доходность в размере 22,47% годовых.

На графике, построенном по результатам вычислений, видно, что приемлемой ценой для данных облигаций будет даже цена в 942,7 руб., которая обеспечивает уровень доходности в размере 22% годовых.

Если цена на облигацию поднимется выше 942,7 руб., то от покупки следует отказаться.

2

На практике на выбор инвестора оказывают влияние многие факторы, поэтому для принятия того или иного решения не всегда необходимо производить точные вычисления. Иногда достаточно иметь лишь приблизительные результаты. Так, чтобы определить приблизительно уровень доходности облигации, можно использовать следующую формулу:

(11.17)

1000+ 930

2

где N — номинал облигации; Я—цена облигации; « — число лет до погашения облигации; D— ежегодный процентный доход по облигации в денежных единицах. Для приведенного выше примера 11 имеем:

0,2218 или 22,18%.

Отклонение приблизительного значения доходности (22,18%) от точного значения (22,47%) весьма незначительно и находится в пределах допустимой ошибки.

Бескупонная облигация

Доходность бескупонной облигации (облигации с нулевым купоном) определяется из формулы (11.14):

Р=

(1 + пу

После преобразований получаем:

N (1+RT-J,

(11.18)

Если инвестору необходимо сравнить доходность по бескупонным облигациям с доходностью купонных облигаций, с выплатой дохода т раз в год, то формула (11.18) принимает вид:

хт.              (11.19)

Я-

\'4-gt;

Пример 12.

Цена облигации — 600 руб., номинал — 1000 руб. До погашения облигации остается 5 лет. Определить доходность к погашению, если доход по купонным облигациям выплачивается: (а) один раз в год; (6) четыре раза в год (ежеквартально). ./ЇООО ,              Л

аgt;              1,108-              1              =              0,108 или 10,8%;

V ъоо

л /1000 ) Л

N —              1              х4              =              (1,

V боо J

/

б) R =

= (1,0259 — 1) х 4 = 0,1035 или 10,35%.

Доходность краткосрочных облигаций (сроком действия до 1 года) обычно определяется по формуле:

D 365

R -              (11.20)

где D — величина дисконта (процентного дохода) в денежных единицах; Р— цена облигации; Т — число дней до погашения облигации.

Подставляя вместо D = N — Р, получаем:

„ N-Р 365 R = —д-х-дг,

Р т

(11.21)

где N — номинал облигации.

Пример 13.

Облигация номиналом 1000 руб. продается с дисконтом по цене 930 руб. До погашения облигации остается 50 дней. Определить доходность к погашению, если погашение происходит по номиналу.

д _              =              д5              или 5495%

[ 930              )              50

\'Доходность к погашению облигаций с переменной процентной ставкой (с плавающим купоном) с более или менее достаточной степенью достоверности определить невозможно. Речь может идти только о весьма приблизительной оценке на основе прогноза развития рыночной ситуации. Вместе с тем следует иметь в виду, что величина купонной ставки на очередной купонный период устанавливается исходя из сложившейся и ожидаемой конъюнктуры рынка на очередной период. По существу облигацию с плавающим купоном (облигации типа ОФЗ-ПК или ОГСЗ) можно рассматривать как серию краткосрочных облигаций, так как доходность таких облигаций на очередной купонный период устанавливается на уровне доходности краткосрочных инструментов. Следовательно, для таких облигаций целесообразно определять доходность к погашению очередного купона, т. е. использовать приведенную выше формулу для определения доходности краткосрочных облигаций (11.20).

Пример 14.

Облигация номиналом 1000 руб. продается по цене 1100 руб. Величина купона — 200 руб. Продолжительность купонного периода — 182 дня. До выплаты купона остается 91 день. Определить доходность облигации.

После выплаты очередного купонного дохода новый размер купона обычно устанавливается таким образом, чтобы цена облигации была близка к номиналу. Следовательно, владелец облигации как бы получает сумму, равную номинальной стоимости облигации (1000 руб.) и величине купонного дохода (200 руб.), т. е, 1200 руб. Значит, его доход за период до выплаты купона составляет:/) = = 1200— 1100 - 100 руб.

Используя формулу (11.20), получаем:

Р =              =              или              36,46%.

Следует отметить, что Центробанк РФ дал следующую формулу для вычисления доходности облигаций ОФЗ и ОГСЗ:

(11*22)

/М^-1

Р. + А

где N — номинал облигации; С — величина текущего купона; Рч — чистая цена облигации (цена в самом начале купонного периода); А — накопленный доход с начала купонного периода; 7—количество дней до конца купонного периода.

Величина А определяется по формуле:

A = j(t-T).              (11.23)

где t — продолжительность купонного периода.

В нашем примере имеем:

(1000 + 200 А

(/000+100 J

4 = ^(182-91) = 100;

х— = 0,3646 или 36,46%.

