Моделирование расчетных показателей купонной облигации с периодической выплатой процентов и их реинвестированием
Операции с этим видом облигаций осуществляются в основном с частными лицами. Доход в этом случае будет состоять из купонного дохода Dk и разницы между номиналом N и ценой покупки Р:
D=DK+(N-P). (10.4.1)
Используя выражение (10.2.1), имеем:
D= D.+N-i 1-—I, (10.4.2)
* ( 100/
где Рк - курс купонной облигации.
Будем считать, что проценты, получаемые в течение срока облигации, реинвестируются. В этом случае значение // будет определяться как наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо, размер платежа которой равен:
N-ik
Rq= S (10.4.3)
Я
где q - количество выплат купонных процентов по облигации в течение года; 4 - купонный процент.
Если купонные выплаты по облигации в течение п лет осуществляются q раз в год и получаемые купонные проценты вновь инвестируются
по ставке ip с начислением на них процентов т раз в год (m/q), то значение DK в соответствии с и (10.4.3) будет равно:
(\\-tnn
ик P—L—. (10.4.4)
q (1 + 4 / т) 4 -1
Следовательно, общий доход инвестора составит
(\\-тп
l + i /т) ( р \\
и = ик= (л-г, Р—А + ЛЧ1 Ч- (10.4.5)
q (l + iplm)m!q-l У 100J
Для определения курсовой стоимости данной облигации используем общий принцип ее расчета, описанный выше: определим дисконтированную стоимость номинала, дисконтированную стоимость величины будущих купонных доходов и полученные значения просуммируем.
Данная сумма и будет представлять курсовую стоимость купонной облигации.
Пусть iK, ір - ставка купона и ставка реинвестирования (дисконтирования) процентных денег, которая соответствует уровню риска, установившемуся на рынке ценных бумаг. Если облигация номиналом Л? куплена за п лет до ее погашения, купонные выплаты осуществляются q раз в год и полученные купонные проценты вновь инвестируются т раз в год по номинальной процентной ставке ip, то размер платежа (будущие купонные доходы), определяемые формулой (10.4.3), есть годовая финансовая рента.
Тогда дисконтированная стоимость номинала будет определяться формулой:
N
Рп= . (10.4.6)
(1 + ІРУ
Дисконтированная стоимость финансовой ренты в соответствии с формулами (10.4.3) и (10.4.4) составит
N-ik 1 — (і + ір/ш)~тп
Pq = - E—r • (Ю.4.7)
q (1 + їр/®Г/9-1
Следовательно, курсовая стоимость такой облигации будет определяться выражением:
(\\-тп
l + ijm) л/
r=rQ + rB Р—Э + , 10.4.8)
q (1 + 4 / т) 4 -1 (1+ 4 )л
а курс облигации такого вида будет равен:
_ „ „ / \\-tnn
100-І, 1 —(1 + 4 /т) 1
Рк= -¦ — —У— + ]• (10.4.9)
q 1 (1 + 4р / яг) -1 (1+ 4р)
Положив в формуле (10.4.9) т = п = q= 1, имеем:
1 — (1 + 4 ) 1 N
Рк= N-L р— + ——. (10.4.10)
У О +ІР)
Поскольку дисконтированная стоимость ренты больше нуля, из приведенной формулы (10.4.10) можно сразу же сделать следующие выводы:
- Если купонная ставка І,- равна текущей процентной ставке ip, то курсовая стоимость равна номинальной стоимости облигации.
- Если купонная ставка iK меньше текущей процентной ставки Ір (Ік lt; ір), то курсовая стоимость меньше номинальной. В этом случае говорят, что облигация куплена с дисконтом. Поскольку при низкой купонной ставке для инвесторов предпочтительнее вложение средств в более доходные финансовые инструменты, то продажа облигации по цене ниже номинала дает возможность получения дополнительного дохода.
- Если купонная ставка выше ік номинальной процентной ставки ip (iK gt; ip), то курсовая стоимость выше номинальной (курс выше 100). В этом случае облигация продается с премией. Поскольку купонная ставка выше текущей процентной ставки, то для уравнивания доходности с рыночной курсовая стоимость должна быть выше номинальной на величину премии, которая уменьшает доходность операции до ір.
