Определение рыночного портфеля

В соответствии с теоремой о двух фондах каждый инвестор комплектует портфель только из долей оптимального рискового портфеля С и безрискового актива с доходностью г« таким образом, чтобы максимизировать свою упоиневую полезность и\'(\'т, о) (

рис.

Точка N1, выбранная не безразличным к риску инвестором, определяется точкой касания подходящей кривой безразличия и(т, о) = 1)0 и прямой эффективных двухфондовых портфелей Ь.

Напомним, что вид этих уровневых кривых уже обсуждался - чем выше кривая, тем ниже полезность. Поэтому-то точка N дает максимум полезности: более низкая кривая (1~1]) неосуществима, а более высокая (и2) - невыгодна.

Выбор точки N задает пропорции деления капитала между безриско- вым активом и портфелем С. Решение инвестора под номером К можно . представить числом а^, определяющим в его портфеле стоимостную долю безрискового актива. Тогда (1 - а к) - доля рискового актива С.

Если ак = 1, то весь капитал инвестируется в безрисковый актив; при ак = 0 весь капитал инвестируется в портфель С; если ак < 0, инвестор занимает деньги (под безрисковый процент г0) и расширяет закупки портфеля С (1 - ак > 1). Очевидно, что разные ак отвечают разным точкам касания Ык для несхожих по функции полезности вкладчиков.

Если - суммарный капитал инвестора К, то У« = (1 - «к)\\Ук - капитал, вложенный в портфель С. Пусть соотношение VI - 72 : ¦¦• : у» зада®1, пропорции, в которых рисковые бумаги входят в этот портфель, = О- Тогда У)Ук - вклад К-го инвестора в акцию 1.

Обозначим рыночную стоимость фирмы 1, выражаемую ценой всех ее акций, через V;.

2y,Ys=V.,

S

и поскольку суммарный капитал уравновешивает стоимость V ьсех рыночных активов ^ Ys - Vs где V - суммарная рыночная стоимость всех

фирм. Из этих соотношений выведем, что V ., v

V, 4-11 5 „ (65)

V _ii\'

M

s

то есть доля всех акций і в оптимальном портфеле С равна доле этих акций на всем рынке. Таким образом, равновесный портфель рынка имеет ту же структуру, что и оптимальный (касательный) портфель, вычисленный па основе вероятностных характеристик ценных бумаг, а сам рынок имеет свойства, присущие этому оптимальному портфелю. В связи с этим последний отождествляют с рыночным портфелем и, говоря о нем, называют его рынонным.

Одним из следствий результата (65) является тот факт, что каждый инвестор К владеет одинаковой, присущей ему долей ZK. каждой фирмы. В самом деле, доля стоимости фирмы і, принадлежащая инвестору К, определяется- отношением:

ZK IXL TIYK YK

1 " V,

> s

не зависящим от і, то есть будет одна и та же для всех фирм (Z« = ZtK = ... —ZnK). Таким образом, каждый инвестор владеет одинаковыми частями каждой фирмы, равными доле участия его капитала (YK/?YS) на рынке рисковых активов.

Основное уравнение равновесного рынка

На траектории "а" эффективных рисковых портфелей выделим точку рын

Рис 45

Поясним характер расхождения этих кривых. Очевидно, что при О * О комбинированный вклад дает неэффективную смесь рисковых активов.

Я(О) = <^ + <1 -ОЖс-

Отсюда найдем математическое ожидание этой доходности: т(0) - От, + (1 - 0)тс (66)

и ее среднеквадратичное отклонение (53):

О(0) - V + 2СК1 - 0)гісоіОс + (і - 0)Ч2 • <67>

Интересующее нас соотношение получим, приравняв значения Тангенса одного и того же угла а, вычисленные двумя способами. Во- первых, этот тангенс равен угловому коэффициенту прямой г0С, то есть

ща т , и, во-вторых, он совпадает со значением производной

шс - г0

функции о(ш), изображенной графиком "б", вычисленной в точке тс, то есть при О«0.

При нахождении этой производной заметим, что соотношение (66) позволяет выразить дисперсию (67) как сложную функцию от т;

о = о(<3(т)), где (} - т~тс , откуда: \' т, - тс

І2.Ю) 3°\' + (1 -2С?)г|со;ос -(1 -(ЗКг )с 1

сіпі ат" о(0) (т,-тс) \r\n

и,.

Ш- - г„

Приравняв эту производную угловому коэффициенту, придем к равенству:

Гі-О:

т; - т.

из которого легко выводится следующее основное уравнение равновесного рынка: \r\n

\r\n(68)

Ш: - Г„

— (Ш. -Г„). \r\n

\r\nк\'лаЛчЯ» ¦ W^ljslj/I

тііДп vri і її

рОПОрЦИОНаЛЬНОСТИІ \r\n

\r\n(69)

P.

COV(R„Rc) .4 \r\n

\r\nназывается бета вклада і-ой бумаги относительно оптимального (рыночного) портфеля.

Превышение ожидаемой эффективности какой-либо рисковой ценной бумаги или портфеля рисковых ценных бумаг над эффективностью безрискового вклада именуется премией за риск.

Линия рынка ценных бумаг (security market line, SML)

Соотношение (68) означает, что премия за риск, связанный с любой ценной бумагой і s п, пропорциональна премии за риск рыночного портфеля в целом С коэффициентом пропорциональности Pj.