Мы получили тот же самый результат, так как формула (11.22) является модификацией формулы (10.20). Подставляя в формулу (11.20) вместо Р = Рц +.4; D ~ - Т +С — (Рч + А), получаем:

„ D 365 N + C-(PV + A) 365 (N + C Л 365

R =_х—=              ХД!                                          1 X-

Р Т              Рч              +А              Т              \\Р„              +А | Т

Доходность за период владения

Инвестор может держать облигацию не до погашения, а продать ее до срока погашения. В этом случае требуется определить доходность за период владения. Расчет доходности облигаций при этом фактически не отличается от методов расчета доходности к погашению. Разница лишь в том, что инвестор получает не сумму погашения (номинальная облигация), а продажную цену облигации, которая может отличаться от номинала. Поэтому в приведенных выше формулах вместо номинала облигации будет фигурировать цена продажи облигации.

Пример 15.

Инвестор приобрел бескупонную облигацию номиналом 1000 руб. за 600 руб. и продал ее через 2 года за 800 руб. Определить доходность за период владения.

Используя формулу (11.18), получаем:

.R = ^ЦЦ-1 = 0,1547 или 15,47% годовых.

Пример 16.

Государственная краткосрочная облигация номиналом 100 руб. была куплена инвестором за 85 руб. и продана через 90 дней за 92 руб. Определить доходность за период владения.

Используя формулу (11.21), имеем:

= 0,33 или 33% годовых.

г_Г«_Лхз§5 [85 J 90

Пример 17.

Инвестор приобрел облигацию номиналом 1000 руб. за 930 руб. Через 2 года он продал облигацию за 950 руб. За время владения облигацией он получал процентный доход в размере 200 руб. за каждый год. Определить доходность облигации.

Для решения задачи можно использовать метод последовательных приближений. Однако неплохие результаты, как отмечалось выше, дает формула для нахождения приблизительного уровня доходности. Используя формулу (11.17), получаем:

950-930 + 200

R = ——ттг-г— = 0,2234 или 22,34% годовых.

950 + У*5и

Реализованный процент

Предположим, что инвестор определил для облигации величину доходности к погашению. Он считает, что этот уровень доходности является приемлемым, и инвестор решил оставить облигацию у себя до погашения. В таком случае задача инвестора заключается не только в том, чтобы получать купонные платежи, но и реинвестировать полученные суммы, чтобы обеспечить теоретически определенный уровень доходности.

Пример 18.

Облигация номиналом 1000 руб. погашается через 5 лет. Ставка купона — 15% годовых, выплата процентов один раз в год. Инвестор приобрел облигацию за 800 руб. Инвестор рассчитывает, что сможет реинвестировать процентные доходы под 20% годовых. Спрашивается, какую сумму будет иметь инвестор после погашения облигации?

Доходы инвестора от владения облигацией будут складываться от ежегодных процентных платежей и основной суммы (номинала) облигации при ее погашении.

Если бы инвестор не реинвестировал процентные доходы, то при погашении облигации он имел бы 1750 руб. (150+ 150+ 150 + 150 + 1150). Доходность облигации составила бы формула (11.18):

Л =              =              0-1695              или              16,95%.

V 800

Однако инвестор реинвестирует доходы. Получив 150 руб. в конце первого года, владелец облигации инвестирует эту сумму (например, кладет ее в банк) из расчета 20% годовых сроком на четыре года.

Применяя формулу будущей стоимости (11.1), получаем, что через четыре года (к моменту погашения облигации) эта сумма возрастает до:

150(1 + 0,2/ = 311,04 руб.

Сумма, полученная в конце второго года и инвестированная на срок 3 года, со-

ставит:

150(1 +0,2)[83]= 259,2 руб.

Выплата третьего года возрастает до:

150 + (1 + 0,2)’ - 216 руб. Соответственно, выплата четвертого года будет равна: 150(1 +0,2)= 180 руб.

В конце пятого года владелец получит 1150 руб. (номинальная облигация и процентный доход). Следовательно, он будет иметь на руках сумму:

311,04 + 259,2 + 216+ 180+ 1150 = 2116,24 руб.

Таким образом, доходность облигации при условии реинвестирования получаемых доходов составит:

Доходность, полученная с учетом реинвестирования доходов (или получения процента на процент), обычно называется как полностью наращенная или капитализируемая ставка доходности. Эту величину называют также реализованным процентом, ставкой рыночной капитализации или ожидаемой нормой прибыли.

Наглядное представление о том, какова разница в уровне доходности, которая достигается при условии реинвестирования получаемых доходов или без. реинвестирования, дает график на рис. 11.5.

Доход Л (руб.) .

Номинал (1000 руб.)

1750

Процент на процент (366 руб.)

Процентный доход (750 руб.)

2116

Величина реализованного процента имеет существенное значение для любого инвестора. Особенно она важна для инвестиционных программ, которые имеют большую величину текущего дохода, когда инвестор должен сам заниматься реинвестированием этих доходов.

Заметим, что приведенный выше метод вычисления реализованного процента дает возможность определить цену облигации. Мы установили, что владелец облигации к концу пятого года будет иметь на руках 2116,24 руб. Спрашивается, какую сумму нужно инвестировать сегодня (например, положить в банк) под 20% годовых, чтобы через пять лег получить 2116,24 руб.? Применяя формулу (2), имеем:

Мы получили тот же самый результат, что и раньше, в примере 1, когда применяли метод дисконтирования доходов.