Оценка облигации производится не только в момент эмиссии, но и в любой момент времени вплоть до момента погашения. В любой момент времени облигация может быть продана или приобретена на рынке ценных бумаг по рыночной цене.
Наиболее просто оценивается облигация перед погашением, в купонном периоде, когда предстоит только выплата за последний купон и сам номинал, т.е. выплата в размере N( 1+ ik). Если интервал времени от момента оценки до момента погашения равен t, то, дисконтируя величину выплаты на этот интервал времени по ставке ip, получим текущую стоимость облигации:
N-(l + ik) (1 + ірУ
Отсюда
100
(10.4.12)
(i+Ё)
Из формулы (10.4.12) видно, курс облигации изменяется во времени по мере приближения к дате погашения даже при постоянной текущей процентной ставке ip. Если облигация была куплена с дисконтом (ік lt; ір). то курс облигации возрастает по мере приближения к дате погашения (происходит накопление дисконта). Если облигация была куплена с премией (4 gt; ір), то по мере приближения к сроку погашения происходит уменьшение ее курса (происходит возмещение премии). Указанная зависимость может быть представлена графически (рис. 10.5).
Рис. 10.5. Зависимость курсовой стоимости от времени (рыночная ставка ір = 0,10)
Теперь определим доходность облигации рассматриваемого типа, используя эффективную ставку сложных процентов J3C.
Пусть инвестор купил купонную облигацию номиналом N с периодической выплатой процентов q раз в год по курсовой стоимости Р со сро-
159
ком погашения через п лет. При этом полученные купонные проценты вновь инвестируются т раз в год.
Для определения эффективной ставки сложных процентов J3C будем рассуждать как в п. 10.3. В этом случае расчетная формула дохода, получаемого от покупки такой облигации, имеет вид:
D = S-P = P(1 +J3Cf-P. (10.4.13)
Отсюда
IР + D
Jac = —— 1 • (10.4.14)
Используя формулы (10.4.1) и (10.4.2) имеем
100(Л/+Ц)
Jac= і У— к--\\, (10.4.15)
где купонный доход D, может быть рассчитан по формуле (10.4.4).
Отметим, что между курсовой стоимостью Р и ее доходностью J3C до погашения облигации существуют следующие зависимости:
- Цена облигации и доходность до погашения находятся в обратной связи. При повышении доходности цена облигации падает, при понижении - возрастает.
- Если доходность до погашения выше купонного процента, облигация продается со скидкой.
- Если доходность до погашения ниже купонного процента, облигация продается с премией.
- Если доходность до погашения равна купонному проценту, цена облигации равна номиналу.
- При понижении доходности до погашения на 1%, цена облигации возрастает в большей степени в сравнении с ее падением при увеличении доходности до погашения на 1%.
П р и м е р 10.5. В 2002 г. Минфин Республики Беларусь разместил облигации государственного сберегательного займа (ОСЗ), номинальной стоимостью 100 тыс. руб. сроком на один год с купоном 80% годовых. Выплата процентов осуществлялась 4 раза в год.
Инвестор приобрел 10 таких облигаций по курсу 90%. Процентные деньги вновь инвестировались по номинальной процентной ставке 80% с начислением процентов 4 раза в год. Определить доход инвестора от покупки таких облигаций и эффективную процентную ставку.
Решение.
Здесь N= 100; Рк = 0,9; ік = 0,8; q = 4; т = 4; ip = 0,8.
Используя формулу (10.4.4), находим купонный доход
D_N-h і-іі+іР/тУтп _ k~ я \'(1+У®Г/9-1~
100-0,8 1 —(1 + 0,8/4) 41
тг. = 51,774 тыс. руб.
4 (1 + 0,8/4) -1
По формуле (10.3.1) находим значение
N-Р= N-1 1--5-j = 100 - Г1--^-1 = Ютыс. руб.
( 100) У 100)
Тогда суммарный доход от приобретения одной облигации будет
равен
D = DK (N-P) = 51,774 + 10 + 622,774 тыс. руб.
Доход от приобретения 10 облигаций составит 617,74 тыс. руб.
Для определения эффективной процентной ставки используем формулу (10.4.15):
, «ХНА\'+Ч) _, = 100 (100 + 51.774)_ =
" Р 90-100
что составляет 68,64%.