Если по оси абсцисс откладывать величины бета (р), а по оси ординат - ожидаемую эффективность (т), то получим прямую, именуемую линией рынка ценных бумаг (

рис.

ml

fa,>0

Рис. 46. Линия рынка ценных бумаг

Эта прямая проходит через точку А (0, го), соответствующую безрисковому активу, и точку С (1, тс), представляющую оптимальный риско \r\nвый портфель. В самом деле, для безрискового актива показатель корреляции гос = 0- Поэтому его бета вклада Ро = 0 и премия (68) ему не выплачивается (т0 = ч))-

Напротив, ввиду идентичности оптимального и рыночного портфелей в формуле (68) рс = I, и, следовательно, премии владельцам этих порт-

гкапам /ш 1палт%Ат> и гчI I I 11/1Л ЛиПКТ Л1И и0 1/ЛЦЦ

^ПП I ир^ П рО| 1 I 14 у ) О^д^ | ЧЛ^ЛГ« I 1Ш\\иии| 1Т1 п .

(70)

Располагая этой прямой, можно по известному бета ценной бумаги ] найти ее ожидаемую эффективность в виде ординаты г.^ соответствующей точки Е на данной прямой.

Остановимся на свойствах данного показателя, которые ооусловлены влиянием парной статистической связи случайных эффективностей рынка и обращающихся на нем ценных бумаг. Приведем необходимые для этого сведения из регрессионного анализа двух случайных величин У, X и прежде всего формулу линейной аппроксимации:

ГУХ°У / ч

(71)

——-х(х-пг,) + ту.

Известно, что данное соотношение дает линейное по X приближение для случайной величины \\, наилучшее в том смысле, что;

M(Y - Y)2 - min M(Y - аХ - b)2.

а.Ь

Легко убедиться, опираясь на формулу (70), что дисперсия: D(Y) - M(Y- my)2 + M(Y - Y)2.

Формулам (70) и (71) можно дать следующую наглядную иллюстрацию: Y

гц = т,

Рис. 47

Первое слагаемое в формуле (71) определяется отклонениями точек

А

прямой У от математического ожидания ту, а второе - вариацией переменной У относительно прямой -У. В случае линейной детерминирован \r\nной связи У от X каждому х будет соответствовать единственное значение у на прямой регрессии, и поэтому М(У-У)2=0, "

М(У-ту)2 = 0(?).

Для независимой пары У, X их корреляция г)Л = 0, и линейное соотношение (70) дает прямую нулевого наклона у = гпу, при я им М(У- = 0 . а

вся дисперсия сосредоточена во втором слагаемом: М(У - У\')2 = П(У) ¦

Подытоживая, можно сказать, что слагаемое М(У-ту)2 характеризует ту часть флуктуаций переменной У, которая вызвана линейным влиянием входной переменной X, а остаток М(У - У)2 дисперсии О(У) определяется действием неучтенных факторов.

Используя эти формулы, проанализируем зависимость случайной эф-фективности У = Я; ценной бумаги 1 от случайной эффективности рынка X = Яс- В этих обозначениях формула квадратичной линейной регрессии

1\\ случайной величины ^ на случайную величину Яс имеет вид:

п-^^-пО + т,.. (72)

«с

Откуда видно, что угловой коэффициент прямой (72) совпадает с бета вклада (69). Соотношение (72) дает наилучшую среднеквадратичную линейную оценку эффективности акции \\ в зависимости от реализованного значения гс. Поэтому понятно, что бета величины ценных бумаг являются коэффициентами, определяющими влияние общей ситуации на рынке на судьбу каждой ценной бумаги.

Если положительна, то эффективность актива меняется однона- правленно с рынком, если р, отрицательна, то эффективность актива будет снижаться при возрастании эффективности рынка.

Чем больше абсолютное значение бета вклада актива, тем чувствительнее реагирует его эффективность на изменения общерыночной ситуации Яс. Этот вывод тем точнее, чем меньше разброс М(Я, -ЯО2.

Равенство (71) можно интерпретировать как разложение общего риска на две части: обусловленную влиянием рынка (рыночный риск) и ту, что определяется воздействием внешних факторов. При этом сила рыночного влияния оценивается той долей общей дисперсии, которая приходится на вариацию точек регрессии (72):

МО^-т,)2 _р2о2 2 (73)

М(Я( - Ш;)2 О2 "" " •

Как видим, эта величина совпадает с квадратом коэффициента корреляции случайных эффектавностей Я, и К^.

Заметим, что более точному размежеванию риска отвечает известное

О(У) = 0(М(У/х)) + МО(У/х), (74)

где первое слагаемое - дисперсия условного математического ожидания, а второй член - математическое ожидание условной дисперсии.

Ввиду независимости эффективных рисковых комбинаций от безрисковой альтернативы Го в "касательный" портфель С вполне могут попасть акции с ожидаемой доходностью Ш|, ниже, чем ставка го. Эти бумаги, как видно из (68), имеют минусовые бета вклада и отрицательно коррелирова- ны с рынком (Г|с < 0). Как мы уже знаем, подобные бумаги обладают хеджирующими свойствами, то есть позволяют ограничить риск портфеля.

Как следует из формулы премирования

т> - г0 = й(тс - г0), назначаемые рынком поощрения зависят от линии поведения ценных бумаг. Те, что копируют рыночные тенденции (г1с > 0), премируются, причем тем щедрее, чем выше "рыночная" компонента риска (73). "Строптивые" ценные бумаги (г|с < 0), напротив, штрафуются и тем жестче, чем больше вносимый рынком риск (73) расширяет диапазон их "неповиновения".